Seminario de Teoría de Números

En esta charla, discutimos ciclos de Heegner generalizados para formas modulares elípticas, su definición y relación con funciones L p ádicas siguiendo Bertolini--Darmon--Prasanna (2013). También discutimos sus interpolaciones a lo largo de familias de Hida de formas modulares, siguiendo Castella (2024), y a lo largo de familias de Coleman, siguiendo Jetchev--Loeffler--Zerbes (2021). Esta charla tiene como objetivo ser una introducción a mi charla en La Paloma.

Siguiendo algunas ideas presentadas por Matías el viernes pasado, mostraré cómo usar los p-vecinos para construir formas paramodulares de peso mayor o igual a 3. También hablaré de una idea para usar ciertas congruencias para ayudar en el cálculo de formas paramodulares de peso 2.

Al estudiar formas cuadráticas enteras, la equivalencia resulta un concepto fundamental. Dado que, fijado un discriminante, hay finitas clases de equivalencia de formas cuadráticas definidas positivas n-arias parece razonable preguntarse cuántas clases hay. Kneser introduce, en 1957, el método de los p-vecinos, consiguiendo, así , entre otras cosas,  hallar el número de clases de formas cuadráticas de discriminante pequeño para n=1, ..., 16.

El objetivo de esta charla es introducir el método en el caso de formas cuadráticas ternarias, mostrando también cómo algorítmicamente podemos enumerar todas las clases de equivalencia de formas cuadráticas en un caso concreto. Veremos, también, que puede definirse una acción de Hecke en el espacio vectorial con base las clases y exhibiremos en un ejemplo la relación entre éste y el espacio de formas modulares clásicas de peso 2.

El objetivo de las charlas es transmitir lo mucho que me fascina el vínculo del título. Intentaremos evidenciarlo con dos hechos: cómo el Lema de Selberg sobre grupos lineales en cuerpos de característica cero nos permite mostrar que todo orbifold hiperbólico tiene un cubrimiento de índice finito por una variedad hiperbólica, y el vínculo entre la dicotomía de Margulis sobre lattices irreducibles y la existencia de infinitas superficies totalmente geodésicas inmersas en una 3 variedad hiperbólica de la mano de su caracterización de aritmeticidad.

Posteriormente, si da el tiempo, comentaremos cómo esto lleva a la definición de grupos y variedades aritméticas y sus construcciones.

La idea es que no sea necesario tener muchos conocimientos previos en ninguna de las dos áreas, por lo que introduciremos todos los conceptos que aparezcan.

Hace cerca de noventa años, C.L. Siegel introdujo una generalización de las formas modulares elípticas en relación con su estudio de formas cuadráticas. Incluso hoy, las formas de Siegel, especialmente aquellas asociadas a subgrupos de congruencia, siguen siendo estudiadas.

El objetivo de esta charla es dar una introducción a la teoría clásica de formas de Siegel. Veremos las definiciones básicas, propiedades y algunas construcciones importantes en los espacios de formas modulares.

Hace 30 años Andrew Wiles sorprendió al mundo al anunciar su Teorema de Modularidad para curvas elípticas, celebrado por completar la demostración del Último Teorema de Fermat.

El objetivo de esta charla es presentar las correspondencias entre formas paramodulares y algunos objetos geométricos.

Tras una breve introducción a las formas paramodulares, recordaré el enunciado de la Conjetura Paramodular de Brumer y Kramer para superficies abelianas.

Otros objetos geométricos de interés son las variedades de tipo Calabi--Yau. Explicaré cómo usar una versión explícita del método de Faltings--Serre para probar la paramodularidad de algunas 3--variedades de tipo Calabi--Yau.

Por si alguien tiene interés y no puede venir, el seminario se transmitirá por Zoom en el siguiente enlace:

https://salavirtual-udelar.zoom.us/j/86107356390

Hace 30 años Andrew Wiles sorprendió al mundo al anunciar su «Teorema de Modularidad» para curvas elípticas, celebrado por completar la demostración del Último Teorema de Fermat.

El objetivo de esta charla es motivar la idea de modularidad desde sus primeras versiones en las leyes de reciprocidad de Gauss y la relación con las funciones L de Dirichlet.

El programa de Langlands predice una vasta red de conexiones desde la geometría aritmética (ecuaciones diofánticas) hacia el análisis (formas modulares o automorfas), siendo la modularidad de las curvas elípticas una pequeña parte de este programa.

____________________________________________________________________________

Por si alguien tiene interés y no puede venir, el seminario se transmitirá por Zoom en el siguiente enlace:

https://salavirtual-udelar.zoom.us/j/86107356390