Métricas riemannianas en R^2
Dia | 2022-07-22 14:30:00-03:00 |
Hora | 2022-07-22 14:30:00-03:00 |
Lugar | Salón de seminarios del IMERL |
Métricas riemannianas en R^2
Richard Muñiz (CMAT)
Un problema inverso clásico en geometría riemanniana es el siguiente: ¿dada la curvatura (en algún formato) es posible reconstruir la métrica a partir de ella? En esta charla abordaré la instancia particular de este problema cuando la variedad es R^2. Kazdan y Warner (1974) probaron que toda función diferenciable en R^2 es la curvatura (escalar, o gaussiana) de alguna métrica y caracterizaron las funciones que son curvatura de métricas completas. Sin embargo hay cosas que no se saben, por ejemplo, ¿si tengo una función, en qué clase conforme está una métrica con esa curvatura? Planteado de otra forma, dada una clase conforme, queremos saber cuál es el conjunto de las funciones de curvatura de las métricas en esa clase. Este problema consiste en estudiar las soluciones de una ecuación diferencial elíptica. La idea es hacer una reseña de la historia de este problema, comenzando por Ahlfors que en 1938 probó que la función constante -1 no es la curvatura de ninguna métrica conformemente euclidiana (en R^2), hasta resultados recientes (2020) que dan condiciones para que una función sí lo sea. El problema de cuándo una función es la curvatura de una métrica conformemente Poincaré es sensiblemente más difícil y hay menos resultados al respecto. También diré algunas palabras sobre el problema de difusión asociado (popularmente conocido como "flujo de Ricci"), en particular en el caso de curvatura no acotada (siempre en R^2).
La charla será apta para todo público.