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Coloquio Extraordinario del IMERL

El jueves 21 de mayo a las 16:00 horas, en el Salón 101, se realizará un Coloquio Extraordinario del IMERL a cargo del Profesor Andrés Navas, de la Universidad de Santiago de Chile, quien se encuentra de visita como Profesor Visitante del IMERL.

Título: El cuadrado mágico de Khajuraho y las simetrías del hipercubo

Resumen: Los cuadrados mágicos de números son objetos deslumbrantes que permiten relacionar las matemáticas con su historia y las diferentes culturas. Esta charla se centrará en un cuadrado específico surgido en la India en torno al siglo XI. Se explicará por qué trae consigo elementos de la geometría de la cuarta dimensión. A lo largo de la charla se presentarán muchos problemas aún en abierto.

Expositor: Prof. Andrés Navas, USACH
Fecha: jueves 21 de mayo
Hora: 16:00
Lugar: Salón 101

Los grafos expansores son extremadamente útiles por ser esparsos y, al mismo tiempo, poseer excelentes propiedades de distribución de la información. En particular, el estudio de expansores bipartitos tiene numerosas aplicaciones en teoría de códigos, compressive sensing, group testing, entre otras áreas.

En esta charla nos enfocamos en la noción de expansores bipartitos óptimos, es decir, aquellos que alcanzan la mejor constante de expansión posible para conjuntos de nodos de tamaño fijo. Presentamos una caracterización de estos grafos en términos de su cintura (la longitud de su ciclo más corto), lo que naturalmente conduce a la búsqueda de grafos estructurados sin ciclos cortos.

Para esto, utilizamos el método probabilístico para construir expansores óptimos dentro de familias de grafos de cintura seis, como aquellas provenientes de geometría finita. Esto produce grafos cuyas propiedades de expansión pueden verificarse computacionalmente.

Finalmente, estudiamos aplicaciones en teoría de códigos, específicamente en post-quantum key exchange. Mostramos que nuestros códigos presentan ventajas frente a ataques de fuerza bruta y que, con alta probabilidad, pueden construirse con distancia dual alta.

Estos resultados fueron obtenidos en conjunto con Tristram Boggart, Marcelo Fiori y Mauricio Velasco.

Tras repasar las definiciones básicas presentaremos el objeto central de esta charla: la serie theta asociada a un retículo. Construida a partir de información combinatoria —las normas de los elementos del retículo—, esta serie permite definir una función en el semiplano superior con buenas propiedades analíticas. Estas nos permiten probar, por ejemplo, que la existencia de un retículo unimodular par impone una fuerte restricción en el espacio ambiente.

Finalmente, abordaremos el problema de su clasificación. A estos efectos, veremos cómo la fórmula de la masa de Smith-Minkowski-Siegel nos permite resolver el problema en dimensión baja, así como ver que una clasificación exhaustiva en dimensión mayor o igual a 32 resulta una tarea simplemente inabarcable. Cerraremos esbozando la clasificación en dimensión 24 debida a Niemeier (1973), siguiendo la simplificación de la prueba propuesta por Venkov (1978) donde confluyen los sistemas de raíces, las funciones theta y los códigos algebraicos.

Interval maps with several equally sticky and sufficiently sticky neutral fixed points can present non-statistical behaviour where the sequence of empirical measures does not converge for Lebesgue almost every initial condition. If the order of the tangency of the map to the identity at the fixed points is small enough there is a unique physical measure (equivalent to Lebesgue) and the map is statistical. If instead the order of this tangency is sufficiently large, then the empirical measures almost surely accumulate to the full simplex of invariant measures supported at the fixed points and the map is non-statistical. I will present recent ongoing work with Tanja I. Schindler (University of Exeter) where we describe the almost sure behaviour of the empirical measures at the boundary case between these two phenomena.

In this talk, I will recall the classification of algebraic Anosov flows by Tomter and the ``example of the mixed-type’’ which inspired us to look at torus bundles. Then I will introduce the project of construction of non-algebraic Anosov flows that fibre over 3-dimensional non-algebraic Anosov flows. We give some obstructions. This is a joint work with Neige Paulet.