Momentos, núcleo de Christoffel-Darboux y recuperación de densidades

La recuperación de una medida de probabilidad a partir de sus momentos es un problema clásico que aparece de manera natural en optimización, probabilidad y estadística. Un caso particularmente interesante surge al combinar este problema con las jerarquías de momentos y de sumas de cuadrados, que permiten aproximar los momentos de diversas medidas de interés asociadas a sistemas dinámicos y procesos estocásticos, como medidas invariantes, medidas de ocupación y distribuciones de salida. Comenzaré la charla ilustrando esta metodología mediante un ejemplo concreto para una medida invariante.

Una vez obtenidos los momentos, surge el problema de cómo reconstruir la medida. Para ello introduciré el núcleo de Christoffel-Darboux, una herramienta clásica para obtener aproximaciones explícitas de densidades y del soporte a partir de matrices de momentos. Comentaré algunas de sus propiedades, así como ciertas limitaciones de la formulación clásica.

Finalmente presentaré una versión molificada del núcleo de Christoffel-Darboux, desarrollada junto con Didier Henrion (LAAS-CNRS, Francia; CTU Praga, Chequia) y Mauricio Velasco (Udelar, Uruguay), que permite superar parte de esas limitaciones. Mostraré cómo esta construcción extiende resultados clásicos, refinando la recuperación del soporte y obteniendo tasas explícitas de convergencia para la recuperación de densidades con soporte compacto en R^n y en la esfera.