Seminario de EDPs y Afines (IMERL)

Resumen adjunto.

Las fórmulas de monotonía son una herramienta esencial en el estudio de EDP parabólicas y elípticas, y permiten entender el comportamiento asintótico, rigidez, autosimilaridad y regularidad de soluciones. Para ecuaciones parabólicas, estas cantidades involucran el núcleo de calor hacia atrás y suelen ser difíciles de derivar. No obstante, recientemente se ha iniciado la exploración de una forma sistemática de obtener monotonías para ecuaciones parabólicas a partir de monotonías elípticas ya conocidas, para lo cual se expresa la teoría parabólica como límite de teorías elípticas. En esta charla voy a contar cómo surgen estas monotonías parabólicas, tanto nuevas o clásicas, como límite de monotonías elípticas. Como ejemplo, vamos a ver una aplicación al operador fraccionario de calor y, si el tiempo lo permite, al flujo de Ricci.

In this Lecture, we obtain sharp and improved regularity estimates for weak solutions of weighted quasilinear elliptic models of Hardy-Hénon-type, featuring an explicit regularity exponent depending only on universal parameters. We also establish higher regularity estimates and non-degeneracy properties in some specific scenarios, providing further geometric insights into such solutions. Our regularity estimates both enhance and, to some extent, extend the results arising from the C^{p^{\prime}} conjecture for the p-Laplacian with a bounded source term. Finally, our results are noteworthy, even in the simplest model case governed by the p-Laplacian with regular coefficients, under suitable assumptions on the data, with possibly singular weights, which includes the Matukuma and Batt–Faltenbacher–Horst's equations as toy models.

This is a joint work with Disson dos Prazeres (Universidade Federal de Sergipe - Brazil), Gleydson C. Ricarte (Universidade Federal do Ceará - Brazil), and Ginaldo S. Sá (Universidad de Chile - Chile).

De manera informal, decimos que una EDP es disipativa si la energía de sus soluciones decrece con el tiempo, como por ejemplo acontece con las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes, o las de la ecuación de ondas no lineal amortiguada. Suponiendo que tenemos decaimiento, es natural preguntarse cuál es su velocidad y cual es el papel que juega el dato inicial. El objetivo de esta charla es dar una visión general de las líneas de trabajo que he desarrollado en los últimos años vinculadas a estas preguntas. Las palabras clave son Fourier Splitting, decay character y (spoiler) "las frecuencias bajas determinan el decaimiento".