Un intervalo prohibido óptimo para autovalores no triviales de grafos trivialmente perfectos

En esta charla presentaremos un resultado espectral sobre grafos trivialmente perfectos, una subclase de los cografos caracterizada por no contener $P_4$ ni $C_4$ inducidos. El objetivo central será estudiar qué restricciones impone esta estructura sobre los autovalores de la matriz de adyacencia. En la literatura se encuentran resultados sobre intervalos prohibidos para autovalores en distintas clases de grafos. Se sabe, por ejemplo, que los cografos no tienen autovalores en el intervalo $(-1,0)$, mientras que para los grafos threshold, otra subclase muy estudiada de los cografos, se conocen intervalos prohibidos que contienen estrictamente a este intervalo. En este contexto, mostraremos que, si $G$ es un grafo trivialmente perfecto, entonces ningún autovalor de adyacencia distinto de $-1$ y $0$ puede pertenecer al intervalo $[\sqrt{8}-4,0]$. Además, veremos que el intervalo obtenido es óptimo en ambos extremos. Para ello, se construyen familias explícitas de grafos trivialmente perfectos conexos con autovalores positivos que convergen a $0$, y otra familia, asociada a árboles binarios completos, con autovalores que se aproximan a $\sqrt{8}-4$ desde abajo. La técnica utilizada para probar este resultado combina la descomposición recursiva de los grafos trivialmente perfectos, particiones equitativas, complementos de Schur y argumentos tipo Sturm para matrices tridiagonales.