Grupo de Hecke y puntos de conexión en superficies de traslación.

Esta charla responderé a la siguiente pregunta: dado un polígono regular y una trayectoria (ideal) de billar que parte del centro del polígono y alcanza un vértice, ¿es cierto que la trayectoria «inversa» que parte del centro pero en sentido contrario también alcanza un vértice?
Cuando n es par, esto es obviamente cierto, por simetría, pero cuando n es impar la cuestión es más difícil, y para responderla introduciremos métodos geométricos relacionados con superficies de traslación) y teoría de números (fracciones continuas en grupos de Hecke).