Seminario de Sistemas Dinámicos - Año 2021

En varias oportunidades les he contado acerca de la clasificación topológica de los sistemas en el título. Por algunos años, trabajé (junto a otra gente) en empujar un programa (conocido como conjetura de Pujals) para esta clasificación. También les conté que hace unos años notamos que el programa estaba incompleto, y que no tenía en cuenta ejemplos que pudimos construir (pero que no conseguiamos entender).

Esta vez, me gustaría contarles acerca de una propuesta para entender estos ejemplos nuevos, que también se enmarca en una reformulación del programa que se sustenta en resultados (por ejemplo, una clasificación completa en 3-variedades hiperbólicas). Mi idea es presentar los objetos, las preguntas, e intentar explicar el programa de una forma que no requiera conocer los objetos de antemano. Idealmente, espero que se vayan con más preguntas que respuestas....

Sea $M$ una variedad diferenciable y $f: M \to M$ un endomorfismo diferenciable. 

Decimos que $f$ es transitivo si existe un punto en $M$ cuya órbita es densa. 

Decimos que $f$ es singular si existe un punto en $M$ que anula el jacobiano de $f$.

En esta charla haré un repaso histórico de los resultados conocidos sobre transitividad robusta, enfocándome en el caso de endomorfismos singulares. Llegaremos al estado del arte del tema viendo algunos resultados muy recientes para dimensiones altas. Si el tiempo lo permite, contaré algunas de las ideas necesarias para demostrar algunos de esos resultados. 

Las representaciones de Anosov fueron introducidas por Labourie y generalizadas por Guichard-Wienhard. Se trata de una clase estable de encajes cuasi-isométricos de grupos hiperbólicos en grupos de Lie semisimples, y generalizan la noción de representación convexa co-compacta en curvatura negativa. La definición original es dinámica y, si bien hoy conocemos caracterizaciones más geométricas, es un problema interesante encontrar estructuras geométricas asociadas a las mismas. En esta charla mostraremos cómo asociar a cada representación de Anosov un dominio de discontinuidad en distintos espacios homogéneos del grupo de Lie de llegada, generalizando trabajos de Guichard-Wienhard y Kapovich-Leeb-Porti. Se trata de un trabajo en progreso realizado en colaboración con Florian Stecker (University of Texas at Austin).

Un difeomorfismo en el plano es Anosov si tiene una estructura hiperbólica en todo punto. Además de los automorfismos lineales hiperbólicos, las traslaciones del plano también admiten una estructura de Anosov (la existencia de estas estructuras para traslaciones fueron demostradas por White, W. en los 70´s). Mendes, P. conjeturó (1977) que los ejemplos antes mencionados dan lugar a las únicas clases de conjugación para los difeomorfismos de Anosov en el plano. Recientemente Matsumoto, S. mostró un ejemplo de un difeomorfismo de Anosov en el plano sin puntos fijos que no es conjugado a una traslación lo cual prueba que la conjetura de Mendes es falsa. En nuestro trabajo realizado en conjunto con Nitecki, Z. probamos que la conjetura de Mendes es verdadera en el caso que el difeo sea el tiempo uno de un flujo. Es interesante que esto se logra demostrando un resultado para foliaciones invariantes por el tiempo uno de un flujo.

Nuestro trabajo y el de Matsumoto son casi contemporáneos a tal punto que Matsumoto construye su ejemplo considerando entre otras cosas el resultado sobre foliaciones antes mencionado.

A diffeomorphism of the plane is Anosov if it has a hyperbolic splitting at every point of the plane. In addition to linear hyperbolic automorphisms, translations of the plane also carry an Anosov structure (the existence of Anosov structures for plane translations was originally shown by White). Mendes conjectured that these are the only topological conjugacy classes for Anosov diffeomorphisms in the plane. Very recently, Matsumoto gave an example of an Anosov diffeomorphism of the plane, which is a Brouwer translation but not topologically conjugate to a translation, disproving Mendes’ conjecture. In this paper we prove that Mendes’ claim holds when the Anosov diffeomorphism is the time-one map of a flow, via a theorem about foliations invariant under a time-one map. In particular, this shows that the kind of counterexample constructed by Matsumoto cannot be obtained from a flow on the plane. 

I will consider a class of geodesic flows of compact surfaces (of higher genus and nonpositive curvature), which constitute important examples of nonuniformly hyperbolic flows. I will study certain topologically hyperbolic flows which occur as their (time-preserving) topological factors. I will discuss some tools to study their thermodynamic properties and, in particular, measure(s) of maximal entropy and equilibrium states for the scaled geometric potential.

This talk is about joint work with Rafael Ruggiero and Dominik Kwietniak.

Decimos que un mapa f es un flujo de Anosov discretizado si es un parcialmente hiperbólico con central unidimensional tal que para todo x la imagen f(x) se obtiene como el tiempo t(x) de cierto flujo tangente al fibrado central, para cierta función continua t.

El objetivo de la charla será exponer un resultado de unicidad de minimales inestables (y por lo tanto, unicidad de atractores) para flujos de Anosov discretizados. Se trata de un trabajo en colaboración con Nancy Guelman.

Si el tiempo lo permite trataré de contar algo más de lo que estoy haciendo sobre flujos de Anosov discretizados, como por ejemplo que se trata de una clase C^1 abierta y cerrada dentro de los sistemas parcialmente hiperbólicos.

Consideraremos la dinámica de partículas de masa positiva y negativa colisionando elásticamente en la recta. Mostraremos que estos sistemas son equivalentes a billares inducidos por productos internos de signo definido o indefinido. Caracterizamos los sistemas con finitas colisiones. Mostraremos que una partícula de masa negativa entre dos masas positivas se comporta como una partícula atractora, generando una aceleración discreta si la energía cinética total es negativa.
Si la masa de la partícula del medio (el gravitón de juguete) tiende a cero pero con energía cinética total constante y negativa entonces la dinámica responde a un potencial de la forma U(r)=-k/r^2.

El espacio de Deroin [image: Der(G)] de un grupo finitamente generado [image: G] es, en términos groseros, el espacio de representaciones de [image: G] en el grupo de homeomorfismos de la recta. Describiremos algunos aspectos de [image: Der(G)] donde [image: G] es el grupo de Thompson [image: F] <https://en.wikipedia.org/wiki/Thompson_groups>, o un grupo soluble <https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group> cualquiera. Haciendo esto aparecerá naturalmente el concepto de laminación invariante de la recta. Intentaremos mostrar cómo, en estos casos, las laminaciones
invariantes proveen de una estructura útil para el estudio de [image: Der(G)]. 

Este es un trabajo en colaboración con Nicolás Matte Bon, Michele Triestino y Cristóbal Rivas.

Presentaremos una clase de sistemas hiperbólicos definidos como productos "torcidos" con fibra $S^1$ y base el shift de dos símbolos. La dinámica del sistema es transitiva y la dinámica fibrada presenta áreas de contracción y expansón que se mezclan. Estas dinámicas presentan medidas ergódicas no hiperbólicas (esto es cuyo exponente fibrado es nulo) con entropia positiva. Estudiaremos el problema de como la entropia de las medidas no-hiperbólicas aproxima la entropia del conjunto de puntos con exponente fibrado nulo. Finalmente, veremos como este tipo de sistemas está relacionado con los denominados cociclos elípticos y pondremos nuestros resultados en el contexto del teorema de Furstenberg sobre positividad del exponente de Lyapunov para medidas de Bernoulli.

Trabajo en colaboración con K. Gelfert (UFRJ, Brasil) y M. Rams (IMPAN, Polonia).

La conjetura de accesibilidad de Pugh-Shub afirma que dentro de los difeomorfismos parcialmente hiperbólicos existe un conjunto C^r abierto y denso de difeomorfismos accesibles (y por ende ergódicos via un argumento tipo Hopf). Hasta la fecha la conjetura sigue abierta en su generalidad aunque hay varios resultados importantes que dependen tanto de la topología como de la dimensión del fibrado central. En esta charla vamos a presentar un resultado que afirma que la conjetura es cierta en el caso central bidimensional bajo las hipótesis de coherencia dinámica, plaque-expansivity, center bunching y 2-normally hiperbolic (muchas hipótesis pero no tan disparatadas!). Este es un trabajo en conjunto con Martin Leguil.

En esta charla voy a hablar sobre flujos en el toro para los cuales las promedias de Birkhoff no convergen. Los flujos son obtenidos como reparametrizaciones de flujos irracionales excepto en dos puntos, donde hay singularidades. Este es un trabajo en colaboración con Pierre-Antoine Guihéneuf.