Endomorfismos, automorfismos y esquemas en monoides.

Si $M$ es un monoide algebraico (es decir una variedad algebraica $M$ con un producto asociativo con neutro $m:M\times M\to M$, que a su vez es morfirmo de variedades) entonces es sabido que el conjunto de sus elementos invertibles es un abierto, y por lo tanto un grupo algebraico. Si bien este resultado se puede generalizar a esquemas de tipo finito y sus límites, el problema general está abierto (aunque se conjetura que para monoides casi-compactos el resultado es cierto).

Por otro lado, es sabido que el grupo  de automorfismos (y el monoide de endomorfismos) de un esquema en general no admite una estructura de esquema. La búsqueda de "subgrupos algebraicos" de este grupo es un tema muy activo, aún en el caso del espacio afín (en Uruguay, I. Pan y quien suscribe nos interesamos en este tema en particular). Es interesante notar que en el caso de los endomorfismos del espacio afín de dimensión $\geq 3$, los automorfismos no conforman un abierto, sino un conjunto localmente cerrado.

En esta charla  introduciré los conceptos anteriores de un modo "más o menos" formal (enfocándome en las diferencias con el caso "más simple" de los monoides algebraico), y mostrando algunas ideas clave  en las pruebas de algunos de los resultados. Por supuesto, haré algún comentario del por qué la situación de los endomorfismos del espacio afín hace tambalear la conjetura pero no la tira...