Condition number and random point configurations on the sphere.

En esta tesis analizamos dos enfoques diferentes para el problema de resolver sistemas de ecuaciones polinómicas, así como algunas herramientas geométricas y probabilísticas necesarias para estos enfoques.

En la primera parte de este trabajo, estudiamos el condicionamiento promedio de un sistema polinómico aleatorio indeterminado. Comparamos los valores esperados de los momentos del número de condición con los correspondientes a matrices aleatorias. Esta relación se obtiene mediante el análisis del problema de encontrar el núcleo de matrices aleatorias. En particular, se calcula el segundo momento del número de condición de Frobenius.

En la segunda parte de esta tesis, centramos nuestra atención en los conjuntos de solución de polinomios aleatorios que surgen al considerar el problema de autovalores polinomiales para matrices aleatorias. Para estos conjuntos de soluciones, calculamos la energía logarítmica esperada. Generalizamos algunos resultados conocidos para los polinomios de Shub-Smale y el spherical ensemble. Estos dos procesos representan los casos extremos del problema de autovalores polinomiales, y demostramos que la energía logarítmica se encuentra entre estos dos extremos. En particular, las raíces de los polinomios de Shub-Smale son las que presentan la menor energía logarítmica dentro de esta familia.