Seminario de Álgebra del IMERL

Contexto: Álgebras de Artin.

Se ofrecerán los conceptos y resultados necesarios para preparar  una segunda charla, que será presentada por Marcos Barrios, donde se mostrarán resultados nuevos de un trabajo en elaboración en común con M. Barrios y G. Mata.

En esta oportunidad hablaré sobre un trabajo conjunto con Janina Letz, Amrei Oswald y Andrea Solotar.

La cohomología de Hochschild de un álgebra asociativa sobre un cuerpo k tiene estructura de k-álgebra conmutativa graduada con el producto cup. Se probó que dicha estructura es cero  en grados positivos para las álgebras string cuadráticas  triangulares [Bustamante 2006] y las string triangulares [Redondo-Roman 2014] entre otras. En este trabajo generalizamos dichos resultados probando que las álgebras monomiales triangulares tienen siempre producto cup cero en grados positivos. Para esto describimos el mapa diagonal asociado a la resolución de Bardzell dando una forma de calcular el producto cup para cualquier álgebra monomial.

Dada un álgebra A, un automorfismo alfa y una alfa-derivación delta en A, una "extensión de Ore" de A es una nueva álgebra T, que como espacio vectorial son los polinomios con coeficientes en A, pero con la conmutatividad del producto "torcida" por delta y alfa. Cuando delta es cero, se dice que T es un "skew polynomial ring" y cuando alfa es la identidad, se dice que T es un "differential polynomial ring" o una "extensión diferencial de A". Un caso particular de esta última construcción es el álgebra de Weyl. En general, las extensiones de Ore son una importante fuente de ejemplos en álgebra no conmutativa.

El objetivo de esta charla es introducirnos en el estudio de las derivaciones en extensiones diferenciales. Para lo anterior, presentaremos primero las extensiones diferenciales y luego estudiaremos sus derivaciones. Terminaremos concentrándonos en las extensiones del álgebra de polinomios, en cuyo caso abordaremos el cálculo de la cohomología de Hochschild en grado 1. Este es un trabajo en conjunto con Iván Pan.