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Deterministic optimal control problems for ODEs can be attacked through Pontryagin's maximum principle, which leads to a boundary-value problem for state and costate, or through the Hamilton–Jacobi–Bellman equation, a first-order nonlinear PDE. Both routes suffer when the Hamiltonian is nonsmooth, as in bang-bang regimes. We present a research line that regularises the Hamiltonian by log-sum-exp smoothing of piecewise-affine surrogates and builds on it two solver families: an adaptive Pontryagin shooting method with a posteriori error control (arXiv:2606.25731), and an unconstrained costate-optimization method with exact value equivalence and certified primal–dual bounds derived from HJB subsolutions. Benchmarks include nonsmooth, singular, hypersensitive, and high-dimensional problems.

Joint work with S. Ksous, S. Lalvay Segovia, M. Sandberg, E. von Schwerin, and A. Szepessy.

Una medida de probabilidad en la recta real se dice de Rajchman si su transformada de Fourier converge a cero en el infinito.

Sea (a_n)_{n>0} una sucesión IID de variables aleatorias con valores en {0,1} y distribución  a_i ~ Bernoulli(1/2,1/2). En un bellísimo trabajo de Erdos de 1939, se muestra que la distribución \mu asociada a la variable aleatoria  

X = \frac{1}{(1-\lambda)} \sum_{n\geq 1} a_n \lambda^n,

conocida como convolución de Bernoulli, no es de Rajchman cuando el parámetro 0<\lambda<1 es el inverso de un número de Pisot diferente de 2.  Más tarde, Salem probó el recíproco de esta afirmación, clasificando completamente las convoluciones de Bernoulli respecto a esta propiedad.

Más en general, dada una medida estacionaria asociada a un IFS de contracciones en la recta, el problema del decaimiento de Fourier busca determinar si la medida es de Rajchman y con qué tasa converge.  A partir de trabajos recientes (Algom, Rodriguez-Hertz, Wang / Baker, Sahlsten), sabemos que en regularidad C^2 las únicas medidas que pueden fallar en ser de Rajchman pertenecen a la una clase muy particular, donde los métodos empleados en estos trabajos no permiten decidir. Esto plantea una pregunta natural: 

¿Existe, en realidad, alguna otra medida estacionaria no-Rajchman, además de las encontradas por Erdős?

De los trabajos mencionado más arriba se desprende que la respuesta es no, en regularidad analítica.  En este trabajo (en colaboración con A. Algom, S. Ben-Ovadia y F. Rodriguez-Hertz) estudiamos esta pregunta, mostrando que la rigidez de las convoluciones de Bernoulli se rompe al dejar la clase analítica: Asimismo, mostramos cómo a través de perturbaciones por conjugación no-analíticas (que además tienen derivada segunda nula en el soporte de la medida) es posible de activar el decaimiento de Fourier en convoluciones de Bernoulli de tipo Pisot.

TEO: Existen IFS de clase C^infty en la recta tales que:

• la medida estacionaria Bernoulli(1/2,1/2) no es Rajchman,
• el IFS no es C^1-conjugado a una convolución de Bernoulli.

Asimismo, mostramos cómo a través de perturbaciones por conjugación no-analíticas (que además tienen derivada segunda nula en el soporte de la medida) es posible de activar el decaimiento de Fourier en convoluciones de Bernoulli de tipo Pisot.