Seminario de Sistemas Dinámicos - Año 2022

El problema de tres cuerpos es un problema simple de relevancia histórica: determinar el movimiento de tres cuerpos modelados como masas puntuales cuyo movimiento queda determinado por la ley de gravitación universal de Newton. A fines de siglo XX, ante la pregunta sobre la integrabilidad de este problema, Poincaré prueba que bajo ciertas restricciones éste resulta no integrable, dando lugar a los orígenes de la teoría del caos. Para esta prueba construye por métodos perturbativos una superficie de sección transversal que permite una traducción de la dinámica a un mapa de retorno conservativo.

La simplificación del problema que nos interesa consiste en considerar uno de los cuerpos con masa despreciable, restringirse a movimientos en el plano, y asumir que el movimiento de los cuerpos de masa no despreciable queda descrito por círculos concéntricos centrados en su centro de masa. Siguiendo con la filosofía de Poincaré, se piensa a este problema como la perturbación de uno más sencillo y de esta forma Conley construye a mediados de siglo XX un anillo de sección transversal para energías suficientemente bajas, usando como borde del anillo dos órbitas periódicas especiales.

Este problema sigue siendo material de estudio y en este sentido es que en las últimas décadas se ha intentado dar resultados no perturbativos. Un camino en esta dirección surge de la interacción de la teoría de curvas pseudoholomorfas y geometría de contacto.

La tesis intenta dar un recuento histórico con una visión moderna de ciertos abordajes al problema, finalizando con una lectura informal de la aplicación de resultados notables de Wysocki, Hofer y Zehnder en esta búsqueda, no perturbativa, de superficies de sección globales para el problema de tres cuerpos restricto planar-circular.

El argumento de la deriva exponencial es una idea profunda desarrollada por Jean-François Quint e Yves Benoist, en un célebre trabajo sobre la clasificación de medidas estacionarias para paseos aleatorios Zariski densos en cocientes de un grupo de Lie por subgrupos discretos. El resultado de Benoist-Quint generaliza el teorema de Ratner sobre clasificación de medidas invariantes por subgrupos unipotentes a un parámetro de un grupo de Lie, actuando en el cociente por una reticulado. Esta idea ha tenido mucho éxito en una serie de
diferentes contextos, como en los recientes trabajos de Brown-Hertz, Cantat-Dujardin, Eskin-Lindenstrauss,
Eskin-Mirzakhani. En esta charla, mostraré cómo utilizar el método de factorización, que es el diseño de deriva exponencial de Eskin-Mrizakhani, para resolver el problema de la rigidez de las medidas de Gibbs para pequeñas perturbaciones de difeomorfismos de Anosov que preservam volumen en dimensión tres.

Usando argumentos simples con rectas, mostraremos la existencia de dos soluciones del flujo de curvatura media para curvas (Curve Shortening Flow), uno para rectas encajadas y otro para círculos encajados, con el mismo límite cuando t -> 0+. El resultado puede pensarse como de ausencia de unicidad para soluciones con encaje inicial no compacto. Las técnicas son simples y se presentarán en detalle. Es un trabajo en curso con Theodora Bourni.

Conjugar dos fenómenos dinámicos permite construir un puente entre ellos por el cual transitan propiedades compartidas por ambos sistemas. En general estas conjugaciones son homeomorfismos y los sistemas dinámicos que conjugan se denominan topológicamente conjugados. El problema de encontrar conjugaciones con mayor grado de regularidad se remonta a estudios de Poincaré. La pregunta general sería: si dos difeomorfismos de clase C^k son topológicamente conjugados entonces, ¿existe una conjugación con el mismo grado de regularidad de los difeomorfismos? Un caso donde la respuesta es afirmativa tiene su base en el Teorema de Traslación de Brouwer, dicho sea de paso uno de mis favoritos. Este trabajo se realizó en conjunto con Armengol Gasull y Francesc Mañosas de la Universidad Autónoma de Barcelona.

Se mostrará como el modelo de los gases basado en la mecánica newtoniana llevó a que se planteara el problema de su ergodicicad y cómo esto fue una de las bases para estudiar el sencillo modelo de la dinámica de billares. Hilbert también se preocupó del asunto.

Desde que comencé mis estudios de maestría he estado investigando este tipo de mapas. Es un tema que históricamente no había sido abordado. En ese contexto, logré algunas publicaciones que prueban la existencia de distintos endomorfismos en dimensiones arbitrarias que presentando puntos críticos persistentes son robustamente transitivos. En esta charla repasaremos estas construcciones y mostraré otros resultados no publicados, fruto de investigaciones recientes. 

El espacio de Teichmüller de una superficie S es el espacio de clases de isotopía de métricas hiperbólicas en S. Thurston introduce una métrica asimétrica en este espacio: dadas dos métricas g_1 y g_2, se considera el logaritmo del supremo de los cocientes de longitudes de geodésicas cerradas respecto de g_1 y g_2. Thurston brinda una descripción alternativa de dicha métrica usando mapas Lipschitz entre ambas superficies hiperbólicas, y calcula algunas de sus geodésicas. En esta charla comentaré cómo generalizar la definición de Thurston a un espacio de deformación distinto, el espacio de estructuras proyectivas convexas en S, y discutiremos algunas preguntas relacionadas en las que venimos trabajando. Trabajo en conjunto con Xian Dai, Beatrice Pozzetti y Anna Wienhard.

This is joint work with Rafael Potrie. We study two dimensional foliations F_1, F_2 of a 3-manifold M so that they have C^1 leaves and they are transverse to each other. The intersection is a one dimensional foliation
G, which subfoliates leaves of F_1, F_2. This is very common, for example when F_1, F_2 are the weak stable and unstable foliations of an Anosov flow in a 3-manifold. We assume that the leaves of F_1, F_2 are Gromov hyperbolic. There are several properties to study. One question is when the foliation G is the flow foliation of a topological Anosov flow. We study the particular case that the manifold is T^1 S, the unit tangent bundle of a closed hyperbolic surface. We show for example that if certain leaf spaces associated with G are Hausdorff, then G is the flow foliation of an Anosov flow.

Dado un conjunto finito de matrices de PSL(2,R) que generan libremente un grupo de Schottky y una probabilidad soportada en estas matrices, probamos que la medida estacionaria de la caminata al azar asociada tiene dimensión de Hausdorff estrictamente más chica que el conjunto límite del grupo en el borde del plano hiperbólico. En particular, si fijamos un punto del plano hiperbólico, la medida de Patterson Sullivan correspondiente es singular con respecto a la medida estacionaria de la caminata. Esto prueba casos particulares de una conjetura aún abierta debida a Vadim Kaimanovich y Vincent LePrince.

In this talk we construct and classify convex ancient curve shortening flows in the disc with free boundary on the circle. This work is joint with Mat Langford.

Esta tesis se enmarca dentro del estudio de los sistemas parcialmente hiperbólicos (PH). Dentro de estos sistemas, nos enfocamos en tres aspectos: la coherencia dinámica (integrabilidad de los fibrados centro-estable y centro-inestable), la transitividad robusta y la accesibilidad.

Respecto a la coherencia dinámica, se prueba que en ciertas clases de isotopía, la existencia de un difeomorfismo PH dinámicamente coherente implica que todo difeomorfismo dentro de esta misma clase de isotopía, también es dinámicamente coherente.

Sobre la transitividad robusta se presenta una nueva definición de SH (some hyperbolicity) que extiende a la introducida por Pujals y Sambarino. Probamos que esta nueva SH es una propiedad C^1 abierta y luego se dan condiciones que garantizan que un difeomorfismo PH con propiedad SH sea C^1 robustamente transitivo (se presenta un resultado similar para el caso flujos). Luego se construyen ejemplos nuevos de difeomorfismos derivados de Anosov C^1 robustamente transitivos.

Finalmente respecto a la accesibilidad, trabajamos en la conjetura de Pugh-Shub. Esta conjetura dice que el conjunto de los PH establemente accesibles es C^r abierto y denso dentro de los sistemas PH. En un trabajo en conjunto con Martín Leguil, probamos que la conjetura es cierta para el caso fibrado central de dimensión 2 y una condición de center bunching fuerte.

Para nosotros, una foliación en una 3-variedad M será una partición "bien
portada" de M por superficies que llamaremos hojas. Dada la definición
anterior y un poco de optimismo, a uno le gustaría obtener resultados del
tipo "la topología de M impide o fuerza x comportamiento en las hojas".
Comenzaremos la charla repasando algunos resultados clásicos en esta
dirección y veremos con ejemplos que no es claro qué enunciados de este tipo
son esperables en caso de tener componentes de Reeb
<https://en.wikipedia.org/wiki/Reeb_foliation> . Una vez generada la
intriga, voy a contarles un resultado parcial de este estilo para el caso
con Reebs asumiendo una condición geométrica extra sobre la foliación (la
uniformidad).

La cohomología de Orlicz es un invariante de cuasi-isometría que resulta de generalizar otro invariante importante: la cohomología Lp. Trabajos referidos a este último datan desde la década del 80. En estos se dan definiciones para diferentes contextos y establecen teoremas de equivalencia, se estudian sus propiedades y se dan aplicaciones a problemas de clasificación cuasi-isométrica. La cohomología de Orlicz no ha sido aún explorada en la misma profundidad, pero existen resultados que muestran mejoras sustanciales a aplicaciones de la cohomología Lp.

El objetivo de la charla será contar algunos avances en este sentido y en particular un trabajo en conjunto con Yaroslav Kopylov, en el que estudiamos dos variantes de la cohomología de Orlicz: la cohomología de Orlicz asintótica y la cohomología continua de grupos con coeficientes en espacios de Orlicz.

Sobre la topología de las hojas de una foliación por superficies se sabe bastante. Cualquier superficie es hoja de una foliación  de alguna 3-variedad compacta, pero hay restricciones fuertes para la topología de las hojas genéricas. Voy a hablar de qué superficies pueden coexistir como hojas de una misma foliación, y de un procedimiento para construir ejemplos de foliaciones que tienen las hojas que uno quiera. Es un trabajo con Seba, Frodo y el Gordo del que habló Frodo cuando estaba en proceso, y que no volvimos a presentar en el seminario en su versión definitiva. 

Un problema inverso clásico en geometría riemanniana es el siguiente: ¿dada la curvatura (en algún formato) es posible reconstruir la métrica a partir de ella? En esta charla abordaré la instancia particular de este problema cuando la variedad es R^2. Kazdan y Warner (1974) probaron que toda función diferenciable en R^2 es la curvatura (escalar, o gaussiana) de alguna métrica y caracterizaron las funciones que son curvatura de métricas completas. Sin embargo hay cosas que no se saben, por ejemplo, ¿si tengo una función, en qué clase conforme está una métrica con esa curvatura? Planteado de otra forma, dada una clase conforme, queremos saber cuál es el conjunto de las funciones de curvatura de las métricas en esa clase. Este problema consiste en estudiar las soluciones de una ecuación diferencial elíptica. La idea es hacer una reseña de la historia de este problema, comenzando por Ahlfors que en 1938 probó que la función constante -1 no es la curvatura de ninguna métrica conformemente euclidiana (en R^2), hasta resultados recientes (2020) que dan condiciones para que una función sí lo sea. El problema de cuándo una función es la curvatura de una métrica conformemente Poincaré es sensiblemente más difícil y hay menos resultados al respecto. También diré algunas palabras sobre el problema de difusión asociado (popularmente conocido como "flujo de Ricci"), en particular en el caso de curvatura no acotada (siempre en R^2).
La charla será apta para todo público.

Dado un grupo finitamente generado y una variedad , una pregunta natural es si existe una acción continua (o con regularidad dada) de en . Además, en caso que la respuesta a la pregunta anterior sea afirmativa, es natural preguntarse de "cuántas formas distintas¨ puede actuar. En el seminario intentaré hablar sobre distintas formas de interpretar la pregunta en el caso de variedades de dimensión uno. Además, si da el tiempo, contaré que se sabe en el caso en que  es soluble y  tiene dimensión uno. 

Given a dynamical system (X,T) [where X is compact metric and T is a self-homeo on X] its Ellis semigroup is defined as the closure of the collection {T^n} in the space of self-maps on X. The Ellis semigroup is a cornerstone of the algebraic theory of topological dynamics. Unfortunately, quite often, it is quite nasty. This talk is about when the Ellis semigroup of Toeplitz shifts is well-behaved (or: tame). There will be few to no proofs but rather a discussion of the involved techniques (most notably Brattelli-Vershik representations of minimal Cantor systems). Joint work with Johannes Kellendonk and Reem Yassawi.

En esta charla, nos vamos a interesarar en los difeomorfismos de Anosov del toro de
dimensión 3 con fibrado inestable de dimensión 2. Es conocido que todo difeomorfismo con esta
propiedad tiene una única medida SRB, que es absolutamente continua en la dirección
(centro)-inestable (de dimensión 2). Podemos considerar también otro tipo de medidas, cuyo estudio
fue iniciado por Pesin-Sinai: son las medidas de u-Gibbs, que son absolutamente continuas en la
direccion inestable fuerte (de dimensión 1). En particular la medida SRB es una medida de u-Gibbs.
En un trabajo hecho junto a Martin Leguil, Davi Obata y Bruno Santiago, probamos que cerca de los
sistemas conservativos, si los fibrados estable e inestable fuertes no son juntamente integrables,
toda medida de u-Gibbs es SRB. En particular en este caso existe una única medida de u-Gibbs que
describe las propiedades ergódicas de la foliación inestable fuerte. Para probar este resultado,
adaptamos los resultados recientes de dinámica homogénea (Benoist-Quint, Eskin-Lindenstrauss,
Eskin-Mirzakhani, Brown-Hertz) al caso (parcialmente) hiperbólico y en particular el metodo de la deriva exponencial.

En esta charla intentaré mostrar que en la clase de isotopía de cualquier difeomorfismo parcialmente hiperbólico que preserva volumen (en dimensión 3) hay un difeomorfismo que no es parcialmente hiperbólico y es establemente ergódico. En particular se obtienen nuevos ejemplos de difeomorfismos en variedades tridimensionales. Este resultado es un trabajo en conjunto con Davi Obata y Jana Rodriguez Hertz el cual fue publicado el año pasado.

Como Sergio tuvo que cancelar su visita, voy a tomar su lugar para contar un trabajo que hicimos con él hace un tiempo (ver https://arxiv.org/abs/2102.02156). La idea es estudiar una clase de sistemas dinámicos en 3 variedades, llamados parcialmente hiperbólicos. Lo que voy a contar es una clasificación topológica de estos sistemas en 3-variedades llamadas hiperbólicas (que en cierto sentido, justificado por los trabajos de Thurston y Perelman son las más 'abundantes'). El estudio involucra víncular la geometría de la variedad con la dinámica a gran escala para mapas que preservan foliaciones y construir cosas similares a mapas pseudo-Anosov de superficies. Si da tiempo, voy a contar la dificultad de extender estos resultados a otras variedades, en particular, cuando ocurren fenómenos similares a los que aparecieron en la charla de Patrice (twists de Dehn).

We give a characterization of homeomorphisms $f$ of a closed surface of genus $\geq 2$ with no wandering point that have finitely many periodic points. The main result is the fact that there exists an integer $q$ such that the periodic points of $f^q$ are fixed and $f^q$ is isotopic to the identity relative to its fixed point set. The emblematic way to construct such an example is to start with the time one map of a flow of minimal direction for a translation surface, to add finitely many stopping points and to lift this map to a finite covering. The main result in the proof is that every homeomorphism with no wandering point, isotopic to a Dehn twist map, has infinitely many periodic points. Such a result was known for a generic area preserving diffeomorphism in the isotopy class. To extend this result, obtained with Martin Sambarino, to the general case, one needs to introduce a ``forcing lemma'' , very similar to a forcing result obtained with Fabio Tal in the case of maps isotopic to the identity.

En esta charla les contaré sobre resultados recientes de un trabajo,  en colaboración con Daciberg L. Gonçalves (IME-USP), relativos a la siguiente pregunta:

De la teoría ergódica, la filosofía de entender las acciones a partir de familias de operadores unitarios que están naturalmente asociados a la dinámica. De las caminatas al azar, la regularidad de la medida estacionaria está ligada al análisis espectral del llamado "operador de transferencia". De la teoría de números, donde las representaciones son un puente entre el análisis y la geometría. Las representaciones unitarias proliferan por la matemática.

En esta charla voy a mostrar una forma de construir y clasificar deformaciones de representaciones unitarias en el caso de un grupo particular, Aut(X), el grupo de automorfismos de un árbol regular. Este grupo tiene la virtud de ser muy grande (por ejemplo, tiene gran cantidad de subgrupos), pero también tiene asociada una estructura geométrica y combinatoria muy rica, lo que lo hace ameno para trabajar con él.

In this talk I'll discuss an old object revisited recently : how to define a particular dynamical system from a group action?

The groups here are the surface groups and the dynamics will be a very particular class of piecewise homeomorphisms on the circle.