Seminario de Sistemas Dinámicos

Viernes 14:30hs - Salón de seminarios del IMERL

Contacto: León Carvajales (lcarvajales@cmat.edu.uy)

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Dia 2022-09-30 14:30:00-03:00
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Transitividad robusta de endomorfismos singulares

Juan Carlos Morelli (IMERL)

Desde que comencé mis estudios de maestría he estado investigando este tipo de mapas. Es un tema que históricamente no había sido abordado. En ese contexto, logré algunas publicaciones que prueban la existencia de distintos endomorfismos en dimensiones arbitrarias que presentando puntos críticos persistentes son robustamente transitivos. En esta charla repasaremos estas construcciones y mostraré otros resultados no publicados, fruto de investigaciones recientes. 


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Dia 2022-09-23 14:30:00-03:00
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Métricas de Thurston en el espacio de superficies proyectivas

León Carvajales (DMC)

El espacio de Teichmüller de una superficie S es el espacio de clases de isotopía de métricas hiperbólicas en S. Thurston introduce una métrica asimétrica en este espacio: dadas dos métricas g_1 y g_2, se considera el logaritmo del supremo de los cocientes de longitudes de geodésicas cerradas respecto de g_1 y g_2. Thurston brinda una descripción alternativa de dicha métrica usando mapas Lipschitz entre ambas superficies hiperbólicas, y calcula algunas de sus geodésicas. En esta charla comentaré cómo generalizar la definición de Thurston a un espacio de deformación distinto, el espacio de estructuras proyectivas convexas en S, y discutiremos algunas preguntas relacionadas en las que venimos trabajando. Trabajo en conjunto con Xian Dai, Beatrice Pozzetti y Anna Wienhard.

Dia 2022-09-16 14:30:00-03:00
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Transverse foliations of T^1 S

Sergio Fenley (FSU-IAS)

This is joint work with Rafael Potrie. We study two dimensional foliations F_1, F_2 of a 3-manifold M so that they have C^1 leaves and they are transverse to each other. The intersection is a one dimensional foliation
G, which subfoliates leaves of F_1, F_2. This is very common, for example when F_1, F_2 are the weak stable and unstable foliations of an Anosov flow in a 3-manifold. We assume that the leaves of F_1, F_2 are Gromov hyperbolic. There are several properties to study. One question is when the foliation G is the flow foliation of a topological Anosov flow. We study the particular case that the manifold is T^1 S, the unit tangent bundle of a closed hyperbolic surface. We show for example that if certain leaf spaces associated with G are Hausdorff, then G is the flow foliation of an Anosov flow.

Dia 2022-09-09 14:30:00-03:00
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Pérdida de dimensión para caminatas al azar en grupos de Schottky (Defensa de Tesis de Maestría)

Ernesto García (CMAT-IMERL)

Dado un conjunto finito de matrices de PSL(2,R) que generan libremente un grupo de Schottky y una probabilidad soportada en estas matrices, probamos que la medida estacionaria de la caminata al azar asociada tiene dimensión de Hausdorff estrictamente más chica que el conjunto límite del grupo en el borde del plano hiperbólico. En particular, si fijamos un punto del plano hiperbólico, la medida de Patterson Sullivan correspondiente es singular con respecto a la medida estacionaria de la caminata. Esto prueba casos particulares de una conjetura aún abierta debida a Vadim Kaimanovich y Vincent LePrince.

Dia 2022-09-02 14:30:00-03:00
Hora 2022-09-02 14:30:00-03:00
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Convex ancient solutions to free boundary curve shortening flow

Theodora Bourni (U. Tennessee)

In this talk we construct and classify convex ancient curve shortening flows in the disc with free boundary on the circle. This work is joint with Mat Langford.

Dia 2022-08-26 14:30:00-03:00
Hora 2022-08-26 14:30:00-03:00
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Contributions to partially hyperbolic systems: coherence, transitivity and accessibility (Defensa de Tesis de Doctorado)

Luis Pedro Piñeyrúa (IMERL)

Esta tesis se enmarca dentro del estudio de los sistemas parcialmente hiperbólicos (PH). Dentro de estos sistemas, nos enfocamos en tres aspectos: la coherencia dinámica (integrabilidad de los fibrados centro-estable y centro-inestable), la transitividad robusta y la accesibilidad.

Respecto a la coherencia dinámica, se prueba que en ciertas clases de isotopía, la existencia de un difeomorfismo PH dinámicamente coherente implica que todo difeomorfismo dentro de esta misma clase de isotopía, también es dinámicamente coherente.

Sobre la transitividad robusta se presenta una nueva definición de SH (some hyperbolicity) que extiende a la introducida por Pujals y Sambarino. Probamos que esta nueva SH es una propiedad C^1 abierta y luego se dan condiciones que garantizan que un difeomorfismo PH con propiedad SH sea C^1 robustamente transitivo (se presenta un resultado similar para el caso flujos). Luego se construyen ejemplos nuevos de difeomorfismos derivados de Anosov C^1 robustamente transitivos.

Finalmente respecto a la accesibilidad, trabajamos en la conjetura de Pugh-Shub. Esta conjetura dice que el conjunto de los PH establemente accesibles es C^r abierto y denso dentro de los sistemas PH. En un trabajo en conjunto con Martín Leguil, probamos que la conjetura es cierta para el caso fibrado central de dimensión 2 y una condición de center bunching fuerte.

Dia 2022-08-19 14:30:00-03:00
Hora 2022-08-19 14:30:00-03:00
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Foliaciones uniformes en 3-variedades con componentes de Reeb

Joaquín Lema (CMAT)

Para nosotros, una foliación en una 3-variedad M será una partición "bien
portada" de M por superficies que llamaremos hojas. Dada la definición
anterior y un poco de optimismo, a uno le gustaría obtener resultados del
tipo "la topología de M impide o fuerza x comportamiento en las hojas".
Comenzaremos la charla repasando algunos resultados clásicos en esta
dirección y veremos con ejemplos que no es claro qué enunciados de este tipo
son esperables en caso de tener componentes de Reeb
<https://en.wikipedia.org/wiki/Reeb_foliation> . Una vez generada la
intriga, voy a contarles un resultado parcial de este estilo para el caso
con Reebs asumiendo una condición geométrica extra sobre la foliación (la
uniformidad).

Dia 2022-08-12 14:30:00-03:00
Hora 2022-08-12 14:30:00-03:00
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Algunas novedades sobre cohomología de Orlicz

Emiliano Sequeira (CMAT-IMERL)

La cohomología de Orlicz es un invariante de cuasi-isometría que resulta de generalizar otro invariante importante: la cohomología Lp. Trabajos referidos a este último datan desde la década del 80. En estos se dan definiciones para diferentes contextos y establecen teoremas de equivalencia, se estudian sus propiedades y se dan aplicaciones a problemas de clasificación cuasi-isométrica. La cohomología de Orlicz no ha sido aún explorada en la misma profundidad, pero existen resultados que muestran mejoras sustanciales a aplicaciones de la cohomología Lp.

El objetivo de la charla será contar algunos avances en este sentido y en particular un trabajo en conjunto con Yaroslav Kopylov, en el que estudiamos dos variantes de la cohomología de Orlicz: la cohomología de Orlicz asintótica y la cohomología continua de grupos con coeficientes en espacios de Orlicz.

Dia 2022-08-05 14:30:00-03:00
Hora 2022-08-05 14:30:00-03:00
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Topología de las hojas de foliaciones por superficies

Matilde Martínez (IMERL)

Sobre la topología de las hojas de una foliación por superficies se sabe bastante. Cualquier superficie es hoja de una foliación  de alguna 3-variedad compacta, pero hay restricciones fuertes para la topología de las hojas genéricas. Voy a hablar de qué superficies pueden coexistir como hojas de una misma foliación, y de un procedimiento para construir ejemplos de foliaciones que tienen las hojas que uno quiera. Es un trabajo con Seba, Frodo y el Gordo del que habló Frodo cuando estaba en proceso, y que no volvimos a presentar en el seminario en su versión definitiva. 

Dia 2022-07-29 14:30:00-03:00
Hora 2022-07-29 14:30:00-03:00
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Topología en IET y algunas extensiones

Marcos Barrios (IMERL)

Una transformación de intercambio de intervalos es una biyección del intervalo [0,1) que consiste en una partición finita de [0,1) en subintervalos y reordenar dicha partición.
En esta charla trabajaré con el grupo de transformaciones de intercambio de intervalos (IET), exponiendo algunas propiedades básicas para luego estudiar IET como grupo topológico a partir de distintas distancias. También se visualizarán algunos resultados sobre encajes de grupos de Lie en IET (en particular encajes de R).
Luego veremos algunas extensiones (permitiendo otras funciones continuas dentro de los intervalos de continuidad) analizando qué distancias se pueden extender desde IET y que resultados de encajes se mantienen.
Dia 2022-07-22 14:30:00-03:00
Hora 2022-07-22 14:30:00-03:00
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Métricas riemannianas en R^2

Richard Muñiz (CMAT)

Un problema inverso clásico en geometría riemanniana es el siguiente: ¿dada la curvatura (en algún formato) es posible reconstruir la métrica a partir de ella? En esta charla abordaré la instancia particular de este problema cuando la variedad es R^2. Kazdan y Warner (1974) probaron que toda función diferenciable en R^2 es la curvatura (escalar, o gaussiana) de alguna métrica y caracterizaron las funciones que son curvatura de métricas completas. Sin embargo hay cosas que no se saben, por ejemplo, ¿si tengo una función, en qué clase conforme está una métrica con esa curvatura? Planteado de otra forma, dada una clase conforme, queremos saber cuál es el conjunto de las funciones de curvatura de las métricas en esa clase. Este problema consiste en estudiar las soluciones de una ecuación diferencial elíptica. La idea es hacer una reseña de la historia de este problema, comenzando por Ahlfors que en 1938 probó que la función constante -1 no es la curvatura de ninguna métrica conformemente euclidiana (en R^2), hasta resultados recientes (2020) que dan condiciones para que una función sí lo sea. El problema de cuándo una función es la curvatura de una métrica conformemente Poincaré es sensiblemente más difícil y hay menos resultados al respecto. También diré algunas palabras sobre el problema de difusión asociado (popularmente conocido como "flujo de Ricci"), en particular en el caso de curvatura no acotada (siempre en R^2).
La charla será apta para todo público.

Dia 2022-07-15 14:30:00-03:00
Hora 2022-07-15 14:30:00-03:00
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Espacios de acciones en la recta

Joaquín Brum (IMERL)

Dado un grupo finitamente generado G y una variedad M, una pregunta natural es si existe una acción continua (o con regularidad dada) de G en M. Además, en caso que la respuesta a la pregunta anterior sea afirmativa, es natural preguntarse de "cuántas formas distintas¨ puede actuar. En el seminario intentaré hablar sobre distintas formas de interpretar la pregunta en el caso de variedades de dimensión uno. Además, si da el tiempo, contaré que se sabe en el caso en que G es soluble y M tiene dimensión uno. 

Dia 2022-07-08 14:30:00-03:00
Hora 2022-07-08 14:30:00-03:00
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(Non-)Tameness among Toeplitz shifts

Gabriel Fuhrmann (Durham)

Given a dynamical system (X,T) [where X is compact metric and T is a self-homeo on X] its Ellis semigroup is defined as the closure of the collection {T^n} in the space of self-maps on X. The Ellis semigroup is a cornerstone of the algebraic theory of topological dynamics. Unfortunately, quite often, it is quite nasty. This talk is about when the Ellis semigroup of Toeplitz shifts is well-behaved (or: tame). There will be few to no proofs but rather a discussion of the involved techniques (most notably Brattelli-Vershik representations of minimal Cantor systems). Joint work with Johannes Kellendonk and Reem Yassawi.

Dia 2022-07-01 14:30:00-03:00
Hora 2022-07-01 14:30:00-03:00
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Medidas SRB y de u-Gibbs para ciertos difeomorfismos de Anosov del toro de dimensión 3

Sébastien Alvarez (CMAT)

En esta charla, nos vamos a interesarar en los difeomorfismos de Anosov del toro de
dimensión 3 con fibrado inestable de dimensión 2. Es conocido que todo difeomorfismo con esta
propiedad tiene una única medida SRB, que es absolutamente continua en la dirección
(centro)-inestable (de dimensión 2). Podemos considerar también otro tipo de medidas, cuyo estudio
fue iniciado por Pesin-Sinai: son las medidas de u-Gibbs, que son absolutamente continuas en la
direccion inestable fuerte (de dimensión 1). En particular la medida SRB es una medida de u-Gibbs.
En un trabajo hecho junto a Martin Leguil, Davi Obata y Bruno Santiago, probamos que cerca de los
sistemas conservativos, si los fibrados estable e inestable fuertes no son juntamente integrables,
toda medida de u-Gibbs es SRB. En particular en este caso existe una única medida de u-Gibbs que
describe las propiedades ergódicas de la foliación inestable fuerte. Para probar este resultado,
adaptamos los resultados recientes de dinámica homogénea (Benoist-Quint, Eskin-Lindenstrauss,
Eskin-Mirzakhani, Brown-Hertz) al caso (parcialmente) hiperbólico y en particular el metodo de la deriva exponencial.

Dia 2022-06-24 14:30:00-03:00
Hora 2022-06-24 14:30:00-03:00
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Ejemplos de difeomorfismos establemente ergódicos en dimensión 3.

Gabriel Núñez (UCU)

En esta charla intentaré mostrar que en la clase de isotopía de cualquier difeomorfismo parcialmente hiperbólico que preserva volumen (en dimensión 3) hay un difeomorfismo que no es parcialmente hiperbólico y es establemente ergódico. En particular se obtienen nuevos ejemplos de difeomorfismos en variedades tridimensionales. Este resultado es un trabajo en conjunto con Davi Obata y Jana Rodriguez Hertz el cual fue publicado el año pasado.

Dia 2022-06-17 14:30:00-03:00
Hora 2022-06-17 14:30:00-03:00
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Unique ergodicity of the horocyclic flow of certain surfaces without conjugate points.

Sergi Burniol (IMJ-PRG)

There are strong connections between the dynamics of the geodesic flow and the horocyclic flow defined on the unit tangent bundle of certain Riemannian surfaces.
Furstenberg and Marcus proved in the 70s that the horocyclic flow of a negatively curved compact surface is uniquely ergodic, i.e. it admits a unique invariant probability measure. I will explain why this result still holds for a compact surface without conjugate points, genus greater than 1 and continuous Green bundles. The proof uses the construction of the measure of maximal entropy for the geodesic flow in a recent paper of Climenhaga-Knieper-War, and the semiconjugation of the geodesic flow with an expansive continuous flow with local product structure, established by Gelfert-Ruggiero.
Dia 2022-06-10 14:30:00-03:00
Hora 2022-06-10 14:30:00-03:00
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La tasa de crecimiento de órbitas periódicas para mapas de Thurston con orbifolds no hiperbólicos

Juliana Xavier (IMERL)

Sea $f: S^2 \to S^2$ una función contínua de grado $d$, $|d|>1$, y sea $N_nf$ el número de puntos fijos de  $f^n$. Mostramos que si $f$ es un mapa de  Thurston con orbifold no hiperbólico, entonces o bien la desigualdad $\limsup \frac{1}{n} \log N_nf\geq \log |d|$ vale para $f$ o sino $f$ tiene exactamente dos puntos críticos totalmente invariantes.
Un mapa de Thurston es simplemente un cubrimiento ramificado de la esfera tal que el conjunto poscrítico es finito (el conjunto poscrítico son todos los iterados futuros de los puntos críticos).  Si $f$ tiene exactamente dos puntos críticos totalmente invariantes (el poscrítico son solo dos puntos), es fácil ver que la desigualdad no se cumple porque se pueden hacer ejemplos sin otros puntos periódicos (tipo un norte sur con grado d). Lo que probamos entonces es que para mapas de Thurston con orbifold no hiperbólico, esta es la única obstrucción para que se verifique la desigualdad, y además la obstrucción es topológica: el complemento del conjunto poscrítico de $f$ es un anillo.
Tener orbifold no hiperbólico se corresponde con algunas combinatorias muy especiales del conjunto poscrítico que voy a explicar, y además voy a mostrar por qué si el poscrítico de estos mapas tiene por lo menos tres puntos, entonces hay crecimiento exponencial de órbitas periódicas.
A modo anecdótico pero no voy a hablar de esto en la charla: cuando el orbifold es hiperbólico (que es casi siempre) no sabemos lo que hacer, solo tenemos un teorema para cuando el mapa es "tipo un polinomio" y tiene un conjunto K totalmente invariante ("tipo un Julia")  localmente conexo.
Dia 2022-06-03 14:30:00-03:00
Hora 2022-06-03 14:30:00-03:00
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Pérdida de dimensión para medidas armónicas de caminatas de rango finito en grupos convexo cocompactos

Pablo Lessa (IMERL)

Una medida de probabilidad en un espacio métrico X "pierde dimensión" si le da medida total a un Boreliano cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente menor a la de X.    El fenómeno de "pérdida de dimensión" es la observación de que en diferentes contextos algunas medidas "naturales" construidas por un proceso "local" pierden dimensión.
Algunos resultados que demuestran que se produce este fenómeno son:
  1. El teorema de Makarov de la década del 80, sobre dimensión de medidas armónicas de dominios de Jordan.
  2. El teorema de Lyons, Pemantle, y Peres de los 90, sobre dimensión de medidas armónicas de caminatas al azar en árboles de Galton-Watson.
  3. El teorema de Gouezel, Matheus, y Maucourant de 2018, sobre medidas armónicas para caminatas simétricas de rango finito en grupos hiperbólicos.
En el contexto de grupos de matrices la conjetura de Kaimanovich y LePrince (2010) dice que se da el fenómeno de dimensión para medidas finitamente soportadas cuyo soporte genera un grupo discreto.  Sin la condición de que el grupo sea discreto existen contraejemplos debidos a Bourgain, Benoist y Quint.
Voy a presentar un trabajo en curso con Ernesto García donde demostramos que se da el fenómeno de pérdida de dimensión para medidas asociadas a caminatas al azar de rango finito en grupos Fuchsianos convexo cocompactos.  El resultado análogo para grupos de co-volumen finito pero no co-compactos es conocido (Guivarc'h, Le Jan, Tiozzo), mientras que el caso co-compacto es una problema abierto donde ha habido progreso reciente (Carrasco, Paquette, Kosenko, Tiozzo).
Dia 2022-05-27 14:30:00-03:00
Hora 2022-05-27 14:30:00-03:00
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Parcialmente hiperbólicos y mapas pseudo Anosov.

Rafael Potrie (CMAT)

Como Sergio tuvo que cancelar su visita, voy a tomar su lugar para contar un trabajo que hicimos con él hace un tiempo (ver https://arxiv.org/abs/2102.02156). La idea es estudiar una clase de sistemas dinámicos en 3 variedades, llamados parcialmente hiperbólicos. Lo que voy a contar es una clasificación topológica de estos sistemas en 3-variedades llamadas hiperbólicas (que en cierto sentido, justificado por los trabajos de Thurston y Perelman son las más 'abundantes'). El estudio involucra víncular la geometría de la variedad con la dinámica a gran escala para mapas que preservan foliaciones y construir cosas similares a mapas pseudo-Anosov de superficies. Si da tiempo, voy a contar la dificultad de extender estos resultados a otras variedades, en particular, cuando ocurren fenómenos similares a los que aparecieron en la charla de Patrice (twists de Dehn).

Dia 2022-05-20 14:30:00-03:00
Hora 2022-05-20 14:30:00-03:00
LugarSalón de seminarios del IMERL

CONSERVATIVE SURFACE HOMEOMORPHISMS WITH FINITELY MANY PERIODIC POINTS

Patrice Le Calvez (CNRS-IMJ)

We give a characterization of homeomorphisms $f$ of a closed surface of genus $\geq 2$ with no wandering point that have finitely many periodic points. The main result is the fact that there exists an integer $q$ such that the periodic points of $f^q$ are fixed and $f^q$ is isotopic to the identity relative to its fixed point set. The emblematic way to construct such an example is to start with the time one map of a flow of minimal direction for a translation surface, to add finitely many stopping points and to lift this map to a finite covering. The main result in the proof is that every homeomorphism with no wandering point, isotopic to a Dehn twist map, has infinitely many periodic points. Such a result was known for a generic area preserving diffeomorphism in the isotopy class. To extend this result, obtained with Martin Sambarino, to the general case, one needs to introduce a ``forcing lemma'' , very similar to a forcing result obtained with Fabio Tal in the case of maps isotopic to the identity.

Dia 2022-05-13 14:30:00-03:00
Hora 2022-05-13 14:30:00-03:00
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Monodromía primitiva de recubrimientos ramificados sobre superfícies

Natalia Viana (Universidade Federal de Sao Carlos)

En esta charla les contaré sobre resultados recientes de un trabajo,  en colaboración con Daciberg L. Gonçalves (IME-USP), relativos a la siguiente pregunta:

"Dado un recubrimiento ramificado primitivo (sobreyectivo en π1) de grado d, entre superficies, cuando es posible o no escribirlo como composición de dos recubrimientos no triviales de grado < d?"
Dia 2022-05-06 14:30:00-03:00
Hora 2022-05-06 14:30:00-03:00
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Rigidez de representaciones unitarias

Verónica de Martino (Centro de Matemática)

De la teoría ergódica, la filosofía de entender las acciones a partir de familias de operadores unitarios que están naturalmente asociados a la dinámica. De las caminatas al azar, la regularidad de la medida estacionaria está ligada al análisis espectral del llamado "operador de transferencia". De la teoría de números, donde las representaciones son un puente entre el análisis y la geometría. Las representaciones unitarias proliferan por la matemática.

En esta charla voy a mostrar una forma de construir y clasificar deformaciones de representaciones unitarias en el caso de un grupo particular, Aut(X), el grupo de automorfismos de un árbol regular. Este grupo tiene la virtud de ser muy grande (por ejemplo, tiene gran cantidad de subgrupos), pero también tiene asociada una estructura geométrica y combinatoria muy rica, lo que lo hace ameno para trabajar con él.

Dia 2022-04-29 14:30:00-03:00
Hora 2022-04-29 14:30:00-03:00
LugarIMERL

Dynamics and group : Bowen-Series type maps

Jerome Los (Aix-Marseille)

In this talk I'll discuss an old object revisited recently : how to define a particular dynamical system from a group action?

The groups here are the surface groups and the dynamics will be a very particular class of piecewise homeomorphisms on the circle.