El producto cruzado es una construcción que actúa como puente entre la teoría de álgebras de operadores y los sistemas dinámicos. Dada la acción de un grupo discreto y numerable G en un espacio compacto Hausdorff X, el producto cruzado asociado a la acción es un álgebra de Banach cuyas operaciones codifican la acción del grupo en el espacio. Como tal, el producto cruzado está equipado con una norma que hace de este una *-álgebra de Banach. Usualmente, el tipo de norma elegida para el producto cruzado suele ser una que hace de este una C∗- álgebra, pero hay multitud de otras normas que pueden elegirse, y esta elección determina de manera crucial el producto cruzado obtenido. En particular, la cantidad de información retenida por el producto cruzado puede variar en función del tipo de norma elegida. En este trabajo, nos ocuparemos del estudio del producto cruzado obtenido al considerar una norma de tipo l1 , lo cual da como resultado una *- álgebra de Banach.
Motivados por las propiedades de cerradura en sucesiones exactas cortas que satisfacen los módulos finitamente n-presentados y su relación con los anillos n-coherentes, estudiamos los conceptos duales: los módulos finitamente n-copresentados (que generalizan a los módulos finitamente inmersos introducidos por P. Vámos en 1968) y los anillos n-cocoherentes (una generalización de los anillos conoetherianos introducidos por J. P. Jans en 1969). Exploramos las propiedades homológicas de estas clases de módulos con el objetivo de caracterizar estos anillos. Además, basándonos en un trabajo de Z. Zhu , estudiamos los complementos ortogonales de los módulos finitamente n-copresentados, conocidos como módulos (n, d)-proyectivos. Analizamos la relación entre estos módulos proyectivos relativos, los anillos n-cocoherentes y los anillos n-cohereditarios, siendo estos últimos la versión dual de los anillos n-hereditarios.
Este trabajo está dedicado al estudio de funcionales no lineales de procesos y campos gaussianos estacionarios X = (X(s))s∈T , donde T es un compacto de R^d, de volumen |T|. Se consideran funcionales FX (T) obtenidos como límites casi seguros de integrales de la forma fδ(X(s), ∇X(s), ∇2X(s)) ds, donde para cada δ > 0, fδ es tal que compuesta con el proceso y sus derivadas es cuadrado integrable respecto a cierta medida gaussiana.
En su primera parte, esta tesis se centra en el estudio de la jerarquía analítica ramificada (RAH) en aritmética de segundo orden (PA2). La jerarquía analítica ramificada fue definida por Kleene en 1960. Se trata de una adaptación de la noción de constructibilidad (introducida por G¨odel para la teoría de conjuntos) al marco de la aritmética de segundo orden. Las propiedades de esta jerarquía, en relación con la computabilidad y con el estudio de los modelos de PA2, han sido estudiadas en profundidad. Parece natural formalizar RAH en PA2 en un intento de demostrar que a˜nadir el axioma de elección o (una variante de) el axioma de constructibilidad a la aritmética de segundo orden no conlleva contradicción. Sin embargo, el único rastro escrito de tal formalización parece ser incorrecto. En esta tesis, queremos trabajar sobre esta formalización. Para ello, trabajaremos en una versión de la aritmética obtenida eliminando el axioma de inducción de los axiomas de PA2. En este sistema, aparece una nueva variante del axioma de elección: lo llamamos axioma de colección, en referencia al axioma homónimo de la teoría de conjuntos. Parece que este axioma nunca se ha considerado en el contexto de la lógica de segundo orden. Demostramos que tiene buenas propiedades computacionales: su contraposición se realiza por la identidad en la realizabilidad clásica, mientras que ´el mismo se realiza por la identidad en la realizabilidad intuicionista. Además, mostramos que es equivalente a un axioma que se comporta bien con respecto a una traducción negativa de la lógica clásica a la lógica intuicionista. Finalmente, mostramos que una variante del axioma de colección es más débil que una variante del axioma de elección en lógica intuicionista. Por tanto, trabajamos en una teoría sin inducción pero que contiene el axioma de colección para estudiar la jerarquía analítica ramificada. Demostramos que es un modelo de PA2 que satisface una versión fuerte del axioma de elección: el principio del universo bien ordenado. Parece que el axioma de colección es necesario para demostrar este resultado y explicaremos a fondo esta intuición. En la segunda parte de la tesis, más breve que la primera, estudiamos la igualdad extensional en aritmética de tipo finito (HAω). La aritmética de tipo finito es una teoría de primer orden. Es una extensi´on conservativa de la Aritmética de Heyting que se obtiene extendiendo la sintaxis de los t´erminos a todo el Sistema T: los objetos de inter´es aqu´ı son los funcionales de tipos superiores. Mientras que la igualdad entre números naturales est´a especificada por los axiomas de Peano, cómo puede definirse la igualdad entre funcionales? A partir de esta pregunta, surgen diferentes versiones de HAω, como una versión extensional (E-HAω) y una versión intencional (I-HAω). En este trabajo veremos cómo el estudio de unas relaciones de equivalencia parciales nos lleva a diseñar una traducción por parametricidad de E-HAω a HAω.
En esta tesis estudiaremos las variedades tóricas sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado, desde una perspectiva de la teoría de invariantes y los monoides algebraicos. Repasaremos resultados que expresan la geometría de las variedades tóricas normales en función de la combinatoria de los conos racionales que las generan. Mostraremos que los conos racionales inducen variedades tóricas normales. Más aún, una vez definidos los morfismos, mostraremos que la categoría de las variedades tóricas afines normales es equivalente a la categoría de los conos racionales estrictamente convexos, y que las variedades tóricas afines no normales no están lejos de esta clasificación. Mostraremos también que la categoría de las variedades tóricas normales es equivalente a la categoría de los abanicos de conos racionales, mediante el uso de un teorema de Sumihiro. Recopilaremos y probaremos todos los resultados necesarios sobre conos racionales que están dispersos en la literatura y muchas veces son asumidos, como la caracterización de las caras de un cono racional que se verá en 2.13.
Una extensión de álgebras es un homomorfismo de álgebras que preserva la identidad. En 2004, Changchang Xi utilizó extensiones de álgebras para estudiar la conjetura de la dimensión finitista sobre álgebras de Artin. En particular, demuestra que si se tiene una extensión de álgebras de Artin talque el radical de B es un ideal de A, entonces si A es de tipo representación finita la dimensión finitista de B es finita. Por otro lado prueba que si A es un álgebra de Artin con dos ideales I y J de tal que IJ=0 y A/J y A/I son de tipo representación finita, entonces A tiene dimensión finitista finita. En 2018, Shugfeng Guo, utilizando la misma metodología, obtiene resultados que generalizan los obtenidos por Changchang Xi. En mi trabajo de Tesis de maestría, además de desarrollar algunas de las ideas planteadas por Xi y Guo y brindar algunos ejemplos que evidencian es el potencial de dichos resultados, logro vincular dos de los resultados planteados por Guo englobándolos en un solo enunciados que en cierta forma generaliza los anteriores. Además, de esta proposición se obtiene un resultado que no fue observado por Guo.
En esta tesis, se explora la conjetura paramodular, que relaciona superficies abelianas con formas de Siegel. La tesis busca probar la paramodularidad de ciertas superficies abelianas utilizando el método de Faltings-Serre para probar si las representaciones de Galois asociadas a estas superficies y formas paramodulares son isomorfas, con el objetivo de probar la paramodularidad de estas superficies
En esta tesis, estudiamos orbifolds asociados a mapas de Thurston. Un mapa de Thurston es un cubrimiento ramificado f : S^2 → S^2 en una 2-esfera tal que cada uno de sus puntos críticos tiene una órbita futura finita. La contribución clave de nuestro trabajo es establecer la fuerte relación entre los mapas de Thurston con orbifolds parabólicos y los cocientes de endomorfismos del toro (QOTEs). Un QOTE es un cubrimiento ramificado f : S^2 → S^2 tal que existe un cubrimiento F : T^2 → T^2 de grado d ≥ 2 en un toro, que es semiconjugado a f por un cubrimiento ramificado ρ : T^2 → S^2. Demostramos que todo QOTE tiene un orbifold parabólico, abordando una pregunta inicialmente planteada en [1]. Además, mostramos que los mapas de Thurston con orbifolds parabólicos y sin puntos críticos periódicos son QOTEs. Para los mapas de Thurston con orbifolds hiperbólicos, desarrollamos un nuevo marco que implica levantar estos mapas a cubrimientos ramificados en superficies de mayor género. Esta generalización lleva a la introducción de una nueva definición que amplía el concepto de QOTE, y plantea nuevas preguntas. [1] M.Bonk, D.Meyer. Expanding Thurston maps. ISBN-10: 0-8218-7554-X ISBN-13: 978-0-8218-7554-4 2017.
En este trabajo se estudian las propiedades dinámicas de homeomorfismos en tres variedades hiperbólicas, observando su interacción con una foliación de codimensión 1. Una foliación de una tres-variedad M se dice R-covered cuando su espacio de hojas es homeomorfo a R, y uniforme si todo par de hojas de la foliación levantada al recubrimiento universal está a distancia de Hausdorff finita una de la otra. Decimos que un homeomorfismo f:M→M homotópico a la identidad tiene velocidad de escape positiva con respecto a una foliación R-covered uniforme si las órbitas en el recubrimiento universal (por un levantado de f a distancia acotada de la identidad) tienden a infinito en el espacio de hojas. En la tesis se prueba que un homeomorfismo homotópico a la identidad en una tres-variedad hiperbólica con velocidad de escape positiva con respecto a una foliación R-covered uniforme posee infinitos compactos invariantes disjuntos.
En este trabajo de maestría se presenta una exposición del Teorema de Mazur sobre torsión racional de curvas elípticas, así como los resultados previos necesarios para comprender la prueba. Se recurre a herramientas y resultados profundos de geometría algebraica, entre ellos el modelo de Néron. Se presentan elementos de esquemas de grupos, curvas modulares y la teoría de reducción de curvas elípticas en cuerpos locales.
En 1986, Böcherer formuló una conjetura que relaciona los coeficientes de Fourier de una forma modular de Siegel con los valores centrales de su función L spin torcida por un carácter cuadrático. Böcherer demostró su conjetura en un caso particular --cuando la forma es un lift de Saito--Kurokawa-- relacionándola con la fórmula de Waldspurger. Recientemente, la conjetura fue demostrada. El problema que nos propusimos estudiar es el de la conjetura de Böcherer para formas paramodulares. Estas formas son de interés por la conexión con superficies abelianas predicha por la conjetura de paramodularidad. Estudiamos la demostración de la conjetura de Böcherer y su conexión con las conjeturas de Gan--Gross--Prasad y buscamos adaptar el esquema de la demostración al caso paramodular.
El objetivo de la tesis es presentar las propiedades básicas de la teoría de representaciones para las extensiones afines de una variedad abeliana. Esta teoría se presenta como una generalización de la teoría de representaciones de los esquemas en grupos afines. Una extensión afín S de una variedad abeliana A por un esquema en grupos afín H es una sucesión exacta corta de esquemas en grupos 1→H→G→A→0. Una representación de S es una acción de G sobre un fibrado vectorial homogéneo E sobre A tal que si q(g)=a, entonces la acción por g lleva la fibra sobre b a la fibra sobre a+b, de modo que el morfismo correspondiente es una transformación lineal. Presentamos la construcción de esta teoría de representaciones de S y la prueba de un teorema del tipo “dualidad de Tannaka” desarrollada recientemente por Rittatore, del Ángel y Ferrer. Estudiamos propiedades básicas de esta teoría como ser la caracterización de la semisimplicidad y del caso unipotente, obteniendo resultados que vinculan estos casos con la teoría de representaciones clásica para el caso afín.
A partir de trabajos de Gödel [1] y Cohen [2, 3] del siglo XX , sabemos que la hipótesis del continuo es independiente de la teoría de conjuntos de ZF. En base a esto, tenemos formas de construir modelos donde la hipótesis del continuo se cumple y modelos donde no se cumple. Respecto a los modelos en los que la hipótesis del continuo no se cumple, si bien se demuestra que efectivamente esta no se cumple, no parece haber una intuición clara detrás de la construcción, más allá de aspectos abstractos de cardinalidad. El objetivo motivador de este trabajo, fue dar una prueba de la consistencia relativa de la negación de la hipótesis del continuo en la que haya una explicación intuitiva de que esta no se cumple en el modelo considerado. Específicamente, construimos un modelo en el que la negación de la hipótesis del continuo se explica con intuiciones de probabilidad. Para esto nos basamos en un artículo de Scott [4], en el que realiza una prueba de la negación de la hipótesis del continuo a partir de álgebras booleanas que provienen de espacios de probabilidad . Esta prueba es en un marco más débil que la teoría de conjuntos de ZF, esencialmente en una teoría de reales de tercer orden (con reales, funciones y funcionales). En este trabajo, generalizamos la construcción de Scott a una teoría de los números reales expresada en lógica de orden superior, usando una presentación en el estilo de la teoría de tipos simples de Church [5]. Para ello, introducimos la categoría de los Bconjuntos (a saber: conjuntos equipados con B-relaciones de equivalencia), en la cual modelamos nuestra teoría de orden superior. Finalmente, logramos adaptar la prueba de Scott para que la negación de la hipótesis del continuo tenga una explicación intuitiva en base a conceptos de reales aleatorios.
Desde los primeros años de la teoría de la Relatividad General se ha buscado comprender el comportamiento a largo plazo de las soluciones cosmológicas de las ecuaciones de Einstein en el vacío. Soluciones con simetrías globales, o perturbaciones de ella, han sido fuertemente estudiadas y son razonablemente entendidas. Por otro lado, gracias a los trabajos de Fischer, Moncrief, y M. Anderson, se sabe que hay una estrecha relación entre la evolución futura de las soluciones y la descomposición de Thurston de la 3-variedad espacial subyacente. Consecuentemente, los espacio-tiempos cosmológicos desarrollando una simetría asintótica deberían representar una pequeña parte de la gran variedad de comportamientos a largo plazo que aún no son conocidos. Este trabajo revisita un programa iniciado por M. Reiris que apunta a construir un nuevo tipo de solución cosmológica que fue propuesta por M. Anderson. En esta solución, escalando adecuadamente, dos variedades hiperbólicas con una cúspide cada una se separan a través de un cuello toroidal que las conecta a través de sus cúspides. En este trabajo se prueba que la solución llamada doble cúspide, espaciotiempo con simetría T2 que modela el comportamiento esperado en el cuello,es estable bajo perturbaciones que preservan la simetría. La prueba se reduce a probar la estabilidad de un segmento geodésico como mapa de ondas en el plano hiperbólico, y se relaciona con el trabajo de Sideris en mapas de ondas y el trabajo de Ringström sobre las asintóticas a futuro de los espacio tiempos de Gowdy T3.
En este trabajo estudiaremos la nocíon de categoría modelo y su correspondiente categoría de homotopía derivada. Veremos dos ejemplos de esta estructura: la categoría de espacios topológicos y la categoría de conjuntos simpliciales. Asimismo, estableceremos una equivalencia de Quillen entre ambas categorías. Estudiaremos, posteriormente, la estructura de categoría modelo estable y veremos cómo esta condición de estabilidad implica de la categoría de homotopía resulte ser una categoría triangulada.
Dado un subgrupo discreto \( \Gamma\) de \(PSL(2, \mathbb{R}) \) con cociente compacto, presentamos un método de discretización del Movimiento Browniano en el Plano Hiperbólico, mediante el cual se obtiene una probabilidad \( \mu \) de soporte en \(\Gamma \) para la cual la medida visual es estacionaria. Obtenemos además que dicha probabilidad tiene momento exponencial finito.
El problema de tres cuerpos es un problema simple de relevancia histórica: determinar el movimiento de tres cuerpos modelados como masas puntuales cuyo movimiento queda determinado por la ley de gravitación universal de Newton. A fines de siglo XX, ante la pregunta sobre la integrabilidad de este problema, Poincaré prueba que bajo ciertas restricciones éste resulta no integrable, dando lugar a los orígenes de la teoría del caos. Para esta prueba construye por métodos perturbativos una superficie de sección transversal que permite una traducción de la dinámica a un mapa de retorno conservativo. \( \\ \) La simplificación del problema que nos interesa consiste en considerar uno de los cuerpos con asa despreciable, restringirse a movimientos en el plano, y asumir que el movimiento de los cuerpos de masa no despreciable queda descrito por círculos concéntricos centrados en su centro de masa. Siguiendo con la filosofía de Poincaré, se piensa a este problema como la perturbación de uno más sencillo y de esta forma Conley construye a mediados de siglo XX un anillo de sección transversal para energías suficientemente bajas, usando como borde del anillo dos órbitas periódicas especiales. \( \\ \) Este problema sigue siendo material de estudio y en este sentido es que en las últimas décadas se ha intentado dar resultados no perturbativos. Un camino en esta dirección surge de la interacción de la teoría de curvas pseudoholomorfas y geometría de contacto. La tesis intenta dar un recuento histórico con una visión moderna de ciertos abordajes al problema, finalizando con una lectura informal de la aplicación de resultados notables de Wysocki, Hofer y Zehnder en esta búsqueda, no perturbativa, de superficies de sección globales para el problema de tres cuerpos restricto planar-circular.
Dado un conjunto finito de matrices de \(PSL(2,\mathbb{R} ) \) que generan libremente un grupo de Schottky y una probabilidad soportada en estas matrices, probamos que la medida estacionaria de la caminata al azar asociada tiene dimensión de Hausdorff estrictamente más chica que el conjunto límite del grupo en el borde del plano hiperbólico. En particular, si fijamos un punto del plano hiperbólico, la medida de Patterson Sullivan correspondiente es singular con respecto a la medida estacionaria de la caminata. Esto prueba casos particulares de una conjetura aún abierta debida a Vadim Kaimanovich y Vincent LePrince.
En esta tesis presentaremos algunos resultados sobre foliaciones uniformes en tres variedades. Una foliación en una tres variedad compacta es uniforme si cualquier par de hojas de la foliación inducida en el cubrimiento universal se encuentran a distancia de Hausdorff acotada. Las foliaciones uniformes fueron introducidos originalmente por Thurston, quien estaba estudiando deslizamientos de tres variedades sobre el circulo (“slitherings” en ingles). Uno de los objetivos del texto es presentar un resultado reciente de S. Fenley y R. Potrie, que nos dice que toda foliación uniforme sin componentes de Reeb proviene de un deslizamiento sobre el circulo. El otro objetivo es mostrar resultados originales sobre foliaciones uniformes con componentes de Reeb. Motivados por una pregunta de S. Fenley y R. Potrie, presentamos una familia de tres variedades con grupo fundamental infinito y equipadas con foliaciones uniformes. Luego, mostraremos algunos resultados sobre el comportamiento de tales foliaciones en una tres variedad fuera de esta familia.
El objetivo de este trabajo es entender cómo se puede estudiar la geometría de un espacio simétrico de tipo no compacto mediante su grupo de isometrías. Damos cuenta de algunos resultados de grupos y álgebras de Lie semisimples que nos permiten obtener conclusiones de estos espacios. Presentamos un lema de Morse demostrado por Kapovich-Leeb-Porti siguiendo la demostración de Bochi-Potrie-Sambarino, que generaliza un resultado clásico de la geometría hiperbólica. Por medio del estudio de este resultado buscamos entender cómo el borde de Furstenberg nos ayuda a estudiar la geometría de estos espacios.
On the involutive Banach algebra associated to a topological dynamical system - Tabaré Roland (2025)