Seminario de Sistemas Dinámicos

Dada la acción de un grupo (discreto e infinito) por homeomorfismos en un espacio (compacto y Hausdorff), se pueden construir distintas álgebras de Banach asociadas a esta acción. El álgebra obtenida depende del tipo de norma elegida, que puede ser de tipo C*, de tipo Lp, entre otras; nos centraremos, en esta charla, en el álgebra obtenida al considerar una norma de tipo l1. Tenemos la esperanza de que distintas propiedades dinámicas de la acción puedan ser detectadas como propiedades analítico-algebraicas del álgebra y viceversa, pero también es razonable esperar que, al pasar de la acción al álgebra, se pierda algo de información al respecto de la dinámica.

En esta charla, nos centraremos en estudiar la relación entre la acción y el álgebra que induce. Explicaremos cómo distintas propiedades dinámicas son detectadas en el álgebra y, sobre el final, discutiremos un teorema de rigidez que a grandes rasgos dice lo siguiente: dadas dos acciones sobre espacios compactos Hausdorff, las álgebras inducidas (de tipo l1) son isométricamente isomorfas si y sólo si las acciones son conjugadas en cierto sentido.

El contenido de la charla está basado parcialmente en resultados de mi tesis de maestría, y en un trabajo conjunto con Eusebio Gardella.

Una estrategia para estudiar ciertos modelos de sistemas físicos consiste en encontrar superficies de sección transversales a la dinámica con un mapa discreto de retorno asociado, y de aquí surge la importancia de entender dinámicas discretas de superficies. En varios casos de relevancia, como lo es el problema de tres cuerpos circular restricto, se logra asegurar bajo ciertas hipótesis la existencia de un anillo de sección global. Este ejemplo, y cualquiera que venga de un sistema hamiltoniano, verifica que el mapa de retorno es conservativo: preserva una forma de área. De aquí proviene la motivación del objeto de estudio de esta charla: mapas no-errantes del anillo, entendiendo no-errante como una generalización topológica de preservar área. 

¿En qué términos medimos el caos de uno de estos mapas? Nos interesa medir el caos rotacional, esto es, el relacionado con la propia topología del anillo. Entendemos un mapa caótico del anillo como aquel que admite una herradura rotacional, es decir, una herradura con conjunto de rotación no trivial. 

Resultados recientes de Alejandro Passeggi y Fabio tal, dan condiciones de sencilla verificación para casos concretos que aseguran la existencia de caos rotacional para mapas no errantes. Simplificando, se necesita encontrar dos entornos pequeños disjuntos de puntos fijos de distinta rotación de forma tal que la órbita de un entorno intersecta al otro. En la charla hablaré de las ideas detrás de esta prueba y de un trabajo en progreso con Alejandro en el que pretendemos alivianar las hipótesis de forma de no necesitar localizar puntos fijos. Veremos las dificultades que surgen al quitar la hipótesis de los fijos y, si da tiempo, sobre qué ideas tenemos para dar información sobre la localización de esta herradura.

We will talk about the result that given two pseudo-Anosov flows in a 3-manifold, at least one of which is transitive, and so that they have the same spectrum, and at least one of them does not have a tree of scalloped regions, then the flows are (isotopically) orbitally equivalent. The spectrum is the set of conjugacy classes in the fundamental group, which are represented by periodic orbits of the corresponding flow. There is a refined statement that takes into account the existence of trees of scalloped regions, where one still gets an orbitally equivalence result. The proof is done by analyzing the actions on the corresponding orbit spaces, each of which is a bifoliated plane. Before talking about the proof, we give some counterexamples when there are trees of scalloped regions.

La irrupción de la teoría del caos en la matemática es paradigmática: rompe con la idea de que se puede integrar (implícita o explícitamente) las ecuaciones diferenciales, para lo cual muchas herramientas algebraicas se crearon a lo largo de los siglos 17, 18 y 19 (y se siguen creando). El mensaje del padre de la teoría del caos es claro: se precisa de una descripción topológica de las soluciones y por eso desarrollar la teoría de dimensiones bajas, donde existen herramientas topológicas fuertes fue un camino natural. Un espacio fundamental para esto es el anillo o cilindro, involucrado en famosas ecuaciones diferenciales como el problema de los 3 cuerpos y las ecuaciones forzadas de segundo órden.  

En esta charla discutiremos qué sucedió con la misión de determinar si estas ecuaciones diferenciales presentan caos o no. Hablaremos también de dos importantes modelos:  familias de mapas y billares.

Discutiremos los ejemplos que se conocen de representaciones fieles y discretas de grupos de superficie en SL_3(R). Una clase de ejemplos es debida a Hitchin-Labourie, la otra a Barbot. En particular, discutiremos posibles maneras de caracterizar estos ejemplos mediante invariantes de deformación obteniendo una respuesta satisfactoria para el caso Hitchin-Labourie y una no tan satisfactoria para el caso Barbot. Se
trata de un trabajo (incipiente) en conjunto con Joaquín Brum y Rafael Potrie.

I will start the proof of the conjecture of Ramagge Steger and Robertson providing the best polynomial of the property of rapid decay for groups acting simply transitively on A2 buildings. 

It will be indeed a proof using many tools well understood in the case of negative curvature such as Busemann functions, Gromov products, shadow lemma etc etc.

The method is based on boundary representation corresponding of the action of the group on the Furstenberg boundary of the A2 buildings.

El objetivo de esta charla es discutir algunas relaciones entre la geometría y la teoría de los números encontradas en espacios hiperbólicos aritméticos, principalmente a través del estudio de geodésicas cerradas en el espacio.

The goal of this talk is to reformulate this property in terms of the periods of the flow and to explain for which manifolds the mixing property is an open question.

Según el trabajo de Eliashberg en dimensión 3 y de Borman—Eliashberg—Murphy en dimensiones superiores, existen dos tipos de estructuras de contacto: tight (geométricas/rígidas) y overtwisted (topológicas/flexibles). Las estructuras de contacto tight son mucho más difíciles de clasificar que las overtwisted (que satisfacen un h-principio y, por lo tanto, son abundantes). Una forma de entender las estructuras tight es a través de sus rellenos simplécticos.

En esta charla, explicaré cómo en la dimensión al menos 5, la esfera de dimensión impar admite estructuras de contacto que son exóticas desde el punto de vista simpléctico, es decir, son tight pero no admiten ningún relleno simpléctico. Esto contrasta marcadamente con el caso tridimensional, ya que Eliashberg demostró que hay una estructura de contacto tight única en la esfera tridimensional (que se puede rellenar).

Por último, comentaré las aplicaciones a la topología arbitraria. Esto se basa en trabajo conjunto con Jonathan Bowden, Fabio Gironella y Zhengyi Zhou.

Esta charla responderé a la siguiente pregunta: dado un polígono regular y una trayectoria (ideal) de billar que parte del centro del polígono y alcanza un vértice, ¿es cierto que la trayectoria «inversa» que parte del centro pero en sentido contrario también alcanza un vértice?
Cuando n es par, esto es obviamente cierto, por simetría, pero cuando n es impar la cuestión es más difícil, y para responderla introduciremos métodos geométricos relacionados con superficies de traslación) y teoría de números (fracciones continuas en grupos de Hecke).

I Will discuss property RD concerning discrete groups and boundary representation for trees, and A2 buildings. After having introduced property RD, the notion of buildings together with the questions related to thèse notions, I will try to explain how the action of a discrete Group on the Furstenberg boundary of a tree or a A2 building gives new estimates for property RD. This Will provide a new dynamical point of view of important questions in this area.
Joint work in progress with Thang Nguyen.

La emergencia de un sistema dinámico es una medida cuantitativa de qué tan lejos está dicho sistema de ser ergódico. En este seminario, investigaremos la emergencia de algunos ejemplos paradigmáticos: flujos cuyas órbitas son todas periódicas. Estos ejemplos son de particular interés porque, al contrario del caso discreto (si un homeomorfismo tiene todas sus órbitas periódicas, entonces debe ser una potencia de la identidad),  existen ejemplos de flujos en variedades compactas cuyas órbitas son todas periódicas, pero con períodos arbitrariamente grandes.

En esta charla, exploraremos avances en la teoría de sistemas dinámicos continuos a trozos (piecewise continuous maps o PCM en inglés), enfocándonos en cómo las estructuras topológicas y métricas 
en este espacio contribuyen a comprender aspectos dinámicos clave. En este sentido, analizaremos varias topologías sobre el espacio de PCM, las cuales introducen conceptos de perturbación relevantes desde una 
perspectiva dinámica. Comparar estas topologías nos permite establecer criterios precisos al elegir un concepto de perturbación, facilitando incluso la generalización de ciertos resultados basados --por 
ejemplo-- en la convergencia inducida por la topología.
Como aplicación concreta, discutiremos la inestabilidad estructural en mapas contractivos a trozos del intervalo que exhiben dinámicas asintóticas no periódicas. Este resultado se fundamenta en una generalización del {\it closing lemma}, el cual se extiende naturalmente a otras topologías más gruesas.