De grupos, relaciones y adoquinados

Voy a contar un trabajo conjunto con Fernando Alcalde y Álvaro Lozano Rojo que fue motivado por dos conjeturas. La primera es una conjetura de Hector que dice que las hojas de una foliación (de un espacio compacto) siempre son quasi-isométricas a grafos de Cayley. La segunda es de Giordano, Putnam y Skau, y dice que toda acción de un grupo promediable en el conjunto de Cantor es orbital mente equivalente a una acción de Z. (Esto es un análogo topológico de un conocido resultado de Connes, Feldman y Weiss sobre relaciones de equivalencia de Borel). Nosotros construimos adoquinados en una familia de grupos de Lie solubles, y a partir de ellos un contraejemplo a la conjetura de Hector y una relación promediable en el Cantor que no viene de una acción de Z. (No sabemos si ésta se puede obtener mediante la acción de un grupo promediable).