Seminarios

En este trabajo se aborda el problema de estimar la medida Λ que caracteriza la dinámica de un Λ-coalescente, un tipo de proceso de genealogía con fusiones múltiples ampliamente utilizado en genética de poblaciones. La contribución principal del artículo consiste en proponer un estimador no paramétrico de la densidad asociada a la medida Λ, a partir de la observación del coalescente en un único instante temporal. El estudio desarrolla en detalle las propiedades estadísticas del estimador —incluyendo su sesgo, varianza y condiciones de consistencia— y establece tasas de convergencia bajo supuestos adecuados sobre la estructura del proceso y la regularidad de la medida Λ. 

Después de 50 años en esta área de investigación pensé que es tiempo para dar algunas conclusiones. Primero quiero empezar con la independencia que permite construir las bases de la estadística.

1 - la ley de grandes números traducida en consistencia de los estimadores empíricos,

2 - el teorema central del límite, que permite dar una validación empírica del primer ítem.

Avatares de la independencia son las caminatas aleatorias y los procesos gaussianos. Para cumplir los dos puntos precedentes (1 - se llama teorema ergódico) se deben considerar procesos gaussianos, y entonces me parece que la gaussianidad y el caso gaussiano son las etapas siguientes. Para éstos teníamos extensos desarrollos, pero en los años 50 se desarrollaron las nociones de mixing (y nació…). En estas nociones mi trabajo fue remarcado con un libro sencillo en 1994, pero muy citado porque correspondía a una necesidad. Finalmente, sobre el fin de los 90, me dí cuenta de que algo faltaba acá e introduje una noción de dependencia débil, con Sana Louhichi. Eso fue un sucesos hasta que se introdujo la noción de medida física de dependencia (Wu, 2005). Quiero hacer la apología de este trabajo y al mismo tiempo decir sus límites, que no me parecen un detalle, y seguir la onda natural de la investigación y cómo se desarrolla. Finalmente mi interés es en estadística, entonces me quiero concentrar en los ejemplos y desarrollos adicionales de los modelos de memoria infinita. La conclusión, me parece, es que se debe entender los objetivos más que el método de mixing, de dependencia débil, u otros, porque eso es la cosa importante para estadísticos humildes.

Introduciremos la τ-Hochschild (co)homología superior usando la traslación de Auslander-Reiten generalizada por O. Iyama.  Se trata de un trabajo junto con M. Lanzilotta, E.N. Marcos y A. Solotar.

En esta charla estudiaremos el driven pendulum, cuyo ángulo x(t) satisface la ecuación diferencial:

x'' = -(g/L)*sin(x) + Asin(w0*t)

Para A = 0 recuperamos el péndulo simple. Para A grande, las simulaciones numéricas sugieren la existencia de caos, pero no hay pruebas formales de ello hasta ahora.

Para estudiar este sistema, fijamos T = 2*pi/w0 y analizamos la dinámica mediante el mapa de Poincaré f_A en el anillo. Usando resultados recientes Alejandro Passeggi y Favio Pirán, probamos la existencia de una herradura rotacional para f_A con los siguientes parámetros:

g = 9.8, L = 1.0, A = 3.0, T = 2.5
g = 9.8, L = 1.0, A = 2.5, T = 2.5
g = 9.8, L = 1.5, A = 7.0, T = 3.0

La prueba se hace con CAPD (Computer Assisted Proofs in Dynamics), una librería en C++ que permite aritmética de intervalos e integración rigurosa de EDOs. Les voy a contar sobre algunas técnicas y algoritmos que usé para encontrar candidatos y validar las hipótesis que implican la existencia de estas herraduras.

Este trabajo está en desarrollo en colaboración con Maciej Capiński (AGH University of Kraków) y Alejandro Passeggi (CMat Udelar).

En este seminario se hablará sobre algunos resultados de expansividad y la genericidad de los difeomorfismos cw-expansivos en superfícies. Mostraremos que en superficies la cw-expansividad genérica en topología C^1 no implica ser Anosov (ni quasi-Anosov).