Seminarios

¿Por qué nuestra intuición de ℝ^𝑛 se rompe cuando trabajamos en espacios de dimensión infinita? En nuestros primeros años de formación construimos una fuerte intuición sobre la topología y la geometría de ℝ^𝑛, parte de la cual depende de un hecho puramente algebraico, que su dimensión es finita. Al pasar a espacios de dimensión infinita, empezamos a encontrar resultados que rompen esa intuición, por ejemplo, que una función lineal no es necesariamente continua. El resultado central de la charla es el teorema de Riesz, que nos dice que la bola unidad de un espacio normado nunca es compacta si la dimensión es infinita, contradiciendo Bolzano-Weierstrass. Nos permitirá entender como siempre podremos encontrar suficiente espacio, incluso en conjuntos acotados, para colocar puntos suficientemente alejados entre sí. Perdida la compacidad, ¿cómo seguimos estudiando la geometría de estos espacios? Ahí entra el teorema de Hahn-Banach, que nos permite separar dos convexos disjuntos por un hiperplano, algo intuitivo en ℝ^𝑛 y que en dimensión infinita motiva definir el espacio dual y nociones centrales del análisis funcional. Con esas herramientas volvemos a la compacidad perdida, esta vez a través de las topologías débiles. Cerraremos mostrando como desde las ecuaciones en derivadas parciales resulta crucial todas estas herramientas para resolver problemas variacionales, motivando todo lo que hemos visto. Todo el recorrido lo haremos con una mirada predominantemente geométrica e intuitiva.