Tesis de Doctorado

Quantitative aspects of Anosov subgroups - León Carvajales (2020)

El objeto de esta tesis es el estudio del problema de conteo orbital para pares simétricos pseudo-Riemannianos bajo la acción de subgrupos del tipo Anosov del grupo de Lie subyacente. En la primera parte estudiamos este problema para el par simétrico \((PSO_{(p, q)},PSO_{(p, q − 1)})\) y un subgrupo de \(PSO_{(p, q)}\) de tipo proyectivamente Anosov. Miramos la órbita de una copia geodésica del espacio simétrico Riemanniano de \(PSO_{(p, q−1)}\) dentro del espacio simétrico Riemanniano de \(PSO_{(p, q)} \). Demostramos un comportamiento asintótico puramente exponencial, cuando \(t\) tiende a infinito, para el número de elementos en esta órbita que se encuentran a distancia menor que \(t\) de la copia geodésica original. Interpretamos este resultado como el comportamiento asintótico del número de segmentos geodésicos de tipo espacio (en el espacio hiperbólico pseudo-Riemanniano) de longitud máxima \(t\) en la órbita de un punto base. Probamos resultados análogos para otras funciones de conteo. A continuación miramos el par \((PSL_d(\mathbb{R}),PSO_{(p, d − p)})\) y un subgrupo Borel-Anosov de \(PSL_d(\mathbb{R})\). Presentamos contribuciones hacia la comprensión del comportamiento asintótico de la función de conteo asociada a una copia geodésica del espacio simétrico Riemanniano de \(PSO_{(p, d − p)}\) en el espacio simétrico Riemanniano de \(PSL_d(\mathbb{R})\).

Relative Lp and Orlicz cohomology and Applications to Heintze groups - Emiliano Sequeira (2020)

Este trabajo consta de dos partes. En la primera se define la cohomología \(L^p\) de ciertos espacios métricos Gromov-hiperbólicos relativa a un punto de su borde al infinito. Esto se hace en dos diferentes contextos. Primero se desarrolla una versión simplicial, definida para complejos simpliciales de geometría acotada. Se prueba aquí, al igual que como se hace en el caso clásico, que esta es invariante por cuasi-isometrías bajo cierta condición de contractibilidad. Luego se define una versión relativa de la cohomología \(L^p\) de De Rham en el caso de variedades Riemannianas. Se estudia la relación entre estas dos definiciones, lo que permite concluir que también esta segunda versión es invariante por cuasi-isometrías bajo ciertas hipótesis. Como aplicación de lo anterior se estudia la cohomología \(L^p\) relativa a un punto distinguido en el borde de los grupos de Heintze de la forma \(\mathbb{R}^{n−1} \rtimes \mathbb{R} \), donde la derivación α tiene valores propios reales positivos \(λ_1 ≤ · · · ≤ λ_{n−1}\). Como consecuencia se obtiene que los números \(\frac{λ_1}{ tr(α)},, . . . ,\frac{λ_{n−1}}{tr(α)} \) son invariantes por cuasi-isometrías. En la segunda parte se trabaja con la cohomología de Orlicz, que es una generalización de la cohomología \(L^p\). Aquí también se define una versión relativa y se adapta la prueba de la invarianza por cuasi-isometrías de la cohomología de Orlicz simplicial. Como resultado central de esta segunda parte se prueba la equivalencia entre la cohomología de Orlicz simplicial (relativa) y la cohomología de Orlicz-de Rham (relativa) para grupos de Lie. Una importante consecuencia de esto es la invarianza por cuasi-isometrías de la cohomología de Orlicz-de Rham en el caso de los grupos de Lie contractibles.

Dinámica Topológica Expansiva: Algunos aportes - Mauricio Achigar (2019)

En esta tesis se estudian algunos aspectos de la teoría de los sistemas dinámicos discretos desde el punto de vista topológico con especial énfasis en las dinámicas expansivas. El material se encuentra dividido en tres capítulos cada uno de los cuales aborda una temática diferente y es esencialmente independiente de los otros. En el primer capítulo se estudian generalizaciones del concepto de expansividad de un homeomorfismo definido en un espacio métrico compacto, en especial la denominada expansividad por refinamientos. Esta noción tiene sentido en un espacio topológico arbitrario y preserva varias de las propiedades que exhiben los sistemas expansivos en el sentido usual. Se destacan entre otros el teorema de Mañé sobre la dimensión topológica del espacio en el que está definido un homeomorfismo expansivo, y teorema de la finitud de los sistemas expansivos al futuro. Se presenta también una familia de sistemas dinámicos simbólicos que generalizan los shift expansivos usuales. Finalmente se indica cómo puede intentarse extender este concepto a otras categorías como la de los anillos conmutativos. Gran parte del contenido presentado forma parte del artículo escrito en coautoría con Alfonso Artigue e Ignacio Monteverde. En el segundo capítulo se trata el tema de la observabilidad de un sistema dinámico, que grosso modo es el estudio de condiciones bajo las cuales diferentes estados del sistema pueden ser distinguidos realizando mediciones a lo largo de la evolución del mismo. El principal resultado obtenido es un teorema de observabilidad genérica para mapas continuos localmente inyectivos, que extiende trabajos de otros autores, en especial el de Gutman. Este teorema es aplicado al caso de las dinámicas expansivas obteniendo un teorema de observabilidad para mapas expansivos al futuro de un toro. Finalmente se estudia la vinculación entre la propiedad de expansividad y la de observabilidad. El material expuesto se encuentra contenido esencialmente en el artículo escrito en coautoría con Alfonso Artigue e Ignacio Monteverde. El tercer capítulo está dedicado al estudio de sistemas dinámicos que admiten un cociente expansivo. Se dan caracterizaciones de tales homeomorfismos complementando el trabajo de otros autores como Lewowicz, Sambarino y Cerminara. Se aborda también el caso de sistemas que son extensión de un homeomorfismo expansivo con la propiedad de sombreado (homeomorfismos de Anosov), obteniendo para ellos un resultado de estabilidad topológica en la linea del teorema de del mismo tipo para sistemas de Anosov debido a Walters. En el Anexo a este capítulo se presenta un resultado sobre sombreado.

Estadística para datos en espacios no euclídeos - Leonardo Moreno (2019)

Como forma de titular esta tesis, podemos decir que intenta aportar sobre diversos aspectos de la estadística, en particular cuando los datos toman valores sobre espacios euclídeanos de dimensión elevada o ciertos espacios no euclídeanos, donde la estadística clásica no está diseñada para brindar respuestas eficientes. En tal sentido un primer objetivo es poder extender, mediante el uso de proyecciones unidireccionales al azar, algunas pruebas de hipótesis (una de simetría central y otra de independencia) a espacios dimensión elevada o infinita (espacios funcionales). Como segundo objetivo se brindan respuestas a determinados problemas donde los datos se encuentran sobre una variedad Riemanniana. Se generaliza un concepto de profundidad estadística a datos que pertenecen a una variedad Riemanniana. Además se extiende el análisis de sensibilidad sobre un código con entradas estocásticas, pero ahora cuando el output está en una variedad Riemanniana. Son probadas aquellas propiedades deseables de las estadísticos planteados, la consistencia y la distribución asintótica de sus respectivos estimadores.

Stable Bernoulli diffeomorphisms in dimension three - Gabriel Nuñez (2019)

Sea \(M\) una variedad compacta y \(m\) un volumen en \(M\). Denotamos \(Diff^r_{m}(M)\) el conjunto de los difeomorfismos \(C^r\)-conservativos en \(M\). Una foliación es minimal si toda hoja es densa en \(M\). En esta tesis probaremos que si \(M\) tiene dimensión tres, entonces genéricamente en \(Diff^1_{m}(M^3)\), la existencia de una foliación invariante, minimal y expansora implica estabilidad Bernoulli. También damos condiciones para garantizar la persistencia de una foliación minimal expansora de una variedad \(M\) de cualquier dimensión.

Fluid Approximations for Stochastic Telecommunication Models - Laura Aspirot (2019)

Los procesos estocásticos, y en particular los procesos de Markov y las cadenas de Markov, han sido modelos matemáticos masivamente utilizados para estudiar diversos fenómenos. Por su parte las ecuaciones diferenciales también son herramientas ampliamente utilizadas en el modelado matemático. En muchas de las aplicaciones de matemática que conocemos ambos tipos de modelos y de abordajes coexisten para analizar los mismos problemas. La motivación de este trabajo surge de la existencia de estos dos tipos de acercamientos a diferentes problemas en telecomunicaciones, y la primera pregunta que planteamos es cómo se puede establecer una relación entre modelos estocásticos y determinísticos para un mismo objeto. Por otra parte, cuando existe esta relación, interesa saber qué tipo de características de uno de los modelos puede brindar información sobre el otro, así como medir, en algún sentido, qué tan exacta es esa aproximación. Para esto es necesario estudiar en qué marco podemos analizar la relación entre modelos estocásticos y determinísticos y cuáles son las herramientas y técnicas involucradas. En la literatura encontramos una amplia variedad de problemas y técnicas en este sentido, con diferentes nombres, y múltiples variantes, pero que comparten ciertas características esenciales. Así encontramos denominaciones como límites fluidos, aproximaciones tipo campo medio, límites hidrodinámicos. Estas denominaciones involucran ideas matemáticas usadas desde larga data en diferentes problemas, por ejemplo en física, biología, química, teoría de colas, teoría de juegos, que buscan simplificar modelos estocásticos complejos, planteando para ellos su aproximación determinística. Un contexto general para analizar estas relaciones se conoce como límites fluidos. Este será el objeto de estudio en este trabajo, en particular su recorte a modelos de telecomunicaciones. La finalidad es entonces aproximar modelos, con diferentes tipos de complejidades a la hora de su análisis, mediante modelos más sencillos. La dificultad para tratar los modelos estocásticos puede estar dada por las dependencias internas en el sistema, por 3 la cantidad de individuos, y pueden ser difíciles de estudiar analíticamente o incluso mediante simulaciones, ya que estas pueden ser computacionalmente muy costosas. Sin embargo estos modelos muchas veces pueden simplificarse a modelos determinísticos gobernados por ejemplo por ecuaciones diferenciales. Mediante estas aproximaciones en gran parte de los casos el comportamiento del proceso estocástico original puede analizarse a partir de características del modelo determinístico. En general estas aproximaciones de procesos estocásticos son asintóticas en algún parámetro del sistema, en muchos casos vinculado a su tamaño, y lo que se obtiene es un límite en media, en el sentido de la Ley de los Grandes Números. Entonces una de las preguntas que surge es la velocidad de convergencia. Por ese motivo, el otro tema que se aborda en esta tesis es la convergencia tipo Teorema Central del Límite, que también se denomina aproximación por difusiones. Así, un segundo objetivo es, una vez que un sistema estocástico se aproxima por uno determinístico, estudiar qué distribución tiene el error de la aproximación. En lo que sigue estudiamos tres modelos de límites fluidos motivados en problemas que aparecen en telecomunicaciones. Estos tres modelos analizados permiten ver el funcionamiento de la técnica de límites fluidos en diferentes aplicaciones, y mostrar resultados del comportamiento asintótico de los sistemas a partir del análisis de sus límites determinísticos. Este trabajo consta de tres partes, la primera dedicada al estudio de redes par a par, en particular al análisis de un modelo para el protocolo BitTorrent. Para ese modelo se estudian límites fluidos, se describe cómo se obtienen estos límites y se estudian aproximaciones Gaussianas. La segunda parte de la tesis presenta un modelo de teoría de colas de fallas y reparaciones. Para ese modelo se introducen distribuciones tipo fase, y se obtiene un límite fluido y un límite en distribución. En este caso el sistema presenta diferentes escalas de tiempo, al mismo tiempo que da lugar a un límite determinístico que es un sistema dinámico diferenciable a tramos. A nivel de distribución asintótica también encontramos l ́ımites Gaussianos y no Gaussianos. El tercer problema abordado consiste en el estudio de límites fluidos y distribución asintótica en un modelo para redes cognitivas. Aquí tenemos un sistema dinśmico diferenciable a tramos y para la distribución asintótica podemos obtener un resultado del tipo Teorema Central del Límite en algunos casos, mientras que en otros, con otro escalado, se obtiene una distribución asintótica no Gaussiana.

Modelos estocásticos en tasas de interés y aplicaciones en la deuda soberana en Uruguay - Andrés Sosa (2018)

En la tesis se considera el problema de estimación de las curvas de rendimiento en la deuda soberana mediante un enfoque dinámico. El objetivo es realizar un análisis diferente al que predomina en la industria financiera mediante la inclusión de una gran cantidad de información histórica. Los modelos se fundamentan en la evolución de la tasa de interés mediante cierta clase de procesos estocásticos y se deduce el precio del activo que se denomina bono cupón cero. En el avance de la tesis se incrementa tanto la complejidad de los modelos como de las técnicas de estimación de los parámetros. Las aplicaciones de la tesis son en la deuda soberana en Uruguay en sus tres principales monedas. Los resultados presentan diferentes fines, entre ellos se destaca la valuación de derivados financieros. La tesis finaliza con el estudio del riesgo de incumplimiento de pago presente en la deuda soberana mediante el enfoque de modelos de intensidad, lo que permite generar un nuevo índice de riesgo país.

Some aspects of group actions on one-dimensional manifolds - Joaquín Brum (2017)

Mostramos fenómenos de flexibilidad para acciones en la recta por homeomorfismos que preservan orientación, de algunos grupos numerables. Más concretamente, mostramos que si un grupo ordenable admite una descomposición como producto amalgamado \(G =F_n∗_{\mathbb{Z}}F_m\) donde \(n + m \geq 3\), cualquier acción de \(G\) en la recta por homeomorfismos que preservan orientación puede ser aproximada por otra acciòn (sin puntos fijos globales) que no es semi-conjugada a la acción original. Deducimos que \(\mathcal{LO}(G)\), el espacio de órdenes invariantes a izquierda de \(G\), es un conjunto de Cantor. En el caso especial en que \(G = \pi_1 (\Sigma)\) es el grupo fundamental de una superficie hiperbólica cerrada, encontramos técnicas de perturbación más finas. Por ejemplo, mostramos que existe una representación cuya clase de conjugación es densa en el espacio de representaciones. Esto permite probar que el espacio de representaciones sin puntos fijos globales de \( \pi_1(\Sigma) \) en \(\textit{Homeo}_+ (\mathbb{R})\) es conexo, y también que la acción natural por conjugación de \( \pi_1(\Sigma) \) en \( \mathcal{LO}( \pi_1 (\Sigma)) \) tiene una órbita densa. Probamos que si \( \Gamma \) es un grupo numerable sin subgrupos isomorfos a \(\mathbb{Z}^2\) , cualquier acción fiel y mínimal de \( \Gamma \) en el círculo por homeomorfismos que preservan orientación, tiene una órbita libre. Damos ejemplos mostrando que esto no ocurre para acciones en la recta.

Structures hyperboliques et propriétés robustes des flots singuliers - Adriana Da Luz (2017)

Una propiedad de un sistema dinámico es \(C^r\)- robusta si se cumple para un conjunto abierto de sistemas con la topología \(C^r\). Para difeomorfismos o flujo no singulares, existen muchos resultados relacionando propiedades \(C^1\)-robustas y estructuras globales de la dinámicas, como la hiperbolicidad, hiperbolicidad parcial o splittings dominados. Por otro lado existen dificultades cuando una propiedad robusta se cumple en un conjunto de órbitas conteniendo órbitas regulares que acumulan contra singularidades. Este fenómeno está bien entendido principalmente en dimensión 3, pero hasta ahora seguía siendo una obstrucción para generalizar este tipo de resultados en dimensiones más altas. En este trabajo en primer lugar construimos un abierto de ejemplos en dimensión 5 de un flujo estrella que contiene 2 singularidades de distinto índice, robustamente en la misma clase de recurrencia por cadenas. Esto nos permite mostrar que una generalización directa de los resultados en dimensión 3, no va a ser posible en dimensiones más altas, es decir, existen conjuntos abiertos de flujos estrella, que no son singularmente hiperbólicos en el sentido clásico. En segundo lugar, con Chrsitian Bonatti, proponemos un procedimiento general para adaptar las estructuras hiperbólicas usuales a las singularidades. Creemos que esta interpretación del efecto de las singularidades sobre las estructuras hiperbólicas, abre un camino para tratar con la ya mencionada dificultad de la coexistencia robusta de singularidades y órbitas regulares. En particular esta nueva definición nos permite generalizar para obtener una caracterización de los flujos estrella en un abierto y denso y para cualquier dimensión. En tercer lugar, usando la misma herramienta mencionada arriba recuperamos los resultados para flujos. Mostramos hay un abierto y denso \(C^1\) de campos en el que un flujo con una clase de recurrencia robusta tiene una forma de hiperbolicidad débil. Esto muestra que la manera que proponemos de interpretar las singularidades tiene el potencial de adaptarse a las diversas situaciones en las que coexisten singularidades y órbitas regulares con el fin de re obtener los resultados para difeomorfismos.

Realizabilidad clásica y efectos de borde -Etienne Miquey (2017)

Esta tesis se enfoca en el contenido calculatorio de las pruebas clásicas, particularmente en las pruebas con efectos de borde y en la realizabilidad clásica de Krivine. El manuscrito está dividido en tres partes, la primera constituyendo una introducción detallada a los conceptos y herramientas involucrados. La segunda parte se concentra en el contenido calculatorio del axioma de elección dependiente en lógica clásica. Este trabajo se inscribe en la continuidad del sistema \(dPA ^{\omega} \) de Hugo Herbelin, que permite adaptar la prueba constructiva del axioma de elección en la teoría de tipos de Martin-L ̈of en una prueba constructiva del axioma de elección dependiente en un marco compatible con la lógica clásica. El objetivo principal de esta parte es la demostración de la propiedad de normalización para \(dPA^{\omega}\) , de la cual depende la coherencia del sistema. Semejante prueba es difícil de conseguir, debido a la presencia simultánea de tipos dependientes (para la parte constructiva de la elección), de operadores de control (para la lógica clásica), de objetos coinductivos (para “codificar” una función del tipo \( \mathbb{N} \rightarrow A \) mediante el flujo de sus valores \((a_0, a_1, . . . ) \) ) y de evaluación perezosa (para esos objetos coinductivos). En una primera etapa, las dificultades están estudiada separadamente. En particular, demostramos la cálculo con memo- normalización del call-by-need clásico (presentado como una extensión del \( \lambda \mu \hat{\mu} \)- cálculo con memoria compartida) usando técnicas de realizabilidad. Desarrollamos después un cálculo de los secuentes cálculo, cuya corrección clásico con tipos dependientes, definido otra vez como una extensión del \( \lambda \mu \hat{\mu} \) cálculo está demostrada por gracias a una traducción CPS que toma las dependencias en cuenta. Por último, introducimos una variante de \(dPA^{\omega} \) en cálculo de los secuentes que combina los dos sistemas anteriores. Su normalización está finalmente demostrada usando técnicas de realizabilidad. La última parte está centrada en el estudio de las estructuras algebraicas de los modelos inducidos por la realizabilidad clásica. Este trabajo está basado en la noción de álgebras implicativas de Alexandre Miquel, una estructura algebraica muy sencilla generalizando al mismo tiempo las álgebras completas de Boole y las álgebras de realizabilidad de Krivine, de tal forma que se puede expresar en un mismo marco la teoría del forcing (de Cohen) y la teoría de la realizabilidad clásica (de Krivine). El defecto principal de esas estructuras es que son profundamente orientadas hacia el \( \lambda \)-cálculo, y que solamente permiten una interpretación fiel de lenguajes en call-by-name. Para remediar a ese problema, introducimos dos variantes de las álgebras implicativas: las álgebras disyuntivas, centradas en el “par” de la lógica lineal (pero en un marco non-linear) y naturalmente adaptadas para lenguajes en call-by-name; y las álgebras conjunctivas, centradas en el tensor ⊗ de la lógica linear y adaptadas para lenguajes en call-by-value. Entre otras cosas, demostramos que las álgebras disjunctivas son casos particulares de las álgebras implicativas y que las álgebras conjunctivas pueden ser obtenidas por dualidad desde álgebras disjunctivas (invirtiendo el orden subyacente). Además, mostramos cómo interpretar en esos marcos los fragmentos del sistema L de Guillaume Munch-Maccagnoni’s correspondiendo al call-by-value (en las álgebras conjunctivas) y al call-by-name (en las álgebras disjunctivas).

Cohomología de Hochschild y estructura de Gerstenhaber de las álgebras toupie - Dalia Artenstein (2016)

In this thesis we compute the Hochschild cohomology \(H^∗(A) \) of a certain type of algebras called toupie algebras, and we describe the Gerstenhaber structure of \(⊕^∞_{i=0} H^i(A)\). A quiver Q is called toupie if it has a unique source and a unique sink, and for any other vertex there is exactly one arrow starting at it and exactly one arrow ending at it. The algebra \(A\) is toupie if \(A = kQ/I \) with \(Q\) a toupie quiver and \( I \) any admissible ideal. We first construct a minimal projective resolution of \( A \) as \( A^e \)-module adapting to this case Bardzell’s resolution for monomial algebras. Using this resolution, we compute a k-basis for every cohomology space \(H^i(A)\). The structure of \(H^1(A)\) as a Lie algebra is described in detail as well as the module structure of \(H^i(A)\) over \(H^1(A)\).

Modelos asimétricos de Lévy en Finanzas - Federico De Olivera (2016)

En la presente tesis estudiamos la asimetría en mercados de Lévy y la visualización de ésta por medio de un parámetro que encontramos de gran relevancia. Introducimos los modelos de Lévy asimétricos con el objetivo de estudiar la forma de la volatilidad implícita que simula la sonrisa de una cara. Por medio del parámetro introducido proponemos neutralizar el riesgo de un portafolio con respecto a este parámetro. Utilizando datos de SP&500 obtenemos una sensible reducción de la varianza de las ganancias y pérdidas con respecto al portafolio comúnmente usado. Para implementar la neutralidad de los portafolios requerimos el cálculo aproximado de ciertas derivadas, las que suelen llamarse "griegas". Obtenemos fórmulas para las griegas y en particular para opciones de compra se obtienen expresiones de cálculo rápido. Por último extendemos el marco de trabajo a procesos con incrementos independientes, donde en particular estudiamos la relación entre la asimetría estadística y la asimetría riesgo neutral con la introducción de la transformada de Esscher.

Acciones parciales propias - Damian Ferraro (2016)

El objetivo final de este trabajo es lograr enunciar y mostrar, en el contexto de las acciones parciales, algunos de los Teoremas de Imprimitividad ya conocidos para acciones en \(C^*\)-álgebras. Con tal fin se estudian las posibles definiciones de acción propia en una \(C^*\)-álgebra para traducirlas al contexto de las acciones parciales. Los teoremas de imprimitividad para acciones parciales aquí incluidos son una generalización de los resultados de Buss y Echterhoff, y son demostrados utilizando la noción de F. Abadie de equivalencia de Morita de acciones parciales, tal como lo hacen Curto, Muhly y Williams en para las acciones globales. Para lidiar más fácilmente con los productos cruzados por acciones parciales, dedicamos una parte del trabajo a estudiar una noción de equivalencia entre fibrados de Fell que implica la equivalencia de Morita entre las \(C^*\)-álgebras seccionales. Otro punto importante de la tesis es el estudio de la globalización de acciones parciales en \(C^*\)-álgebras y en módulos de Hilbert. Damos una condición necesaria y suficiente para la existencia de una globalización, la cual usamos para estudiar cuáles de las posibles definiciones de acción parcial propia (en una \(C^*\)-álgebra) implica la existencia de una globalización.

Sistemas Dinámicos Expansivos - Alfonso Artigue (2015)

Esta tesis versa sobre sistemas dinámicos con diversos tipos de expansividad. Consideramos homeomorfismos y flujos en espacios métricos compactos. También se considera la categoría diferenciable y algunos resultados se demuestran en variedades. Diferentes variantes de la expansividad son tomados en cuenta. En tiempo discreto: cw-expansividad, N-expansividad, hiperexpansividad. En el caso de flujos: expansividad cinemática y geométrica, expansividad positiva y expansividad robusta.

Funciones de Igusa-Todorov - Gustavo Mata (2015)

En este trabajo desarrollamos nuevas herramientas del Algebra Homológica, las llamadas funciones de Igusa-Todorov (que notaremos \(\phi \), \(\psi \)), y estudiamos la \( \phi \)-dimensión y la \( \psi \)-dimensión de estructuras algebraicas en diversos contextos (álgebras de Artin, co-álgebras semiperfectas, etc). Después de un primer capítulo con los preliminares necesarios para la comprensión del resto de la tesis, nos dedicamos en el segundo capítulo a desarrollar resultados generales de las funciones de Igusa-Todorov, los cuales son el soporte de resultados en contextos particulares que aparecerán en los capítulos siguientes. En el capítulo 3 introducimos el concepto de eslabón, que aparece lateralmente en algunos trabajos del área pero sin ser considerado como objeto central de estudio. Utilizando la caracterización para la función \( \phi \) y otras herramientas veremos en este capítulo condiciones para que la dimensión finitista sea finita y sea estrictamente menor que la \( \phi \)-dimensión dependiendo que los eslabones no sean todos simples. En el capítulo 4 trabajamos con las funciones de Igusa-Todorov para las álgebras de radical cuadrado nulo. Si \(A\) es un álgebra de radical cuadrado nulo, probamos que \(\phi dim(A) ≤ n \) y \( \psi dim(A) ≤ 2n − 3\), siendo \(n = |K_0 (A)|\). Además describimos completamente el carcaj de las álgebrascon una cantidad fija de vértices cuando \( \psi dim(A) = 2n − 3\) y también brindamos condiciones necesarias sobre el carcaj para que \( \phi dim(A) = n\). Vemos como aplicación de los resultados obtenidos que φ dim(A) = φ dim(A op ), para este tipo de álgebras. Para una álgebra \(n\)-Gorenstein \(A\), se prueba en el capítulo 5, \( \phi dim(A) = \psi dim(A) = n \). Como consecuencia del resultado anterior tenemos las siguientes igualdades: \( \phi dim(A) = \phi dim(A^{op} )\), \( \psi dim(A) = \psi dim(A^{op} )\) y obtenemos aplicaciones interesantes de estos resultados a la familia de álgebras inclinadas de conglomerado y a la familiaa de álgebras gentiles. De manera similar a la forma que lo hacemos para las álgebras de Artin, en el capítulo 6 introducimos la función de Igusa-Todorov (que notaremos \( \phi \)) y la noción de \( \phi \)-dimensión para las co-álgebras semiperfectas. Para una co-álgebra semiperfecta \(C\) probamos que la \( \phi \)-dimensión caracteriza a las co-álgebras quasi-co-Frobenius, esto es, \(C\) es qcF si y solamente si \(\phi dim(C) = 0\) Finalmente en el capítulo 7 trabajamos con la función φ en álgebras que son extensiones por escalares por un álgebra de caminos. Se verá, entre otras cosas, que la \( \phi \)-dimensión aumenta al menos por 1 cuando realizamos la extensión.

Técnicas de teoría geométrica de la medida en estimación de conjuntos - Alejandro Cholaquidis (2014)

En términos muy generales, puede decirse que esta tesis es un estudio de la incorporación a la metodología estadística de algunas ideas básicas de geometría euclídea. Más concretamente, con la excepción parcial del último capítulo, la tesis gira en torno a ciertos conceptos de geometría convexa examinados desde el punto de vista estadístico. La noción de convexidad es, sin duda alguna, una de las ideas centrales en matemáticas, comparable por su importancia a conceptos como continuidad, diferenciabilidad u orden. La restricción de convexidad aplicada a conjuntos del espacio euclídeo \(R^d\) es muy intuitiva y da lugar, en varias ramas de la matemática, a resultados clásicos de gran belleza y utilidad. Su único inconveniente es el hecho de que para muchas aplicaciones resulta demasiado restrictiva. Sin embargo, de manera análoga a lo que sucede con otros conceptos matem´aticos centrales, la convexidad extiende sus dominios más allá de sí misma, en el sentido de que uno puede renunciar a la restricción estricta de convexidad manteniendo alguna de sus propiedades importantes y trabajando con ella. Este es exactamente el enfoque que se ha desarrollado en este trabajo. En las introducciones de los capítulos se pueden encontrar resúmenes más detallados del contenido y aportaciones de cada uno de ellos.

Brownian motion on stationary random manifolds - Pablo Lessa (2014)

Introducimos el concepto de variedad aleatoria estacionaria con el fin de probar en forma unificada resultados sobre variedades con grupo de isometría transitivo, variedades con cociente compacto, y hojas genéricas de foliaciones compactas. Probamos desigualda- des relacionando la velocidad de escape del movimiento Browniano con la entropía y el crecimiento de volumen de dichas variedades generalizando trabajos anteriores de Avez, Kaimanovich, y Ledrappier entre otros. En la segunda parte mostramos que la función hoja de una foliación compacta es semicontinua, obteniendo como corolarios el teorema de estabilidad local de Reeb, parte del teorema de estructura local de Epstein para foliaciones por hojas compactas, y el teorema de continuidad de Álvarez y Candel.

Optimal Stopping for Strong Markov - Fabián Crocce (2013)

Consideramos el problema de parada óptima que consiste en, dados un proceso de Markov fuerte \(X = \{X_t\} \) a valores en \( \mathcal{E} \), y una función de pago \(g : \mathcal{E} → \mathbb{R} \), encontrar el tiempo de parada óptima \( \tau^* \) y la función de valor \(V_{\alpha} \) que verifican: \( \begin{equation}{V_{\alpha}(x) = \mathbb{E}_x \left( e^{- \alpha \tau^*} g(X_{\tau^ ∗}) \right) = sup_{\tau} \mathbb{E}_x \left( e^{- \alpha \tau} g(X_{\tau} )\right)} \end{equation} \) , donde el supremo es tomado sobre la clase de todos los tiempos de parada, \( \alpha \) es una tasa de descuento positiva, y \(x\) es el estado del que parte el proceso. El enfoque que seguimos se basa en dos componentes: la caracterización de Dynkin de la función de valor como la mínima función \( \alpha \)-excesiva que domina \(g\); y la representación de Riesz de las funciones \( \alpha \)-excesivas en términos del núcleo de Green. La principal referencia para este enfoque es Salminen. En el contexto de las difusiones unidimensionales damos una caracterización completa de la solución, asumiendo algunas condiciones sobre \(g\). Si el problema de parada óptima es tal que la región de parada es de la forma \([x^∗,∞)\) o de la forma \((−∞, x^∗]\), damos una ecuación sencilla para encontrar el valor crítico \(x^∗\) y discutimos la validez del principio de pegado suave. También incluimos algunos ejemplos nuevos como ser la parada óptima del movimiento browniano asimétrico (skew) y del movimiento browniano pegajoso (sticky); en particular damos ejemplos en que no vale el principio de pegado suave. En el caso general, proponemos un algoritmo que encuentra la región de parada óptima cuando ésta es una unión disjunta de intervalos, dando también una fórmula sencilla para la función de valor.

Optimal Stopping for Strong Markov - Fabián Crocce (2013)

Consideramos el problema de parada óptima que consiste en, dados un proceso de Markov fuerte \(X = \{X_t\} \) a valores en \( \mathcal{E} \), y una función de pago \(g : \mathcal{E} → \mathbb{R} \), encontrar el tiempo de parada óptima \( \tau^* \) y la función de valor \(V_{\alpha} \) que verifican: \( \begin{equation}{V_{\alpha}(x) = \mathbb{E}_x \left( e^{- \alpha \tau^*} g(X_{\tau^ ∗}) \right) = sup_{\tau} \mathbb{E}_x (e^{- \alpha \tau} g(X_{\tau} )} \end{equation} \) , donde el supremo es tomado sobre la clase de todos los tiempos de parada, \( \alpha \) es una tasa de descuento positiva, y \( x \) es el estado del que parte el proceso. El enfoque que seguimos se basa en dos componentes: la caracterización de Dynkin de la función de valor como la mínima función \( \alpha \)-excesiva que domina \( g \); y la representación de Riesz de las funciones \( \alpgha )α-excesivas en términos del núcleo de Green. La principal referencia para este enfoque es Salminen.

Rice Formula Extensions and Applications - Federico Dalmao (2013)

El hilo conductor de esta monografía es la Fórmula de Rice para el número de cruces de un proceso estocástico con un nivel o altura dada. Trabajamos sobre dos tipos de problemas vinculados con dicha fórmula (familia de fórmulas). Por un lado, en la primer parte de la tesis, abordamos el problema de extender la Fórmula de Rice a procesos cuyas trayectorias tengan saltos, se obtiene tal fórmula para un proceso que es la suma de dos procesos independientes: un proceso de trayectorias regulares (suaves) al cual se le pueda aplicar la versión tradicional y uno de saltos. Se dan expresiones integrales para el número medio de cruces continuos y para el número medio de cruces discontinuos (saltos) al nivel dado. Para ello es necesario aplicar técnicas distintas, unas de procesos continuos y otras de procesos puntuales. Luego, se presenta un par de ejemplos de cálculo concreto de estas fórmulas y se compara qué tipo de cruces predomina a medida que el nivel tiende a infinito. Además, en uno de estos ejemplos y en otro de un proceso puramente de saltos, se estudia la cola de la distribución del máximo cuando el nivel crece a infinito. Por otro lado, en la segunda parte de la tesis, nos dedicamos a la aplicación de la Fórmula de Rice (tradicional, es decir, para procesos suaves) para estudiar el número de raíces de polinomios aleatorios y sistemas de polinomios aleatorios. Más concretamente, en primer lugar, abordamos los Polinomios Aleatorios Trigonométricos Clásicos definidos como combinaciones lineales de cosenos con coeficientes independientes Gaussianos. Se obtiene la varianza asintótica y un Teorema Central del Límite para el número de ceros de este tipo de polinomios. En este punto, juega un rol protagónico el llamado Caos de Wiener. Finalmente, estudiamos sistemas de ecuaciones polinomiales aleatorios complejos, para ello adaptamos la Fórmula de Rice sobre variedades a este contexto. Luego, usamos estas herramientas para dar un posible camino de prueba del Teorema de Bézout sobre el número de soluciones de tales sistemas. Obtenemos la prueba en algunos casos particulares, entre ellos el Teorema Fundamental del Álgebra y los sistemas cuadrados cuadráticos (grado dos) de cualquier orden.