Seminarios

En la segunda parte introduciré brevemente dos teorías que se han usado con éxito en el estudio de la conjetura finitista: el delooping level y la generación por inyectivos. Esto me servirá para ordenar ideas y proponer algunas preguntas que considero relevantes. En particular, me interesa investigar si existe alguna relación entre estos conceptos y las álgebras GLIT.

Nuestra investigación se centra en el comportamiento asintótico de propagación de la ecuación de Fisher-KPP con un operador mixto local-no local en la difusión, al contexto de la difusión mixta, que implica tanto el Laplaciano clásico como el fraccionario, con el fin de analizar la dinámica a largo plazo de la ecuación. Más precisamente, estudiamos el comportamiento asintótico de la solución $u=u(t, x)$ al problema de Cauchy para la ecuación de Fisher-KPP con un operador de difusión mixto, es decir,

$$
\left\{\begin{aligned}
u_t+\mathcal{L} u & =f(u), & & \text { en }(0,+\infty) \times \mathbb{R}^N, \\
u(0, \cdot) & =u_0, & & \text { en } \mathbb{R}^N, \quad 0 \leq u_0 \leq 1,
\end{aligned}\right.
$$

donde el operador $\mathcal{L}$ se define como

$$
\mathcal{L} u:=-\Delta u+(-\Delta)^s u, \quad s \in(0,1),
$$

donde $f$ satisface las hipótesis Fisher-KPP.  Un paso clave en nuestro enfoque consiste en la construcción y el estudio detallado del núcleo de calor asociado al operador mixto, que utilizamos para desarrollar una teoría de soluciones suaves y establecer un principio de comparación en espacios funcionales ponderados adecuados.
Este marco nos permite establecer rigurosamente la no existencia de ondas viajeras y caracterizar la tasa de propagación a largo plazo de las soluciones. Demostramos que la influencia del Laplaciano fraccionario predomina sobre el Laplaciano clásico, especialmente en la capa inicial, donde determina la velocidad de propagación exponencial y el grosor de las colas de la solución.

Un poco de los tres y todo mezclado alrededor de la conjetura de Shub.