Tesis de Maestría

Teoría de Homotopía Abstracta - Jazmin Finot (2023)

En este trabajo estudiaremos la nocíon de categoría modelo y su correspondiente categoría de homotopía derivada. Veremos dos ejemplos de esta estructura: la categoría de espacios topológicos y la categoría de conjuntos simpliciales. Asimismo, estableceremos una equivalencia de Quillen entre ambas categorías. Estudiaremos, posteriormente, la estructura de categoría modelo estable y veremos cómo esta condición de estabilidad implica de la categoría de homotopía resulte ser una categoría triangulada.

Discretización del Movimiento Browniano en el Plano Hiperbólico - Vittorio Puricelli (2023)

Dado un subgrupo discreto \( \Gamma\) de \(PSL(2, \mathbb{R}) \) con cociente compacto, presentamos un método de discretización del Movimiento Browniano en el Plano Hiperbólico, mediante el cual se obtiene una probabilidad \( \mu \) de soporte en \(\Gamma \) para la cual la medida visual es estacionaria. Obtenemos además que dicha probabilidad tiene momento exponencial finito.

Problema circular de tres cuerpos restricto: órbitas periódicas y superficies de sección transversales - Favio Pirán (2022)

El problema de tres cuerpos es un problema simple de relevancia histórica: determinar el movimiento de tres cuerpos modelados como masas puntuales cuyo movimiento queda determinado por la ley de gravitación universal de Newton. A fines de siglo XX, ante la pregunta sobre la integrabilidad de este problema, Poincaré prueba que bajo ciertas restricciones éste resulta no integrable, dando lugar a los orígenes de la teoría del caos. Para esta prueba construye por métodos perturbativos una superficie de sección transversal que permite una traducción de la dinámica a un mapa de retorno conservativo. \( \\ \) La simplificación del problema que nos interesa consiste en considerar uno de los cuerpos con asa despreciable, restringirse a movimientos en el plano, y asumir que el movimiento de los cuerpos de masa no despreciable queda descrito por círculos concéntricos centrados en su centro de masa. Siguiendo con la filosofía de Poincaré, se piensa a este problema como la perturbación de uno más sencillo y de esta forma Conley construye a mediados de siglo XX un anillo de sección transversal para energías suficientemente bajas, usando como borde del anillo dos órbitas periódicas especiales. \( \\ \) Este problema sigue siendo material de estudio y en este sentido es que en las últimas décadas se ha intentado dar resultados no perturbativos. Un camino en esta dirección surge de la interacción de la teoría de curvas pseudoholomorfas y geometría de contacto. La tesis intenta dar un recuento histórico con una visión moderna de ciertos abordajes al problema, finalizando con una lectura informal de la aplicación de resultados notables de Wysocki, Hofer y Zehnder en esta búsqueda, no perturbativa, de superficies de sección globales para el problema de tres cuerpos restricto planar-circular.

Pérdida de dimensión para caminatas al azar en grupos de Schottky - Ernesto García (2022)

Dado un conjunto finito de matrices de \(PSL(2,\mathbb{R} ) \) que generan libremente un grupo de Schottky y una probabilidad soportada en estas matrices, probamos que la medida estacionaria de la caminata al azar asociada tiene dimensión de Hausdorff estrictamente más chica que el conjunto límite del grupo en el borde del plano hiperbólico. En particular, si fijamos un punto del plano hiperbólico, la medida de Patterson Sullivan correspondiente es singular con respecto a la medida estacionaria de la caminata. Esto prueba casos particulares de una conjetura aún abierta debida a Vadim Kaimanovich y Vincent LePrince.

Foliaciones uniformes en 3−variedades - Joaquín Lema (2021)

En esta tesis presentaremos algunos resultados sobre foliaciones uniformes en tres variedades. Una foliación en una tres variedad compacta es uniforme si cualquier par de hojas de la foliación inducida en el cubrimiento universal se encuentran a distancia de Hausdorff acotada. Las foliaciones uniformes fueron introducidos originalmente por Thurston, quien estaba estudiando deslizamientos de tres variedades sobre el circulo (“slitherings” en ingles). Uno de los objetivos del texto es presentar un resultado reciente de S. Fenley y R. Potrie, que nos dice que toda foliación uniforme sin componentes de Reeb proviene de un deslizamiento sobre el circulo. El otro objetivo es mostrar resultados originales sobre foliaciones uniformes con componentes de Reeb. Motivados por una pregunta de S. Fenley y R. Potrie, presentamos una familia de tres variedades con grupo fundamental infinito y equipadas con foliaciones uniformes. Luego, mostraremos algunos resultados sobre el comportamiento de tales foliaciones en una tres variedad fuera de esta familia.

Un lema de Morse para espacios simétricos de tipo no compacto - Joaquín Lejtreger (2021)

El objetivo de este trabajo es entender cómo se puede estudiar la geometría de un espacio simétrico de tipo no compacto mediante su grupo de isometrías. Damos cuenta de algunos resultados de grupos y álgebras de Lie semisimples que nos permiten obtener conclusiones de estos espacios. Presentamos un lema de Morse demostrado por Kapovich-Leeb-Porti siguiendo la demostración de Bochi-Potrie-Sambarino, que generaliza un resultado clásico de la geometría hiperbólica. Por medio del estudio de este resultado buscamos entender cómo el borde de Furstenberg nos ayuda a estudiar la geometría de estos espacios.

Sobre los horizontes de Cauchy compactos: un teorema de clasificación topológica y nulo-orbital - Ignacio Bustamante (2021)

La ocurrencia de los horizontes de Cauchy, que delimitan la región de causalidad (y predictibilidad) del dato inicial, es uno de los fenómenos más intrigantes de la Relatividad General. Recientemente se ha demostrado que la presencia de un horizonte de Cauchy compacto y no degenerado en el vacío implica la existencia de una simetría especial del espacio-tiempo. Explotando la existencia de dicha simetría, en este trabajo mostramos que en un horizonte de Cauchy compacto y no degenerado se debe cumplir uno de los siguientes: (i) todos los generadores nulos son cerrados, o, (ii) solo dos generadores nulos son cerrados, y los otros son densos en 2-toros, o (iii) todos los generadores nulos son densos en 2-toros, o (iv) todos los generadores nulos son densos en el horizonte. Como consecuencia, si se cumple (i) el horizonte es una variedad de Seifert, si se cumple (ii) es un espacio lenticular, si se cumple (iii) es un fibrado por 2-toros sobre un círculo y si se cumple (iv) es un 3-toro. Finalmente, si existe un generador denso, probamos que la solución a la ecuación de Einstein en el vacío es el espacio de Kasner plano, cerrando una conjetura de Isenberg-Moncrief.

Conjetura de Serre y curvas elípticas en cuerpos cuadráticos reales - Santiago Radi (2021)

Consideremos el “Último Teorema de Fermat” como puntapié a las herramientas que vamos a exponer. El “Último Teorema de Fermat”, enuncia que si \( n\) es un entero mayor a 2, y existen enteros \( a, b, c \) tales que $$a^n + b^n = c^n $$ entonces \( abc = 0 \). Es claro que si, por ejemplo \(b = 0\), entonces poniendo \(a = c\), tenemos infinitas soluciones enteras al problema. Esto lo podemos hacer siempre que uno de los tres términos sea cero. Llamaremos soluciones triviales a este tipo de soluciones. Otra forma distinta de enunciar el teorema es decir entonces que no hay soluciones no triviales si \(n > 2\). \( \\ \) Uno se encuentra entonces con un problema en el cual no puede “chequear” a mano todos los casos, ni de \(a\), ni de \(b\), ni de \(c\), ni de \(n\), porque son infinitos. Es aquí cuando la matemática necesita de estrategias diferentes y de nueva formas y objetos para atacar el problema. La estrategia es simple y es la siguiente (que es muy usual en problemas matemáticos): asociarle a una posible solución no trivial un objeto con un determinado conjunto de propiedades, y luego concluir que tal objeto no puede existir. Lo difícil es claro, definir el objeto correcto y encontrarle propiedades que lleven a esa conclusión. En este problema en particular, ese trabajo llevó casi 400 años, pero permitió desarrollar una nueva forma de estudiar problemas aritméticos que se sigue utilizando a día de hoy y a la que se le siguen buscando nuevas generalizaciones para resolver problemas más difíciles.

Flujos horocicíclicos sin conjuntos minimales - Victoria García (2020)

El flujo horocíclico en una superficie de curvatura negativa está estrechamente relacionado al flujo geodésico, el cual a su vez tiene propiedades de hiperbolicidad. En el contexto de curvatura negativa constante, resultados de Dani, Ratner y otras persona dan una descripción muy precisa de las medidas de probabilidad invariantes por el flujo horocíclico, pero poco se sabe de la clausura de las órbitas cuando la superficie tiene volúmen infinito, particularmente, cuando es de tipo infinito. Recientemente, Matsumoto estudio una clase de superficies de curvatura negativa que aparecen naturalmente en el estudio de ciertas laminaciones por superficies hiperbólicas y logró probar que en dichas superficies el flujo horocíclico no tiene conjuntos minimales. El objetivo de este trabajo es extender esos resultados al contexto de curvatura negativa variable y describimos la clausura de algunas órbitas horocíclicas en esta clase de superficies. La dificultad de la extensión, radica en que no se cuenta con las técnicas algebraicas disponibles en el caso de curvatura constante. Muchas ideas se apoyan en un influyente trabajo de Dal’Bo en el que estudia el caso de superficies de tipo finito.

Parada óptima en procesos de Lévy - Facundo Oliú (2020)

Entre los problemas de estadística y probabilidad, la investigación de la teoría estocástica de control óptimo empezó entre 1940 y 1950. Uno de los aspectos de esta teoría es que en contraste con el análisis clásico, el número de observaciones no está fijo y el tiempo en que las observaciones son terminadas es aleatorio y definido por el observador. En esta tesis se trabajará con procesos de Lévy. En este contexto ya se han resuelto varios de los problemas, en los cuales es un requerimiento necesario para detener las observaciones que el proceso en ese tiempo sea positivo. El aporte de la tesis es un nuevo método que sirve para resolver problemas en el caso en que dicho requerimiento no es necesario y la resolución de un problema de parada óptima de este tipo (que se denomina bilateral). Este se basa en el estudio de las propiedades de la función obtenida al retirar las observaciones en un tiempo óptimo.

Representaciones unitarias de grupos discretos y representaciones borde - Verónica De Martino (2020)

Una representación unitaria es un morfismo de un grupo \(G\) al espacio de transformaciones unitarias de un espacio de Hilbert. Cuando la representación viene dada por la acción de un grupo en un espacio preservando la clase de una medida, se llama representación quasi-regular. Las representaciones borde son representaciones quasi-regulares asociadas a ciertas acciones naturales de ciertos grupos en sus bordes. Recientemente se han estudiado estos ejemplos de representaciones y mostrado en algunos casos que son irreducibles y que reflejan la geometría del grupo. Este trabajo busca introducir la teoría de representaciones unitarias de grupos discretos y en particular las representaciones borde de grupos hiper- bólicos discretos. Esto se logra a través del estudio de resultados clásicos de la teoría de representaciones en este contexto así como algunos resultados recientes de irreducibilidad y rigidez de representaciones borde.

Teoremas de punto fijo para cubrimientos ramificados de superficies - Alejo García (2020)

Un conocido resultado de Brouwer afirma que cualquier homeomorfismo del plano que preserva orientación y no tiene puntos fijos, tiene conjunto no errante vacío. En particular, un compacto invariante implica la existencia de un punto fijo. En este trabajo damos condiciones suficientes para que cubrimientos ramificados de grado 2 del plano tengan un punto fijo, a saber: \( \\ \) \( \cdot \) Un compacto totalmente invariante, que no separa el punto crítico de su imagen. \( \\ \) \( \cdot \) Un compacto invariante con un entorno conexo \( U \), tal que \( T(U ∪ f(U)) \) no contiene el punto crítico ni su imagen. \( \\ \) \( \cdot \) Un continuo invariante, tal que el punto crítico y su imagen pertenecen a la misma componente conexa de su complemento.

Expansividad Non-Standard - Luis R. Ferrari (2019)

Sea \( (X, d) \) espacio métrico, un homeomorfismo \( f : X → X \) se dice que es expansivo, con constante de expansividad \( c > 0 \), si para todo \( x, y \in X \) distintos, existe \( n \in \mathbb{Z} \) tal que \( d(f^n(x), f^n(y)) > c \). Groisman y Da Silva usando la teoría de ultrafiltros estudiaron una subfamilia de estas dinámicas a las que llamaron libremente expansivos, desde el punto de vista combinatorio estas dinámicas son homeomorfismos tales que para cualquier par de puntos distintos los momentos de separación son infinitos (el \(n\) de la definición). En este trabajo veremos que el análisis no estándar es una herramienta alternativa para el estudio de estas dinámicas. Una de las ventajas de esta aproximaci´on es que nos permite introducir nuevos conceptos dinámicos y generalizar a los libremente expansivos para ambientes no compactos, a estos homeomorfismos los llamamos non-standard expansivos.

Transitividad robusta de endomorfismos singulares - Juan Carlos Morelli (2019)

A partir de una matriz de coeficientes enteros mayores que uno se construye un endomorfismo de \(T^n \) que tiene conjunto crítico persistente y admite conos inestables. Las características geométricas del conjunto crítico permiten elegir un punto distinguido donde perturbar a fin de obtener un nuevo mapa que colapsa un abierto en un segmento invariante por lo que no es \(C^1\) transitivo. Finalmente, utilizando los conos, probaremos que el mapa es transitivo en la topología \(C^2\) siguiendo (iterando) curvas aceleradas que viajan dentro de ellos.

Topologías del Grupo de Cremona - Federico Carrasco (2019)

Sea k un cuerpo y denotemos por \( \mathbb{P}^n \) el espacio proyectivo de dimensión \( n \) sobre \( k \). El conjunto Bir\( (\mathbb{P}^n) \) de aplicaciones birracionales \( f : \mathbb{P}^n \dashrightarrow \mathbb{P}^n \) es el llamado grupo de Cremona de dimensión \( n\) sobre \( k \). \( \\ \\ \\ \) Dado \(f \in \) Bir \((\mathbb{P}^n) \), existen polinomios homogeneos del mismo grado \( f_0,\cdots, f_n \in \) k \([x_0, \cdots , x_n]\), sin factores en común, tales que si \( x = (x_0 : \cdots : x_n) \) no es un cero común de los \(f_i^s\) entonces \(f(x) = (f_0(x) : \cdots : f_n(x)) \) . \( \\ \\ \\ \) El grado de \(f\) es el grado de cualquier \(f_i\) y se denota \(deg(f)\). Para una variedad algebraica \(A\) sobre k, hay una noción natural de familia de elementos de Bir(\( \mathbb{P}^n)\) parametrizada por \( A \). Dicha familia la anotamos \( A \rightarrow \)Bir\((\mathbb{P}^n)\) y estas familias dan lugar a la topología de Zariski de Bir\((\mathbb{P}^n) \). \( \\ \\ \\ \) En 1966 en, I.R. Shafarevich preguntó: “¿Es posible introducir una estructura universal de grupo de dimensión infinita en el grupo de automorfismos (automorfismos birracionales) de una variedad algebraica arbitraria?”. Años más tarde, en el 2008 J.P. Serre preguntó: “¿Es posible introducir una topología en Bir\( (\mathbb{P}^2 _{\mathbb{C}}) \) que sea compatible con PGL(\(3,\mathbb{C} \)) y PGL\((2,\mathbb{C}) \times \) PGL\((2,\mathbb{C}) \)?”. \( \\ \\ \\ \) Estas preguntas fueron respondidas por J. Blanc y J.P. Furter en. Más detalladamente, la primera fue respondida negativamente, ya que probaron que si \( n \geq 2 \)no hay una estructura de variedad algebraica de dimensión infinita en Bir( \( \mathbb{P}^n \)), de modo que las familias \( A \rightarrow\) Bir\( (\mathbb{P}^n) \) correspondan a morfismos de variedades algebraicas. En cuanto a la segunda, tiene respuesta afirmativa, ya que introdujeron una topología, denominada euclídea, tal que Bir(\( \mathbb{P}^n) \) dotado de ella es un grupo topológico Hausdorff que es compatible con los subgrupos. El objetivo de este trabajo monografico es comprender el trabajo de J. Blanc y J.P. Furter así como tambien presentarlo en un lenguaje más accesible. \( \\ \\ \\ \) Más detalladamente, el capítulo 1 está reservado para los prerrequisitos, ya sean las nociones básicas de geometría algebraica, así como también contenidos más específicos que se escapan de cursos iniciales. Ademas, se presentará la noción de cuerpo local y algunas propiedades de los mismos. La última sección del capítulo está dedicada para nociones topologicas. En el capítulo 2, se introducirá la topología Zariski de Bir\((X)\), siguiendo, y daremos una descripción explícita para el caso \(X = \mathbb{P}^n \). Teniendo dicha descripción, se responderá negativamente la primer pregunta planteada. En el capítulo 3, introduciremos la topología euclídea en Bir(\( \mathbb{P}^n \)) para k un cuerpo local no arquimedeano, y probaremos que es un grupo topologico Hausdorff respondiendo así la segunda pregunta planteada de manera afirmativa.

Difeomorfismos parcialmente hiperbólicos de codimensión uno con foliación central compacta - Santiago Martinchich (2019)

El objetivo principal de esta tesis es exponer el siguiente resultado de clasificación para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos con foliación central compacta: \( \\ \\ \\ \) Teorema. Sea \( f : M \rightarrow M \) un difeomorfismo parcialmente hiperbólico dinámicamente coherente con foliación central compacta \( \mathcal{W}^c \). Supongamos que \( dim(E^u) =1 \). Entonces, a menos de un cubrimiento doble que oriente a \( E^u \), el espacio de hojas \(M/\mathcal{W}^c \) es homeomorfo a un toro \( \mathbb{T}^d \) y la dinámica \( F : M/\mathcal{W}^c → M/\mathcal{W}^c \) inducida por \( f \) es topológicamente conjugada a un automorfismo lineal hiperbólico. \( \\ \\ \\ \) La prueba del mismo se obtiene en dos partes. Por un lado, se prueba de acuerdo a que bajo las hipótesis del teorema el volumen de las hojas de \( \mathcal{W}^c \) debe ser uniformemente acotado en \( M \). Por otro lado, se prueba la tesis del teorema asumiendo que el volumen de \( \mathcal{W}^c \) es uniformemente acotado basándose en la demostración que se realiza en.

Grafos Jagangir - Annabella Zapattini (2019)

Los grafos tipo rueda se definen a partir del Ciclo, agregando un nuevo vértice y nuevas aristas con determinadas condiciones. Este trabajo presenta algunas propiedades de su espectro y su energía, llegando, en algunos casos, a calcularlos.

Energía de Matrices - Florencia Cubría (2018)

Sea \( M_n(\mathbb{C} )\) el espacio de matrices \(n \times n \) con entradas complejas. Motivados por distintos tipos de energía de grafos definimos la energía de una matriz \( A \) en \( M_ n(\mathbb{C}) \) como $$ E (A) = \sum_{1}^{n} |\lambda_k - \frac{tr(A)}{n} | $$ donde \([\lambda_1,\cdots,\lambda_n] \) y \( tr(A) \) denotan el espectro y la traza de la matriz \( A\) respectivamente, y \( |z| \) el módulo del complejo \( z \). Esta definición generaliza la definición de energía de un grafo introducida por I. Gutman en 1978 tomando \( A \) como la matriz de adyacencia del grafo, así como otros tipos de energía. En este trabajo se establecen cotas superiores e inferiores para la definición de energía introducida, además de condiciones necesarias y suficientes para que las mismas sean alcanzadas. A su vez, para los distintos tipos de energía, expresaremos las cotas en términos de elementos del (di)grafo, que en algunos casos extienden cotas ya conocidas y en otros nos permiten obtener nuevos resultados.

Limit theorems for continuous time Markov chains and applications to large scale queueing systems - Diego Goldsztajn (2018)

En esta tesis se estudian teoremas límite para familias de cadenas de Markov de tiempo continuo, así como su aplicación al análisis estocástico de ambientes tipo cloud y data centers. En un comienzo se presentan resultados clásicos debidos a Kurtz, que caracterizan el comportamiento asintótico de estas familias a partir de su drift; a saber, una ley fuerte de grandes números y un teorema central del límite, ambos funcionales. En el último caso obtenemos extensiones en dos direcciones: considerando perturbaciones de pequeño orden en las tasas de transición de la familia y drifts no diferenciables. Los teoremas clásicos y las extensiones anteriores se emplean para estudiar el ajuste dinámico de la capacidad de cómputo de ambientes tipo cloud y data centers de gran escala, orientado a ajustar la capacidad de cómputo a una demanda incierta. Utilizando un esquema de cola centralizada y bajo hipótesis Markovianas, diseñamos una política que evita el encolado de tareas a expensas de un pequeño sobre dimensionamiento de la capacidad de cómputo; si \( \rho \) is la intensidad de tráfico, entonces la capacidad ociosa escala como \( O( \sqrt{\rho} \) )cuando \( \rho \rightarrow \infty \) En este sentido nuestra política ajusta automáticamente la capacidad de cómputo del sistema según el conocido criterio de la raíz cuadrada.

Álgebra de Frobenius y nearly Frobenius para la categoría de adg - Debora Stalker (2018)

El trabajo se centra en el estudio de la categoría de álgebras diferenciales graduadas de Frobenius. Esta categoría combina los conceptos de álgebras de Frobenius y de álgebras diferenciales graduadas. A los objetos de esta nueva categoría los denominaremos álgebras diferenciales graduadas de Frobenius. Probaremos que los resultados clásicos relativos a las K- álgebras de Frobenius valen en este nuevo contexto. Por ejemplo, uno de los resultados que probaremos sería que si A es un álgebra diferencial graduada de Frobenius de tipo finito simétrica podemos definir un coproducto graduado en A de forma tal que éste resulte un morfismo de A-bimódulos. Este coproducto junto a la forma de Frobenius ε le darán a A estructura de coálgebra graduada. En este sentido, veremos también que si A es un álgebra diferencial graduada de Frobenius podremos asociarle una familia de automorfismos de A que serán los automorfismos de Nakayama y estos serán la clave para probar que el resultado que acabamos de mencionar sobre la existencia de coproductos graduados en A vale aún si carecemos de la hipótesis de simetría para A. A lo largo de este trabajo, mostraremos que si bien las primeras definiciones y resultados están dadas en un contexto 0 graduado, de hecho las mismas definiciones pueden darse en un contexto n-graduado por medio de un corrimiento de grado a través de una función que llamaremos shift de grado n. La ventaja de tener las definiciones ahora en el contexto n graduado radica en que será más fácil encontar ejemplos de álgebras diferenciales graduadas de Frobenius con diferencial no trivial. También en este contexto definiremos lo que serán las álgebras diferenciales graduadas nearly Frobenius de grado n. Finalmente daremos dos ejemplos de álgebras diferenciales graduadas nearly Frobenius, una de dimensión finita y otra de dimensión infinita. Acciones