Descomposiciones en sumas de cuadrados de polinomios con coeficientes racionales

Decidir si un polinomio puede descomponerse como una suma de cuadrados de polinomios, y en caso afirmativo, obtener dicha descomposición es un problema fundamental de la geometría algebraica real, con aplicaciones en optimización continua y combinatoria, y en otras áreas de la matemática. En ese contexto, una pregunta natural formulada por B. Sturmfels es si un polinomio sobre Q que admite una descomposición sobre R, admite siempre una descomposición sobre Q.

El primer resultado parcial fue obtenido por C. Hillar en 2009, quien demostró que si los coeficientes se encuentran en una extensión algebraica totalmente real, entonces siempre hay una descomposición sobre Q. La pregunta en el caso general fue respondida negativamente por C. Scheiderer en 2013, quien exhibió una familia de polinomios sobre Q que admiten descomposición sobre R pero no sobre Q.  En esta charla repasaremos la historia de este problema y veremos nuevas familias de ejemplos para casos especiales obtenidas recientemente.