Seminarios

Abordaremos el problema de estimar la “dimensión” de un conjunto desconocido a partir de una muestra aleatoria de puntos en Rd. Partiremos de la motivación estadística que subyace al llamado Manifold Hypothesis—la hipótesis de que muchos datos reales viven efectivamente en variedades de dimensión mucho menor que el espacio ambiente—y presentaremos tres nociones de dimensión:

1. Dimensión de Minkowski (o “box–counting”), basada en el crecimiento asintótico del número mínimo de cubos necesarios para cubrir el conjunto.

2. Dimensión de correlación, que explora la probabilidad de pares de puntos cercanos y resulta esencial en el análisis de estructuras fractales.

3. Dimensión puntual, un enfoque local que mide la densidad de probabilidad en vecindades de cada punto y ofrece una perspectiva refinada de la heterogeneidad del soporte.

Veremos algunas propiedades de estas nociones de dimensión y propondremos estimadores consistentes para las mismas, que coinciden con el valor exacto para tamaños muestrales suficientemente grandes, si la dimensión es entera.

Finalmente, presentaremos resultados de simulaciones.