Seminario de Álgebra del IMERL

Abstract:
Duoidal categories carry two compatible monoidal structures. We will go over the basics of duoidal categories, illustrating with a number of examples. As monoidal categories provide a context for monoids, duoidal categories provide one for duoids and bimonoids. Our main goal is to discuss a number of versions of the classical Eckmann-Hilton argument which may be formulated in this setting. As an application we will obtain the commutativity of the cup product on the cohomology of a bimonoid with coefficients in a duoid, an extension of a familiar result for group and bialgebra cohomology with trivial coefficients. The lectures borrow on earlier work in collaboration with Swapneel Mahajan on the foundations of duoidal categories (2010). The main results are from ongoing work with Javier Coppola. We also rely on work of Richard Garner and Ignacio López-Franco (2016). Familiarity with the basics of monoidal categories and monoidal functors, as well as with the basics of Hochschild cohomology, would be helpful, although these notions will be reviewed.

Programa:

Lecture 1:
A. The classical Eckmann-Hilton argument
B. Monoidal categories and functors
C. The cup product

Lecture 2:
A. Duoidal categories: definition and examples
B. Bimonoids and duoids
C. Functors between duoidal categories

Lecture 3:
A. Duoids and commutativity in duoidal categories
B. Eckmann-Hilton for duoidal functors
C. The Hochschild complex as a duoidal functor

Si $M$ es un monoide algebraico (es decir una variedad algebraica $M$ con un producto asociativo con neutro $m:M\times M\to M$, que a su vez es morfirmo de variedades) entonces es sabido que el conjunto de sus elementos invertibles es un abierto, y por lo tanto un grupo algebraico. Si bien este resultado se puede generalizar a esquemas de tipo finito y sus límites, el problema general está abierto (aunque se conjetura que para monoides casi-compactos el resultado es cierto).

Por otro lado, es sabido que el grupo  de automorfismos (y el monoide de endomorfismos) de un esquema en general no admite una estructura de esquema. La búsqueda de "subgrupos algebraicos" de este grupo es un tema muy activo, aún en el caso del espacio afín (en Uruguay, I. Pan y quien suscribe nos interesamos en este tema en particular). Es interesante notar que en el caso de los endomorfismos del espacio afín de dimensión $\geq 3$, los automorfismos no conforman un abierto, sino un conjunto localmente cerrado.

En esta charla  introduciré los conceptos anteriores de un modo "más o menos" formal (enfocándome en las diferencias con el caso "más simple" de los monoides algebraico), y mostrando algunas ideas clave  en las pruebas de algunos de los resultados. Por supuesto, haré algún comentario del por qué la situación de los endomorfismos del espacio afín hace tambalear la conjetura pero no la tira...