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En el congreso ICRA 2024, Nan Gao, Xue-Song Lu y Pu Zhang anunciaron unos resultados en donde se construyen cadenas de estructuras de modelos abelianas y exactas a partir de dimensiones homológicas Gorenstein proyectivas y Gorenstein planas. Por ejemplo, sobre un álgebra de Artin, los módulos de dimensión Gorenstein proyectiva acotada forman la clase de objetos cofibrantes de cierta estructura abeliana, y algo similar pasa con los módulos de dimensión Gorenstein plana acotada sobre cualquier anillo. Estos resultados representan un avance en los aspectos homotópicos del álgebra homológica Gorenstein.

Por otro lado, el concepto de pares de Frobenius encapsula una serie de propiedades que deben cumplir un par de clases en una categoría abeliana para poder construir aproximaciones, pares de cotorsión y, en algunos casos, estructuras de modelo proyectivas exactas. Resultan ser bastante útiles para "describir el mundo Gorenstein proyectivo" y obtener algunas estructuras de modelo Gorenstein. Sin embargo, los métodos conocidos hasta la fecha sobre pares de Frobenius se quedan cortos a la hora de cubrir ciertas estructuras, como las mencionadas en el párrafo anterior.

La idea de esta charla, basada en un trabajo conjunto con Víctor Becerril, será presentar una familia de pares de Frobenius, que satisfacen cierta condición de completitud, para describir los patrones detrás de la construcción de las estructuras de Gao, Lu y Zhang. Esto permite la obtención de nuevas estructuras de modelos asociadas a dimensiones homológicas Gorenstein relativas, la recuperación o generalización de estructuras ya conocidas en la literatura, y la simplificación de algunas demostraciones de la completitud de ciertos pares de cotorsión. 

I will review some classical examples of groups whose strictly descending chains of subgroups are finite. Some recent constructions of such groups (having large cardinality) will also be explained. Set-theoretic consistency will play a role in some of the stated results. This is joint work with Saharon Shelah.