Seminario de Sistemas Dinámicos - Año 2021

Dia 2021-10-15 14:00:00-03:00
Hora 2021-10-15 14:00:00-03:00
LugarPlataforma ZOOM

Conjetura de Mendes sobre Anosov en el plano - Mendes' conjecture for Anosov in the plane.

Jorge Groisman (IMERL-FIng-UdelaR)

Un difeomorfismo en el plano es Anosov si tiene una estructura hiperbólica en todo punto. Además de los automorfismos lineales hiperbólicos, las traslaciones del plano también admiten una estructura de Anosov (la existencia de estas estructuras para traslaciones fueron demostradas por White, W. en los 70´s). Mendes, P. conjeturó (1977) que los ejemplos antes mencionados dan lugar a las únicas clases de conjugación para los difeomorfismos de Anosov en el plano. Recientemente Matsumoto, S. mostró un ejemplo de un difeomorfismo de Anosov en el plano sin puntos fijos que no es conjugado a una traslación lo cual prueba que la conjetura de Mendes es falsa. En nuestro trabajo realizado en conjunto con Nitecki, Z. probamos que la conjetura de Mendes es verdadera en el caso que el difeo sea el tiempo uno de un flujo. Es interesante que esto se logra demostrando un resultado para foliaciones invariantes por el tiempo uno de un flujo.

Nuestro trabajo y el de Matsumoto son casi contemporáneos a tal punto que Matsumoto construye su ejemplo considerando entre otras cosas el resultado sobre foliaciones antes mencionado.

A diffeomorphism of the plane is Anosov if it has a hyperbolic splitting at every point of the plane. In addition to linear hyperbolic automorphisms, translations of the plane also carry an Anosov structure (the existence of Anosov structures for plane translations was originally shown by White). Mendes conjectured that these are the only topological conjugacy classes for Anosov diffeomorphisms in the plane. Very recently, Matsumoto gave an example of an Anosov diffeomorphism of the plane, which is a Brouwer translation but not topologically conjugate to a translation, disproving Mendes’ conjecture. In this paper we prove that Mendes’ claim holds when the Anosov diffeomorphism is the time-one map of a flow, via a theorem about foliations invariant under a time-one map. In particular, this shows that the kind of counterexample constructed by Matsumoto cannot be obtained from a flow on the plane. 

Dia 2021-10-01 14:00:00-03:00
Hora 2021-10-01 14:00:00-03:00
LugarPlataforma ZOOM

Expansive flow-models.

Katrin Gelfert (UFRJ-Brasil)

I will consider a class of geodesic flows of compact surfaces (of higher genus and nonpositive curvature), which constitute important examples of nonuniformly hyperbolic flows. I will study certain topologically hyperbolic flows which occur as their (time-preserving) topological factors. I will discuss some tools to study their thermodynamic properties and, in particular, measure(s) of maximal entropy and equilibrium states for the scaled geometric potential.

This talk is about joint work with Rafael Ruggiero and Dominik Kwietniak.

Dia 2021-09-24 14:00:00-03:00
Hora 2021-09-24 14:00:00-03:00
LugarPlataforma ZOOM

Minimales inestables y flujos de Anosov discretizados

Santiago Martinchich (UdelaR-UParisSaclay)

Decimos que un mapa f es un flujo de Anosov discretizado si es un parcialmente hiperbólico con central unidimensional tal que para todo x la imagen f(x) se obtiene como el tiempo t(x) de cierto flujo tangente al fibrado central, para cierta función continua t.

El objetivo de la charla será exponer un resultado de unicidad de minimales inestables (y por lo tanto, unicidad de atractores) para flujos de Anosov discretizados. Se trata de un trabajo en colaboración con Nancy Guelman.

Si el tiempo lo permite trataré de contar algo más de lo que estoy haciendo sobre flujos de Anosov discretizados, como por ejemplo que se trata de una clase C^1 abierta y cerrada dentro de los sistemas parcialmente hiperbólicos.

Dia 2021-09-03 14:00:00-03:00
Hora 2021-09-03 14:00:00-03:00
LugarPlataforma ZOOM

Billares y gravitones de juguete.

Alfonso Artigue (DMEL - UdelaR)

Consideraremos la dinámica de partículas de masa positiva y negativa colisionando elásticamente en la recta. Mostraremos que estos sistemas son equivalentes a billares inducidos por productos internos de signo definido o indefinido. Caracterizamos los sistemas con finitas colisiones. Mostraremos que una partícula de masa negativa entre dos masas positivas se comporta como una partícula atractora, generando una aceleración discreta si la energía cinética total es negativa.
Si la masa de la partícula del medio (el gravitón de juguete) tiende a cero pero con energía cinética total constante y negativa entonces la dinámica responde a un potencial de la forma U(r)=-k/r^2.

Dia 2021-08-20 14:00:00-03:00
Hora 2021-08-20 14:00:00-03:00
LugarPlataforma ZOOM

Espacios de Deroin y laminaciones invariantes.

Joaquín Brum (IMERL-FIng-UdelaR)

El espacio de Deroin [image: Der(G)] de un grupo finitamente generado [image: G] es, en términos groseros, el espacio de representaciones de [image: G] en el grupo de homeomorfismos de la recta. Describiremos algunos aspectos de [image: Der(G)] donde [image: G] es el grupo de Thompson [image: F] <https://en.wikipedia.org/wiki/Thompson_groups>, o un grupo soluble <https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group> cualquiera. Haciendo esto aparecerá naturalmente el concepto de laminación invariante de la recta. Intentaremos mostrar cómo, en estos casos, las laminaciones
invariantes proveen de una estructura útil para el estudio de [image: Der(G)]. 


Este es un trabajo en colaboración con Nicolás Matte Bon, Michele Triestino y Cristóbal Rivas.

Dia 2021-08-06 14:00:00-03:00
Hora 2021-08-06 14:00:00-03:00
LugarPlataforma ZOOM

Principios variacionales restrictos para sistemas parcialmente hiperbólicos.

Lorenzo J. Díaz. (PUC - Río - Brasil.)

Presentaremos una clase de sistemas hiperbólicos definidos como productos "torcidos" con fibra $S^1$ y base el shift de dos símbolos. La dinámica del sistema es transitiva y la dinámica fibrada presenta áreas de contracción y expansón que se mezclan. Estas dinámicas presentan medidas ergódicas no hiperbólicas (esto es cuyo exponente fibrado es nulo) con entropia positiva. Estudiaremos el problema de como la entropia de las medidas no-hiperbólicas aproxima la entropia del conjunto de puntos con exponente fibrado nulo. Finalmente, veremos como este tipo de sistemas está relacionado con los denominados cociclos elípticos y pondremos nuestros resultados en el contexto del teorema de Furstenberg sobre positividad del exponente de Lyapunov para medidas de Bernoulli.

Trabajo en colaboración con K. Gelfert (UFRJ, Brasil) y M. Rams (IMPAN, Polonia).

Dia 2021-07-02 14:00:00-03:00
Hora 2021-07-02 14:00:00-03:00
LugarPlataforma ZOOM

C^r densidad de accesibilidad para parcialmente hiperbólicos con central bidimensional.

Luis Pedro Piñeyrúa (UdelaR)

La conjetura de accesibilidad de Pugh-Shub afirma que dentro de los difeomorfismos parcialmente hiperbólicos existe un conjunto C^r abierto y denso de difeomorfismos accesibles (y por ende ergódicos via un argumento tipo Hopf). Hasta la fecha la conjetura sigue abierta en su generalidad aunque hay varios resultados importantes que dependen tanto de la topología como de la dimensión del fibrado central. En esta charla vamos a presentar un resultado que afirma que la conjetura es cierta en el caso central bidimensional bajo las hipótesis de coherencia dinámica, plaque-expansivity, center bunching y 2-normally hiperbolic (muchas hipótesis pero no tan disparatadas!). Este es un trabajo en conjunto con Martin Leguil.

Dia 2021-06-18 14:00:00-03:00
Hora 2021-06-18 14:00:00-03:00
LugarPlataforma ZOOM

Dinámica de funciones multivaluadas expansivas.

José "Pepe" Vieitez. (DMEL-UdelaR)

Por definición una función multivaluada no es una función, pero así se llaman.
Estudiaremos mapas multivaluados $F:M\multimap M$ donde $M$ es una variedad compacta y conexa, $dim(M)>0$.
Existe en la literatura una definición de mapas multivaluados expansivos debida a Richard Williams con el nombre de
mappings. Nosotros daremos una definición diferente y también analizaremos propiedades de la definición dada por Williams.
Daremos algunos ejemplos y, si hay tiempo, mostraremos dos situaciones:
A) la entropía topológica de estos mapas es positiva (puede ser infinita).
B) hay ejemplos de puntos estables para estos ''mappings''. En realidad ejemplos en donde todos los puntos  de $M$ son estables.
Estas funciones multivaluadas aparecen en Matemática Económica con el nombre de ''Correspondences''.
Dia 2021-06-04 14:00:00-03:00
Hora 2021-06-04 14:00:00-03:00
LugarPlataforma ZOOM

Ojos de Bowen en flujos irracionales reparametrizados con stopping points.

Martin Andersson (UFF-RJ-Brasil)

En esta charla voy a hablar sobre flujos en el toro para los cuales las promedias de Birkhoff no convergen. Los flujos son obtenidos como reparametrizaciones de flujos irracionales excepto en dos puntos, donde hay singularidades. Este es un trabajo en colaboración con Pierre-Antoine Guihéneuf.

Dia 2021-05-21 14:00:00-03:00
Hora 2021-05-21 14:00:00-03:00
LugarZoom

Entropía abstracta

Mauricio Achigar (DMEL-UdelaR)

En la literatura existen diversas teorías de entropía. Las más conocidas son la entropía métrica de funciones medibles que preservan medida (Kolmogorov, Sinaí) y la entropía topológica de mapas continuos (Adler, Konheim, McAndrew, Bowen). Sin embargo hay también varias otras, como la dimensión media para mapas continuos (mean dimensión, de Lindenstrauss), la entropía algebraica para homomorfismos de un grupo abeliano (Wiess), la entropía algebraica adjunta para homomorfismos de un grupo abeliano (Dikranjan, Giordano Bruno, Salce), y muchísimas más.
 
En la charla comentaré la definición de algunas de estas entropías y mostraré un conjunto de axiomas sobre el cual se puede construir una teoría unificada de la mayoría de estas entropías, que permite deducir las propiedades principales. En este contexto general se tiene también una noción de expansividad, que generaliza la noción usual en un espacio métrico, de la cual mencionaré las ideas generales.