El producto cruzado es una construcción que actúa como puente entre la teoría de álgebras de operadores y los sistemas dinámicos. Dada la acción de un grupo discreto y numerable G en un espacio compacto Hausdorff X, el producto cruzado asociado a la acción es un álgebra de Banach cuyas operaciones codifican la acción del grupo en el espacio. Como tal, el producto cruzado está equipado con una norma que hace de este una *-álgebra de Banach. Usualmente, el tipo de norma elegida para el producto cruzado suele ser una que hace de este una C∗- álgebra, pero hay multitud de otras normas que pueden elegirse, y esta elección determina de manera crucial el producto cruzado obtenido. En particular, la cantidad de información retenida por el producto cruzado puede variar en función del tipo de norma elegida. En este trabajo, nos ocuparemos del estudio del producto cruzado obtenido al considerar una norma de tipo l1 , lo cual da como resultado una *- álgebra de Banach.
En su primera parte, esta tesis se centra en el estudio de la jerarquía analítica ramificada (RAH) en aritmética de segundo orden (PA2). La jerarquía analítica ramificada fue definida por Kleene en 1960. Se trata de una adaptación de la noción de constructibilidad (introducida por G¨odel para la teoría de conjuntos) al marco de la aritmética de segundo orden. Las propiedades de esta jerarquía, en relación con la computabilidad y con el estudio de los modelos de PA2, han sido estudiadas en profundidad. Parece natural formalizar RAH en PA2 en un intento de demostrar que a˜nadir el axioma de elección o (una variante de) el axioma de constructibilidad a la aritmética de segundo orden no conlleva contradicción. Sin embargo, el único rastro escrito de tal formalización parece ser incorrecto. En esta tesis, queremos trabajar sobre esta formalización. Para ello, trabajaremos en una versión de la aritmética obtenida eliminando el axioma de inducción de los axiomas de PA2. En este sistema, aparece una nueva variante del axioma de elección: lo llamamos axioma de colección, en referencia al axioma homónimo de la teoría de conjuntos. Parece que este axioma nunca se ha considerado en el contexto de la lógica de segundo orden. Demostramos que tiene buenas propiedades computacionales: su contraposición se realiza por la identidad en la realizabilidad clásica, mientras que ´el mismo se realiza por la identidad en la realizabilidad intuicionista. Además, mostramos que es equivalente a un axioma que se comporta bien con respecto a una traducción negativa de la lógica clásica a la lógica intuicionista. Finalmente, mostramos que una variante del axioma de colección es más débil que una variante del axioma de elección en lógica intuicionista. Por tanto, trabajamos en una teoría sin inducción pero que contiene el axioma de colección para estudiar la jerarquía analítica ramificada. Demostramos que es un modelo de PA2 que satisface una versión fuerte del axioma de elección: el principio del universo bien ordenado. Parece que el axioma de colección es necesario para demostrar este resultado y explicaremos a fondo esta intuición. En la segunda parte de la tesis, más breve que la primera, estudiamos la igualdad extensional en aritmética de tipo finito (HAω). La aritmética de tipo finito es una teoría de primer orden. Es una extensi´on conservativa de la Aritmética de Heyting que se obtiene extendiendo la sintaxis de los t´erminos a todo el Sistema T: los objetos de inter´es aqu´ı son los funcionales de tipos superiores. Mientras que la igualdad entre números naturales est´a especificada por los axiomas de Peano, cómo puede definirse la igualdad entre funcionales? A partir de esta pregunta, surgen diferentes versiones de HAω, como una versión extensional (E-HAω) y una versión intencional (I-HAω). En este trabajo veremos cómo el estudio de unas relaciones de equivalencia parciales nos lleva a diseñar una traducción por parametricidad de E-HAω a HAω.
This thesis contributes to the development of a unified theory of parabolic-to-elliptic transformations, which interprets parabolic partial differential equations as high-dimensional limits of their elliptic counterparts. Our work advances this framework through two principal contributions. First, we extend this connection to fractional operators, enabling new derivations of monotonicity formula for fractional parabolic equations from known elliptic results. Second, we deepen the geometric understanding of the relationship between Colding’s monotonic volume and Perelman’s entropy functional for the Ricci flow. While Perelman’s reduced volume was previously known to emerge as a high-dimensional limit of the Bishop–Gromov relative volume, the geometric origins of the entropy functional W had remained elusive. We demonstrate that both functionals naturally arise from a unified high-dimensional framework via Perelman’s N-space, providing a complete elliptic foundation for these fundamental parabolic quantities.
The Random Dot Product Graph (RDPG) model has emerged as a fundamental tool for representing network data through latent position embeddings. In this framework, each node is associated with a low-dimensional vector, and edges are formed with probabilities given by the inner products of these latent positions. This thesis investigates both the theoretical foundations and algorithmic aspects of inference under the RDPG model, with a focus on advancing graph representation learning for statistical network analysis.
In this dissertation, we analyze two different approaches to the problem of solving systems of polynomial equations, along with some geometric and probabilistic tools needed for these approaches.
En el área de los sistemas dinámicos, la comprensión de los fenómenos de atracción global es clave para el análisis y la predicción del comportamiento a largo plazo de un sistema. Desde la década del 60, el estudio de sistemas dinámicos discretos ha ganado una atención considerable debido a su capacidad para modelar una amplia gama de fenómenos complejos en diversas áreas del conocimiento . La noción de atractor global en sistemas dinámicos hace referencia a la existencia de un conjunto compacto invariante que atrae a todas las trayectorias a futuro del sistema. A lo largo de las décadas, se han desarrollado diversas técnicas y herramientas para analizar y caracterizar la existencia de un atractor global de un sistema dinámico, lo que ha llevado a importantes avances teóricos y aplicaciones en numerosos campos. En esta tesis doctoral, nos enfocaremos en explorar y analizar principalmente dos aspectos relacionados con la dinámica de atracción global en sistemas dinámicos discretos.
En esta tesis, nos enfocamos en el estudio de problemas de control singular de horizonte infinito y de variación acotada para procesos de Lévy y difusiones de Itô con aplicaciones a juegos de campo medio. Nos interesa caracterizar y, en algunos casos, proporcionar una representación explícita de las estrategias óptimas y dar condiciones suficientes para la existencia y unicidad de estrategias de equilibrio.
We study homotopic-to-the-identity torus homeomorphisms, whose rotation set has nonempty interior. We prove that any such map is monotonically semiconjugate to a homeomorphism that preserves the Lebesgue measure, and that has the same rotation set. Furthermore, the dynamics of the quotient map has several interesting chaotic traits: for instance, it is topologically mixing, it has a dense set of periodic points and it is continuum-wise expansive. In particular, this shows that a convex compact set of R^2 with nonempty interior is the rotation set of the lift of a homeomorphism of T^2 if and only if it is the rotation set of the lift of a conservative homeomorphism.
En esta tesis estudiamos configuraciones periódicas de agujeros negros estacionarios y axisimétricos en el vacío, co-axiales e idénticos, en 3+1 dimensiones, para las cuales la existencia y unicidad aún no han sido demostradas teóricamente. Estas configuraciones extenderían la familia de soluciones de infinitos agujeros negros estáticos y co-axiales de Myers/Korotkin-Nicolai y contribuirían significativamente a nuestra comprensión de soluciones de agujeros negros en topologías arbitrarias y comportamientos asintóticos no planos. Estudiamos el problema numérica y analíticamente. Del lado numérico, en Python, desarrollamos e implementamos los métodos numéricos necesarios para resolver las Ecuaciones de Einstein reducidas en la configuración periódica. Tras una exhaustiva investigación numérica, proporcionamos evidencia numérica sólida de su existencia para una amplia gama de parámetros naturales. Vemos que las soluciones numéricas, dados el área y el momento angular de los horizontes, parecen existir solo cuando la separación (en coordenadas) entre dos horizontes consecutivos es mayor que cierto valor crítico que depende solo de y . Las soluciones presentan el mismo comportamiento asintótico cilindricamente simétrico de tipo Lewis que los cilindros rotantes infinitos de van Stockum. Por debajo , la energía rotacional es demasiado grande para mantener un equilibrio global, y aparece una singularidad a una distancia finita del eje. Del lado analítico, demostramos la no existencia en un rango específico de parámetros que caracterizan las soluciones co-rotantes. Esto proporciona una cota inferior para el valor crítico , mostrando que ninguna solución puede ser completa en infinito si la distancia paramétrica entre los horizontes rotativos (en términos de las coordenadas de Weyl-Papapetrou) es inferior a la cota hallada. Luego, demostramos la existencia de una cota inferior para la distancia entre horizontes consecutivos (en términos del área y ) por debajo de la cual la familia de soluciones de Myers/Korotkin-Nicolai no puede ponerse en rotación. Hasta donde sabemos, este resultado constituye el primer ejemplo en la literatura de una familia de soluciones de agujero negro regulares y estáticas en el vacío que está fuertemente limitada por su geometría al momento de admitir deformaciones estacionarias. Finalmente, asumiendo la existencia de soluciones, construimos un candidato de tipo Lewis para el comportamiento asintótico de las soluciones.
En este trabajo probamos la conmutatividad graduada trenzada de la cohomolog´ıa de Hochschild de A con coeficientes triviales, donde A es un ´algebra de Hopf trenzada en la categor´ıa de m´odulos de Yetter-Drinfeld sobre el ´algebra de un grupo abeliano, bajo ciertas condiciones de finitud en una resoluci´on proyectiva de A como A-bim´odulo. Esto generaliza un teorema de Mastnak, Pevtsova, Schauenburg y Witherspoon a un contexto que incluye ´algebras de Nichols tales como el plano y el superplano de Jordan. Para demostrar nuestro resultado construimos una estructura de coduoide a menos de homotop´ıa en una categor´ıa duoidal cuyos objetos son complejos de cadenas de A-bim´odulos. Tambi´en probamos que en cualquier categor´ıa monoidal trenzada el complejo de Hochschild de una bi´algebra trenzada A es un comonoide coconmutativo a menos de homotop´ıa con el producto de deconcatenaci´on, el cual induce el producto cup en la cohomolog´ıa de Hochschild.
El espectro complementario de una matriz real cuadrada \(A\) es el conjunto compuesto sus valores propios complementarios, concepto introducido por Seeger en 1999. Este conjunto, además de ser invariante en la familia de matrices de adyacencia de un grafo, reúne valiosa información espectral del mismo y de todos sus subgrafos inducidos conexos; al día de hoy el problema de caracterizar los grafos conexos mediante su espectro complementario se mantiene abierto. En este trabajo introduciremos el concepto de espectro complementario de un digrafo y generalizaremos resultados conocidos para grafos. A su vez, abordaremos el problema de caracterizar en términos estructurales e identificar aquellos digrafos fuertemente conexos con \(t = 1, 2, 3\) valores propios complementarios, que denotaremos \(\mathcal{SCD}_t\). Finalmente, estableceremos que los digrafos en \(\mathcal{SCD}_1 \cup \mathcal{SCD}_2\) quedan determinados por su espectro complementario y exhibiremos familias de digrafos no isomorfos, del mismo orden y complementariamente coespectrales en \( \mathcal{SCD}_3 \).
Esta tesis tiene como objetivo realizar un aporte al estudio de una clase relativamente amplia de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos denomidados flujos de Anosov discretizados. Se demuestra que esta clase comprende componentes conexas enteras de difeomorfirmos parcialmente hiperb´olicos con central unidimensional en cualquier dimensión ambiente. Varias propiedades generales de los flujos de Anosov discretizados son demostradas. Entre ellas coherencia dinámica, unicidad de foliaciones invariantes, expansividad por placas e integrabilidad única del fibrado central. En particular, esto permite establecer la equivalencia con otras nociones similares que aparecen en la literatura. Una caracterización de los flujos de Anosov discretizados es obtenida bajo ciertas condiciones generales: se muestra que la clase de flujos de Anosov disretizados coincide con la de los parcialmente hiperb´olicos que dejan invariante cada hoja de una foliación central unidimensional. En cuanto a otras propiedades dinámicas, un resultado sobre unicidad de atractores es demostrado. Varios de estos resultados son obtenidos igualmente para la clase de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos que admiten una foliaci´on central uniformemente compacta.
Esta tesis se enmarca dentro del estudio de los sistemas parcialmente hiperbólicos (PH). Dentro de estos sistemas, nos enfocamos en tres aspectos: la coherencia dinámica (integrabilidad de los fibrados centro-estable y centro-inestable), la transitividad robusta y la accesibilidad. Respecto a la coherencia dinámica, se prueba que en ciertas clases de isotopía, la existencia de un difeomorfismo PH dinámicamente coherente implica que todo difeomorfismo dentro de esta misma clase de isotopía, también es dinámicamente coherente. Sobre la transitividad robusta se presenta una nueva definición de SH (some hyperbolicity) que generaliza a la introducida por Pujals y Sambarino. Probamos que esta nueva SH es una propiedad \(C^1\) abierta y luego se dan condiciones que garantizan que un difeomorfismo PH con propiedad SH sea \(C^1\) robustamente transitivo (se presenta un resultado similar para el caso de flujos). Luego se construyen ejemplos nuevos de difeomorfismos derivados de Anosov \(C^1\) robustamente transitivos. Finalmente respecto a la accesibilidad, trabajamos en la conjetura de Pugh-Shub. Esta conjetura dice que el conjunto de los PH establemente accesibles es \(C^r\) abierto y denso dentro de los sistemas PH. En un trabajo en conjunto con Martín Leguil, probamos que la conjetura es cierta para el caso de PH establemente dinámicamente coherente, con fibrado central de dimensión 2 y una condición de center bunching fuerte.
En esta tesis nos enfocamos en el estudio de los grandes desvíos (GD) para sucesiones de procesos de Markov que describen el comportamiento de ciertos algoritmos de exploración greedy sobre grafos aleatorios con el fin de construir conjuntos independientes en esos grafos.
Este trabajo se sitúa en la intersección entre la teoría de representaciones y el álgebra homológica, la cual se remonta en su origen a los trabajos de D. Hilbert sobre la dimensión global de álgebras de polinomios. En particular en 1890 se da a conocer el famoso teorema que nos dice que la dimensión global del álgebra \(\mathbb{K}[x_1, · · · , x_n]\) es precisamente igual a \(n\). Más adelante estas teorías se enriquecen en su interacción con la teoría de categorías, que surge por el año 1945 con los trabajos de S. Eilenberg y S. Mac Lane.
Desarrollamos un algoritmo para calcular formas modulares ortogonales asociadas a formas cuadráticas quinarias definidas positivas, para ello utilizamos representaciones de \(O(5)\) definidas a partir de la norma spin y polinomios esféricos. Con dicho algoritmo calculamos los espacios de formas modulares ortogonales para formas de discriminante \( D < 1000 \) libre de cuadrados. Dichos espacios se pueden descomponer como suma de autoespacios comunes a los operadores de Hecke. Para discriminante primo Ladd mostró que dichos autoespacios de formas modulares ortogonales sin representación corresponden, sujeto a una conjetura de Ibukiyama, a formas paramodulares de nivel primo y peso \(3\) y signo \(+\) en la ecuación funcional de su L-función.
El objeto de esta tesis es el estudio del problema de conteo orbital para pares simétricos pseudo-Riemannianos bajo la acción de subgrupos del tipo Anosov del grupo de Lie subyacente. En la primera parte estudiamos este problema para el par simétrico \((PSO_{(p, q)},PSO_{(p, q − 1)})\) y un subgrupo de \(PSO_{(p, q)}\) de tipo proyectivamente Anosov. Miramos la órbita de una copia geodésica del espacio simétrico Riemanniano de \(PSO_{(p, q−1)}\) dentro del espacio simétrico Riemanniano de \(PSO_{(p, q)} \). Demostramos un comportamiento asintótico puramente exponencial, cuando \(t\) tiende a infinito, para el número de elementos en esta órbita que se encuentran a distancia menor que \(t\) de la copia geodésica original. Interpretamos este resultado como el comportamiento asintótico del número de segmentos geodésicos de tipo espacio (en el espacio hiperbólico pseudo-Riemanniano) de longitud máxima \(t\) en la órbita de un punto base. Probamos resultados análogos para otras funciones de conteo. A continuación miramos el par \((PSL_d(\mathbb{R}),PSO_{(p, d − p)})\) y un subgrupo Borel-Anosov de \(PSL_d(\mathbb{R})\). Presentamos contribuciones hacia la comprensión del comportamiento asintótico de la función de conteo asociada a una copia geodésica del espacio simétrico Riemanniano de \(PSO_{(p, d − p)}\) en el espacio simétrico Riemanniano de \(PSL_d(\mathbb{R})\).
Este trabajo consta de dos partes. En la primera se define la cohomología \(L^p\) de ciertos espacios métricos Gromov-hiperbólicos relativa a un punto de su borde al infinito. Esto se hace en dos diferentes contextos. Primero se desarrolla una versión simplicial, definida para complejos simpliciales de geometría acotada. Se prueba aquí, al igual que como se hace en el caso clásico, que esta es invariante por cuasi-isometrías bajo cierta condición de contractibilidad. Luego se define una versión relativa de la cohomología \(L^p\) de De Rham en el caso de variedades Riemannianas. Se estudia la relación entre estas dos definiciones, lo que permite concluir que también esta segunda versión es invariante por cuasi-isometrías bajo ciertas hipótesis. Como aplicación de lo anterior se estudia la cohomología \(L^p\) relativa a un punto distinguido en el borde de los grupos de Heintze de la forma \(\mathbb{R}^{n−1} \rtimes \mathbb{R} \), donde la derivación α tiene valores propios reales positivos \(λ_1 ≤ · · · ≤ λ_{n−1}\). Como consecuencia se obtiene que los números \(\frac{λ_1}{ tr(α)},, . . . ,\frac{λ_{n−1}}{tr(α)} \) son invariantes por cuasi-isometrías. En la segunda parte se trabaja con la cohomología de Orlicz, que es una generalización de la cohomología \(L^p\). Aquí también se define una versión relativa y se adapta la prueba de la invarianza por cuasi-isometrías de la cohomología de Orlicz simplicial. Como resultado central de esta segunda parte se prueba la equivalencia entre la cohomología de Orlicz simplicial (relativa) y la cohomología de Orlicz-de Rham (relativa) para grupos de Lie. Una importante consecuencia de esto es la invarianza por cuasi-isometrías de la cohomología de Orlicz-de Rham en el caso de los grupos de Lie contractibles.
En esta tesis se estudian algunos aspectos de la teoría de los sistemas dinámicos discretos desde el punto de vista topológico con especial énfasis en las dinámicas expansivas. El material se encuentra dividido en tres capítulos cada uno de los cuales aborda una temática diferente y es esencialmente independiente de los otros. En el primer capítulo se estudian generalizaciones del concepto de expansividad de un homeomorfismo definido en un espacio métrico compacto, en especial la denominada expansividad por refinamientos. Esta noción tiene sentido en un espacio topológico arbitrario y preserva varias de las propiedades que exhiben los sistemas expansivos en el sentido usual. Se destacan entre otros el teorema de Mañé sobre la dimensión topológica del espacio en el que está definido un homeomorfismo expansivo, y teorema de la finitud de los sistemas expansivos al futuro. Se presenta también una familia de sistemas dinámicos simbólicos que generalizan los shift expansivos usuales. Finalmente se indica cómo puede intentarse extender este concepto a otras categorías como la de los anillos conmutativos. Gran parte del contenido presentado forma parte del artículo escrito en coautoría con Alfonso Artigue e Ignacio Monteverde. En el segundo capítulo se trata el tema de la observabilidad de un sistema dinámico, que grosso modo es el estudio de condiciones bajo las cuales diferentes estados del sistema pueden ser distinguidos realizando mediciones a lo largo de la evolución del mismo. El principal resultado obtenido es un teorema de observabilidad genérica para mapas continuos localmente inyectivos, que extiende trabajos de otros autores, en especial el de Gutman. Este teorema es aplicado al caso de las dinámicas expansivas obteniendo un teorema de observabilidad para mapas expansivos al futuro de un toro. Finalmente se estudia la vinculación entre la propiedad de expansividad y la de observabilidad. El material expuesto se encuentra contenido esencialmente en el artículo escrito en coautoría con Alfonso Artigue e Ignacio Monteverde. El tercer capítulo está dedicado al estudio de sistemas dinámicos que admiten un cociente expansivo. Se dan caracterizaciones de tales homeomorfismos complementando el trabajo de otros autores como Lewowicz, Sambarino y Cerminara. Se aborda también el caso de sistemas que son extensión de un homeomorfismo expansivo con la propiedad de sombreado (homeomorfismos de Anosov), obteniendo para ellos un resultado de estabilidad topológica en la linea del teorema de del mismo tipo para sistemas de Anosov debido a Walters. En el Anexo a este capítulo se presenta un resultado sobre sombreado.
Como forma de titular esta tesis, podemos decir que intenta aportar sobre diversos aspectos de la estadística, en particular cuando los datos toman valores sobre espacios euclídeanos de dimensión elevada o ciertos espacios no euclídeanos, donde la estadística clásica no está diseñada para brindar respuestas eficientes. En tal sentido un primer objetivo es poder extender, mediante el uso de proyecciones unidireccionales al azar, algunas pruebas de hipótesis (una de simetría central y otra de independencia) a espacios dimensión elevada o infinita (espacios funcionales). Como segundo objetivo se brindan respuestas a determinados problemas donde los datos se encuentran sobre una variedad Riemanniana. Se generaliza un concepto de profundidad estadística a datos que pertenecen a una variedad Riemanniana. Además se extiende el análisis de sensibilidad sobre un código con entradas estocásticas, pero ahora cuando el output está en una variedad Riemanniana. Son probadas aquellas propiedades deseables de las estadísticos planteados, la consistencia y la distribución asintótica de sus respectivos estimadores.
On the involutive Banach algebra associated to a topological dynamical system - Tabaré Roland (2025)