Seminario de Sistemas Dinámicos

We give a characterization of homeomorphisms $f$ of a closed surface of genus $\geq 2$ with no wandering point that have finitely many periodic points. The main result is the fact that there exists an integer $q$ such that the periodic points of $f^q$ are fixed and $f^q$ is isotopic to the identity relative to its fixed point set. The emblematic way to construct such an example is to start with the time one map of a flow of minimal direction for a translation surface, to add finitely many stopping points and to lift this map to a finite covering. The main result in the proof is that every homeomorphism with no wandering point, isotopic to a Dehn twist map, has infinitely many periodic points. Such a result was known for a generic area preserving diffeomorphism in the isotopy class. To extend this result, obtained with Martin Sambarino, to the general case, one needs to introduce a ``forcing lemma'' , very similar to a forcing result obtained with Fabio Tal in the case of maps isotopic to the identity.

En esta charla les contaré sobre resultados recientes de un trabajo,  en colaboración con Daciberg L. Gonçalves (IME-USP), relativos a la siguiente pregunta:

De la teoría ergódica, la filosofía de entender las acciones a partir de familias de operadores unitarios que están naturalmente asociados a la dinámica. De las caminatas al azar, la regularidad de la medida estacionaria está ligada al análisis espectral del llamado "operador de transferencia". De la teoría de números, donde las representaciones son un puente entre el análisis y la geometría. Las representaciones unitarias proliferan por la matemática.

En esta charla voy a mostrar una forma de construir y clasificar deformaciones de representaciones unitarias en el caso de un grupo particular, Aut(X), el grupo de automorfismos de un árbol regular. Este grupo tiene la virtud de ser muy grande (por ejemplo, tiene gran cantidad de subgrupos), pero también tiene asociada una estructura geométrica y combinatoria muy rica, lo que lo hace ameno para trabajar con él.

In this talk I'll discuss an old object revisited recently : how to define a particular dynamical system from a group action?

The groups here are the surface groups and the dynamics will be a very particular class of piecewise homeomorphisms on the circle.