Tesis de Maestría

Topologías del Grupo de Cremona - Federico Carrasco (2019)

Sea k un cuerpo y denotemos por \( \mathbb{P}^n \) el espacio proyectivo de dimensión \( n \) sobre \( k \). El conjunto Bir\( (\mathbb{P}^n) \) de aplicaciones birracionales \( f : \mathbb{P}^n \dashrightarrow \mathbb{P}^n \) es el llamado grupo de Cremona de dimensión \( n\) sobre \( k \). \( \\ \\ \\ \) Dado \(f \in \) Bir \((\mathbb{P}^n) \), existen polinomios homogeneos del mismo grado \( f_0,\cdots, f_n \in \) k \([x_0, \cdots , x_n]\), sin factores en común, tales que si \( x = (x_0 : \cdots : x_n) \) no es un cero común de los \(f_i^s\) entonces \(f(x) = (f_0(x) : \cdots : f_n(x)) \) . \( \\ \\ \\ \) El grado de \(f\) es el grado de cualquier \(f_i\) y se denota \(deg(f)\). Para una variedad algebraica \(A\) sobre k, hay una noción natural de familia de elementos de Bir(\( \mathbb{P}^n)\) parametrizada por \( A \). Dicha familia la anotamos \( A \rightarrow \)Bir\((\mathbb{P}^n)\) y estas familias dan lugar a la topología de Zariski de Bir\((\mathbb{P}^n) \). \( \\ \\ \\ \) En 1966 en, I.R. Shafarevich preguntó: “¿Es posible introducir una estructura universal de grupo de dimensión infinita en el grupo de automorfismos (automorfismos birracionales) de una variedad algebraica arbitraria?”. Años más tarde, en el 2008 J.P. Serre preguntó: “¿Es posible introducir una topología en Bir\( (\mathbb{P}^2 _{\mathbb{C}}) \) que sea compatible con PGL(\(3,\mathbb{C} \)) y PGL\((2,\mathbb{C}) \times \) PGL\((2,\mathbb{C}) \)?”. \( \\ \\ \\ \) Estas preguntas fueron respondidas por J. Blanc y J.P. Furter en. Más detalladamente, la primera fue respondida negativamente, ya que probaron que si \( n \geq 2 \)no hay una estructura de variedad algebraica de dimensión infinita en Bir( \( \mathbb{P}^n \)), de modo que las familias \( A \rightarrow\) Bir\( (\mathbb{P}^n) \) correspondan a morfismos de variedades algebraicas. En cuanto a la segunda, tiene respuesta afirmativa, ya que introdujeron una topología, denominada euclídea, tal que Bir(\( \mathbb{P}^n) \) dotado de ella es un grupo topológico Hausdorff que es compatible con los subgrupos. El objetivo de este trabajo monografico es comprender el trabajo de J. Blanc y J.P. Furter así como tambien presentarlo en un lenguaje más accesible. \( \\ \\ \\ \) Más detalladamente, el capítulo 1 está reservado para los prerrequisitos, ya sean las nociones básicas de geometría algebraica, así como también contenidos más específicos que se escapan de cursos iniciales. Ademas, se presentará la noción de cuerpo local y algunas propiedades de los mismos. La última sección del capítulo está dedicada para nociones topologicas. En el capítulo 2, se introducirá la topología Zariski de Bir\((X)\), siguiendo, y daremos una descripción explícita para el caso \(X = \mathbb{P}^n \). Teniendo dicha descripción, se responderá negativamente la primer pregunta planteada. En el capítulo 3, introduciremos la topología euclídea en Bir(\( \mathbb{P}^n \)) para k un cuerpo local no arquimedeano, y probaremos que es un grupo topologico Hausdorff respondiendo así la segunda pregunta planteada de manera afirmativa.

Difeomorfismos parcialmente hiperbólicos de codimensión uno con foliación central compacta - Santiago Martinchich (2019)

El objetivo principal de esta tesis es exponer el siguiente resultado de clasificación para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos con foliación central compacta: \( \\ \\ \\ \) Teorema. Sea \( f : M \rightarrow M \) un difeomorfismo parcialmente hiperbólico dinámicamente coherente con foliación central compacta \( \mathcal{W}^c \). Supongamos que \( dim(E^u) =1 \). Entonces, a menos de un cubrimiento doble que oriente a \( E^u \), el espacio de hojas \(M/\mathcal{W}^c \) es homeomorfo a un toro \( \mathbb{T}^d \) y la dinámica \( F : M/\mathcal{W}^c → M/\mathcal{W}^c \) inducida por \( f \) es topológicamente conjugada a un automorfismo lineal hiperbólico. \( \\ \\ \\ \) La prueba del mismo se obtiene en dos partes. Por un lado, se prueba de acuerdo a que bajo las hipótesis del teorema el volumen de las hojas de \( \mathcal{W}^c \) debe ser uniformemente acotado en \( M \). Por otro lado, se prueba la tesis del teorema asumiendo que el volumen de \( \mathcal{W}^c \) es uniformemente acotado basándose en la demostración que se realiza en.

Grafos Jagangir - Annabella Zapattini (2019)

Los grafos tipo rueda se definen a partir del Ciclo, agregando un nuevo vértice y nuevas aristas con determinadas condiciones. Este trabajo presenta algunas propiedades de su espectro y su energía, llegando, en algunos casos, a calcularlos.

Energía de Matrices - Florencia Cubría (2018)

Sea \( M_n(\mathbb{C} )\) el espacio de matrices \(n \times n \) con entradas complejas. Motivados por distintos tipos de energía de grafos definimos la energía de una matriz \( A \) en \( M_ n(\mathbb{C}) \) como $$ E (A) = \sum_{1}^{n} |\lambda_k - \frac{tr(A)}{n} | $$ donde \([\lambda_1,\cdots,\lambda_n] \) y \( tr(A) \) denotan el espectro y la traza de la matriz \( A\) respectivamente, y \( |z| \) el módulo del complejo \( z \). Esta definición generaliza la definición de energía de un grafo introducida por I. Gutman en 1978 tomando \( A \) como la matriz de adyacencia del grafo, así como otros tipos de energía. En este trabajo se establecen cotas superiores e inferiores para la definición de energía introducida, además de condiciones necesarias y suficientes para que las mismas sean alcanzadas. A su vez, para los distintos tipos de energía, expresaremos las cotas en términos de elementos del (di)grafo, que en algunos casos extienden cotas ya conocidas y en otros nos permiten obtener nuevos resultados.

Limit theorems for continuous time Markov chains and applications to large scale queueing systems - Diego Goldsztajn (2018)

En esta tesis se estudian teoremas límite para familias de cadenas de Markov de tiempo continuo, así como su aplicación al análisis estocástico de ambientes tipo cloud y data centers. En un comienzo se presentan resultados clásicos debidos a Kurtz, que caracterizan el comportamiento asintótico de estas familias a partir de su drift; a saber, una ley fuerte de grandes números y un teorema central del límite, ambos funcionales. En el último caso obtenemos extensiones en dos direcciones: considerando perturbaciones de pequeño orden en las tasas de transición de la familia y drifts no diferenciables. Los teoremas clásicos y las extensiones anteriores se emplean para estudiar el ajuste dinámico de la capacidad de cómputo de ambientes tipo cloud y data centers de gran escala, orientado a ajustar la capacidad de cómputo a una demanda incierta. Utilizando un esquema de cola centralizada y bajo hipótesis Markovianas, diseñamos una política que evita el encolado de tareas a expensas de un pequeño sobre dimensionamiento de la capacidad de cómputo; si \( \rho \) is la intensidad de tráfico, entonces la capacidad ociosa escala como \( O( \sqrt{\rho} \) )cuando \( \rho \rightarrow \infty \) En este sentido nuestra política ajusta automáticamente la capacidad de cómputo del sistema según el conocido criterio de la raíz cuadrada.

Álgebra de Frobenius y nearly Frobenius para la categoría de adg - Debora Stalker (2018)

El trabajo se centra en el estudio de la categoría de álgebras diferenciales graduadas de Frobenius. Esta categoría combina los conceptos de álgebras de Frobenius y de álgebras diferenciales graduadas. A los objetos de esta nueva categoría los denominaremos álgebras diferenciales graduadas de Frobenius. Probaremos que los resultados clásicos relativos a las K- álgebras de Frobenius valen en este nuevo contexto. Por ejemplo, uno de los resultados que probaremos sería que si A es un álgebra diferencial graduada de Frobenius de tipo finito simétrica podemos definir un coproducto graduado en A de forma tal que éste resulte un morfismo de A-bimódulos. Este coproducto junto a la forma de Frobenius ε le darán a A estructura de coálgebra graduada. En este sentido, veremos también que si A es un álgebra diferencial graduada de Frobenius podremos asociarle una familia de automorfismos de A que serán los automorfismos de Nakayama y estos serán la clave para probar que el resultado que acabamos de mencionar sobre la existencia de coproductos graduados en A vale aún si carecemos de la hipótesis de simetría para A. A lo largo de este trabajo, mostraremos que si bien las primeras definiciones y resultados están dadas en un contexto 0 graduado, de hecho las mismas definiciones pueden darse en un contexto n-graduado por medio de un corrimiento de grado a través de una función que llamaremos shift de grado n. La ventaja de tener las definiciones ahora en el contexto n graduado radica en que será más fácil encontar ejemplos de álgebras diferenciales graduadas de Frobenius con diferencial no trivial. También en este contexto definiremos lo que serán las álgebras diferenciales graduadas nearly Frobenius de grado n. Finalmente daremos dos ejemplos de álgebras diferenciales graduadas nearly Frobenius, una de dimensión finita y otra de dimensión infinita. Acciones

Acciones quasi conformes en superficies - Marcos Barrios (2017)

El objetivo de este trabajo es estudiar la alternativa de Tits en el contexto de superficies de Riemann compactas. En contrecto, estudiar qué ocurre con las acciones quasi conformes. En el primer capítulo introduciremos el problema, y motivaremos las hipótesis adicionales en comparación al problema en dimensión 1, además de algunos ejemplos sencillos en dimensión 2. En el segundo capítulo estudiaremos las acciones K quasi conformes en superficies distinguiendolas por su género. Concluyendo que estas son conjugadas a acciones conformes. En el tercer capítulo probaremos la herramienta fundamental en la que se basa el capítulo 2 (solución a la ecuación de Beltrami).

Anosov Topológicos en el Plano - Gonzalo Cousillas (2017)

Sea \( X\) un espacio topológico, se dice que \( f:X \rightarrow X \) homeomorfismo, es Anosov topológico si es expansivo topológico y tiene la propiedad del sombreado topológico. En el presente trabajo se introducen estos conceptos, y se prueba como resultado principal que un Anosov topológico que preserva orientación en el plano tiene un punto fijo.

Geometría a Gran Escala de Grupos de Heintze - Emiliano Sequeira (2017)

Un teorema de Heintze del 74 muestra que toda variedad Riemanniana homogénea, conexa y de curvatura negativa es isométrica a un grupo de Lie soluble G dotado de una métrica invariante por traslaciones a izquierda. El grupo \( G \) resulta ser un producto semidirecto \( N \rtimes_{\phi} \mathbb{R} \), donde \( N \) es un grupo de Lie nilpotente y \( \phi \) queda determinado por una derivación \( \alpha \) en el álgebra de Lie de N, cuyos valores propios tienen parte real positiva. Estos son los llamados grupos de Heintze y los notamos \( N \rtimes_{\phi} \mathbb{R} \). Como la elección de la métrica invariante a izquierda no cambia la clase de cuasiisometría de un grupo de Lie, la geometría a gran escala de estos sólo depende de su estructura como grupos de Lie. De aquí el afán por encontrar invariantes de cuasiisometría algebraicos. La conjetura más importante en este sentido es la siguiente: Dos grupos de Heintze puramente reales son cuasi-isométricos si y sólo si son isomorfos. Se dice que el grupo \( N \rtimes_{\phi} \mathbb{R} \) es puramente real si \( \alpha \) tiene todos sus valores propios reales. Esta conjetura ha sido probada sólo en algunos casos particulares. Existen, sin embargo, algunos resultados un poco más débiles que pueden obtenerse en general, entre ellos la invarianza de ciertas estructuras algebraicas. Se prueba, luego de pasar por la demostración del teorema de Heintze y algunos preliminares, que el polinomio característico de la derivación \( \alpha \) (a menos de multiplicarla por un real positivo) es invariante por cuasi-isometrías. Además veremos que si el grupo nilpotente \( N \) es un grupo de Heisenberg, entonces la forma de Jordan de la derivación (nuevamente a menos de homotecias) es invariante por cuasi-isometrías.

Medidas tipo-SRB y Fórmula de Pesin en Sistemas C 1 -Expansores - Fernando Valenzuela (2017)

Estudiaremos mapas expansores \( f \) de regularidad \( C^1 \) en una variedad Riemanniana compacta \( M \) de dimensión finita. Nuestro principal objetivo es demostrar que las medidas pseudo-físicas, tambien llamadas “tipo-SRB” (similares a las de Sinai-Ruelle-Bowen), cumplen la Fórmula de Pesin para la Entropía. Estas son medidas invariantes que se caracterizan por sus buenas propiedades estadísticas. En algunos casos, como por ejemplo para mapas de clase \( C^2 \), satisfacen también las definiciones clásicas (más restrictivas) de las medidas SRB y de las medidas físicas.

Sistemas Parcialmente Hiperbólicos en Fibrados por Círculos sobre Superficies - Mario Shannon (2016)

El contexto general en el que se enmarca esta tesis es el de dar condiciones necesarias y suficientes para la existencia difeomorfismos parcialmente hiperbólicos en fibrados por círculos sobre superficies \( M \rightarrow \Sigma \). Estas 3-variedades se pueden clasificar mediante un invariante que se llama número de Euler, que es un número entero que denotaremos por \(e(M )\). Un fibrado (su clase de difeomorfismos como variedad de dimensión tres) queda completamente determinado por su base \(\Sigma \) y su número de Euler \(e(M)\). Los resultados previos conocidos hasta el momento son los siguientes: \( \\ \\ \\ \) \( \textbf{1} \). Si la base del fibrado es la esfera \(S^ 2\) entonces \(M\) no admite parcialmente hiperbólicos. (En particular, la esfera \(S^3\) no admite sistemas parcialmente hiperbólicos). Esto es un trabajo de Burago e Ivanov del año 2008. \( \\ \\ \\ \) \( \textbf{2} \). Cuando la base es el toro entonces todo fibrado \(M\) admite parcialmente hiperbólicos. De hecho, existe una clasificación de estos sistemas (Potrie- Hammerlindl). \( \\ \\ \\ \) \( \textbf{3}\). Cuando la base \( \Sigma \) es una superficie hiperbólica, E. Ghys probó (entre otras cosas) que uno de estos fibrados admite un flujo de Anosov si y sólo si \(e(M )\) es un divisor de la característica de Euler \(χ(\Sigma)\). Por lo tanto, cuando esto ocurre, \(M\) admite parcialmente hiperbólicos. El resultado central que probaremos en esta tesis es el siguiente: \( \\ \\ \\ \) \( \\ \\ \\ \) \( \textbf{Teorema:} \) Sea \(M\) una 3-variedad cerrada y orientable, que admite una estructura de fibrado por círculos sobre una superficie cerrada y orientable \( \Sigma \). Entonces \(M\) admite un difeomorfismo parcialmente hiperbólico transitivo si y sólo si \(e(M )\) divide a \(χ(\Sigma)\) (si y sólo si \(M\) admite un flujo de Anosov). Este trabajo fue hecho en colaboración con Rafael Potrie y Andrew Hammerlindl.

Generalizaciones de la noción de bimonoide - Sara Vilar del Valle (2016)

Este trabajo trata sobre generalizaciones categóricas de la noción de k-biálgebra. La generalización primera y conocida es la de bimonoide en una categoría monoidal trenzada. Las generalizaciones que existen y de las que trata la tesis parten de una mónada (como generalización del álgebra) y toman dos posibles caminos: \( \\ \\ \\ \) Eliminar la hipótesis de la existencia de una trenza en la categoría de base. Esta corriente trabaja en el contexto de categorías monoidales (no necesariamente trenzadas) y considera functores comonoidales que son además mónadas, con ciertas relaciones de compatibilidad entre estas estructuras. Este camino da lugar a las llamadas mónadas comonoidales; de manera dual y análoga, se pueden considerar las llamadas comónadas monoidales como otra posible generalización (que parte de una comónada como generalización de la estructura de k-coálgebra). Eliminar la hipótesis de monoidal y considerar una transformación natural que ocupa el lugar de trenza (conocida como ley distributiva). Los autores consideran una categoría cualquiera y modelan un bimonoide a través de un functor que es a la vez mónada y comónada y donde estas estructuras conviven bajo ciertas relaciones de compatibilidad que pueden ser enunciadas a través de la ley distributiva. Este camino da lugar a las llamadas bimónadas. En ambos contextos se tiene la noción extendida que agrega una antípoda (mónada comonoidal de Hopf y bimónada de Hopf respectivamente) y se generalizan resultados conocidos de la teoría de álgebras de Hopf. No consideraremos estas nociones en el presente trabajo. Este trabajo tiene por objetivo, además de recopilar ejemplos de mónadas y comónadas, revisar estas dos corrientes de generalización, presentando las definiciones, algunos resultados importantes y algunos ejemplos.

Cohomología en especies - Javier Cóppola (2015)

El principal objetivo de este trabajo es el estudio de la cohomología de comonoides linealizados en especies desde el punto de vista de la cohomología de objetos cosimpliciales, y la relación de esta cohomología en grados bajos con el torcimiento de ciertas estructuras. Esto último viene inspirado por resultados conocidos en teoría de grupos sobre torcimiento de multiplicación y de asociadores. En el primer capítulo presentamos nuestro objeto de estudio: las especies, en particular las especies comonoides linealizadas. Daremos las definiciones básicas y los principales ejemplos. En el segundo capítulo mostramos una familia de ejemplos de cohomologías conocidas, desde un punto de vista en común: los objetos cosimpliciales. En el tercer capítulo definimos la cohomología de una especie comonoide linealizada dentro del marco presentado en el capítulo anterior, y presentamos algunos ejemplos. En el cuarto capítulo vinculamos la cohomología en grados bajos con el torcimiento de estructuras algebraicas. Presentamos resultados conocidos para grupos, un resultado conocido para grado 2 en especies, y un resultado original para grado 3 en especies. En el quinto capítulo mostramos una definición del producto cup en la cohomología de anillos cosimpliciales, y unos primeros resultados obtenidos en este contexto.

Sobre la clasificación combinatoria de variedades esféricas - Viviana Ferrer (2014)

El objetivo de este trabajo es estudiar la clasificación combinatoria de variedades esféricas, mas precisamente establecer un diccionario entre las variedades esféricas y determinados objetos combinatorios que llamaremos abanicos coloreados. Estos objetos combinatorios permiten describir la geometría de las variedades esféricas, por ejemplo es posible describir las orbitas y sus adherencias a partir de ellos, decidir si la variedad es afín o completa. Este diccionario generaliza al que se obtiene para variedades teóricas.

Módulo de Brandt Generalizado - Gustavo Rama (2014)

El objetivo de este trabajo es presentar una generalización del módulo de Brandt para formas cuadráticas ternarias definidas positivas descrito por Birch. Para ello introducimos la norma spin para espacios cuadráticos. Con esto podemos definir el módulo de Brandt generalizado para retıculos cuadráticos en espacios cuadráticos ternarios definidos positivos. También se exhiben ejemplos de la descomposición de dichos módulos en espacios propios comunes a todos los operadores de Hecke del módulo. Los algoritmos para calcular los módulos de Brandt generalizados y sus operadores de Hecke son descritos e implementados.

Estructura de conjuntos hiperbólicos en toros - Adriana da Luz (2013)

En esta tesis presentaremos varios resultados acerca de conjuntos hiperbólicos invariantes. En particular nos interesa estudiar la siguiente pregunta planteada por Katok y Hasselblatt en \( \\ \\ \\ \) \( \textbf{Pregunta.}\) Sea \(\Lambda \) un conjunto hiperbólico, y \(V\) un entorno de \( \Lambda \) ¿Existe un conjunto con estructura de producto local \( \tilde{\Lambda} \) tal que \( \Lambda \subset \tilde{\Lambda} \subset V \) ? \( \\ \\ \\ \) Construiremos nuevos contra-ejemplos para esta pregunta. Mostraremos que hay ejemplos de conjuntos que no cumplen lo anterior en automorfismos lineales del \( \mathbb{T}^n \) y por lo tanto estos ejemplos son robustos. \( \\ \\ \\ \) También construiremos ejemplos de conjuntos transitivos que no están contenidos en ningún conjunto con estructura de producto local. Los ejemplos de este tipo construidos hasta ahora por Crovisier y por Fisher, ó eran en dimensión mayor o igual a 4, ó no eran transitivos. Construiremos ejemplos transitivos y robustos en \( \mathbb{T}^3 \) y probaremos que en dimensión 2 no es posible generar ejemplos transitivos.

Acciones C1 de algunos grupos solubles en dimensión 1 - Ignacio Monteverde (2013)

El objetivo de este trabajo es estudiar las acciones de algunos grupos solubles en \( \mathbb{R} \) y \( S^1 \), con un especial hincapié en las acciones \(C^1\) . Guelman y Liousse caracterizan en las acciones de \(BS(1, n) \) en \(Difeo^1_+ (S^1) \), en nuestro trabajo utilizamos algunas resultados que aparecen en dicho artículo y damos sus pruebas. Luego introducimos los grupos \(Γ_{n,k} \) y generalizamos a estos los resultados obtenidos para \(BS(1, n)\). Finalmente, se presentan los grupos “abelian by cyclic”, para los cuales se logran ciertos resultados similares en algunos casos particulares, quedando el caso general como una pregunta sin responder.

Ejemplos Establemente Ergódicos - Gabriel Nuñez (2013)

En general no es sencillo encontrar difeomorfismos Establemente Ergódicos y actualmente se conocen pocos ejemplos (no triviales) de este tipo. En este trabajo se presentará nuevas técnicas para probar la Estabilidad Ergódica de un difeomorfismo bajo ciertas hipótesis. Además dichas técnicas permitirá probar lo establecido anteriormente de una manera más simple de la que se conoce hasta hoy. Por ultimo se aplicará ejemplos ya conocidos.