Rigidez del espectro marcado de áreas en el borde

Los problemas inversos en geometría buscan reconstruir la forma y la estructura de un espacio a partir de medidas indirectas, como en la tomografía médica o cuando se intenta explorar el interior de la Tierra a partir de la propagación de ondas sísmicas. Un ejemplo clásico consiste en determinar la geometría de un espacio a partir de las distancias entre pares de puntos de su frontera. En esta charla estudiaremos un problema análogo, en el que las longitudes de las geodésicas que unen pares de puntos del borde se sustituyen por las áreas de las superficies mínimas delimitadas por círculos en el borde. Las herramientas que desarrollamos combinan, por un lado, nuevos resultados sobre la estructura geométrica de las familias de superficies mínimas delimitadas por círculos en el borde —lo que constituye un problema de Plateau foliado— y, por otro, el estudio de una transformada de Radon asociada, que a cada función le asigna sus integrales sobre todas esas superficies mínimas. Esta transformada se analiza mediante herramientas de análisis microlocal. Es un trabajo conjunto con Thibault Lefeuvre (Paris-Saclay), Ben Lowe (Johns Hopkins) y Graham Smith (PUC Rio de Janeiro)