2017

Abundancia e incoherencia de parcialmente hiperbólicos en fibrados en círculos

Junto a Bonatti, Gogolev, Hammerlindl y Parwani hemos recientemente construido varios nuevos ejemplos de dinámicas parcialmente hiperbólicas en 3-variedades que presentan un nuevo desafío en la clasificación de estas. En esta charla me gustaría contar algunas propiedades que descubrimos de algunos de estos nuevos ejemplos que nos sorprendieron y nos costó aceptar que se cumplían. En particular, algunos de los ejemplos no admiten una foliación central invariante. (Ver https://arxiv.org/abs/1706.04962 .)

Parcialmente hiperbólicos con foliación central compacta.

En esta charla hablaremos de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos con foliación central compacta, y de cuándo dicha foliación tiene volumen acotado. Voy a contar un resultado de A. Gogolev para cuando la foliación central es una foliación por círculos y f es de codimensión hasta cuatro.

Observando Mapas Expansivos

Se dice que m funciones f : X --> R^m observan el sistema dinámico T : X --> X sii para cada x<>y existe n>=0 tal que f(T^n x)<>f(T^n y). Se denota con Obs(T) al mínimo m tal que existe f : X --> R^m que observa a T. Bajo ciertas condiciones generales (que involucran hipótesis sobre el conjunto de puntos periódicos) se puede probar que, para T inyectiva, una f : X --> R (m=1) genérica observa a T (Teorema de Y. Gutman), y en consecuencia Obs(T)=1. En particular se obtiene que para un homeomorfismo expansivo T, se tiene Obs(T)=1. En un trabajo de 2016 en colaboración con Alfonso Artigue e Ignacio Monteverde consideramos la extensión del teorema de Gutman para el caso de dinámicas T localmente inyectivas y aplicamos el resultado para calcular Obs(T) cuando T es expansivo al futuro. Para ir pensando: Obs(z^2) = 2 en el círculo. Obs(z^2 x z^2) = ? en el toro. Finalmente mostramos que la expansividad (o expansividad al futuro) de un sistema dinámico T se puede expresar de forma equivalente mediante una noción de "observabilidad fuerte". Es en esta definición alternativa de expansividad en la que se origina este trabajo.

Elementos de distorsión en AEIT

En este seminario se analizará como son los elementos de distorsión en el grupo de transformaciones afines de intercambio de intervalos. No se requiere ningún conocimiento previo ya que empezaremos con las definiciones básicas.

Velocidad positiva para caminatas al azar

Probamos una "fórmula tipo Furstenberg" con la cual obtenemos que algunas caminatas al azar tienen velocidad positiva. Los resultados generalizan el clásico teorema de Furstenberg que muestra que ciertos productos de matrices al azar tienen un exponente de Lyapunov positivo.

Homeomorfismos del toro y factores topológicos

Dado un homeomorfismo sin puntos periódicos del $2$-toro, nos interesa determinar condiciones necesarias y suficientes que nos permitan garantizar que dicho homeomorfismo es una extensión topológica de una rotaciones irracional del círculo. Es bien sabido que la acotación uniforme de los desvíos rotacionales (con respecto a una dirección racional) es una condición necesaria, que sin embargo no es suficiente ya que la propiedad de ''anularidad´´ y la existencia de puntos errantes pueden representar una obstrucciones para ello. En esta charla presentaremos un resultado reciente en el que se dan condiciones topológicas/geométricas ''sharp´´ acerca del conjunto de puntos errantes bajo las cuales podemos garantizar la existencia de dichos factores.

Dinámicas parcialmente hiperbólicas, flujos de Anosov y 3-variedades hiperbólicas.

En un trabajo en curso con T. Bartheleme, S. Fenley y S. Frankel estudiamos difeomorfismos parcialmente hiperbólicos isotópicos a la identidad en 3-variedades. En particular, esto cubre todos los difeomorfismos de 3-variedades hiperbólicas a menos de tomar un iterado finito gracias al teorema de rigidez de Mostow. Obtenemos una dicotomía bastante precisa de los comportamientos posibles y utilizando algunas propiedades específicas de las 3-variedades hiperbólicas (como la existencia de flujos pseudo-Anosov transversos a ciertas foliaciones) conseguimos mostrar que si el difeomorfismo admite una foliación central invariante entonces es conjugado por hojas a un flujo de Anosov topológico dando una respuesta afirmativa a una conjetura de Hertz-Hertz-Ures en esta clase de variedades. Intentaré contar algo sobre este trabajo, particularmente los argumentos que mezclan la geometría de las 3-variedades hiperbólicas con las dinámicas parcialmente hiperbólicas.

Valores propios y entropía de una representación de Hitchin

La componente de Hitchin es una componente conexa preferida del espacio de representaciones del grupo fundamental de una superficie cerrada (género mayor o igual a 2) en el grupo SL(d,R). Esta componente conexa es una análogo, en rango superior, del espacio de Teichmüller de la superficie. Junto con Rafael Potrie consideramos la acción de una representación de Hitchin en el espacio simétrico X_d de SL(d,R) y probamos un resultado de rigidez para el exponente crítico h=\lim_{ \to\infty}(1/t) log\#\{g\in\pi_1 S: d_X(o,\rho(g) o)<t\}.

Productos de representaciones del grupo simétrico​ y sus versiones no conmutativas​

Diversos productos y coproductos (e.g. Hadamard, Cauchy, Kronecker, inducción, interno, externo, de Solomon, de Malvenuto--Reutenauer, convolución, etc.) se han definido en los siguiente objetos: especies, repesentaciones del grupo simétrico, funciones simétricas, endomorfismos de álgebras de Hopf, ​permutaciones, etc. La introducción del producto de Heisenberg por los autores permite unificar y simplificar todos esos productos. Este producto a ser no graduado, permite una mayor flexibilidad y en sus partes homogéneas contiene los productos especiales mencionados. Trataremos de poner énfasis en algunos aspectos combinatorios divertidos que aparecen ligados a la generalización de los productos mencionados.​

Approximation of ergodic invariant measures by horseshoes in the partially hyperbolic scenario

A classical result of (uniformly) hyperbolic theory, due to Sigmund, asserts that the Dirac measures along periodic orbits are dense in the space of invariant measures and one can obtain, as consequence, that for topologically mixing basic pieces, the Bernoulli measures are also dense, showing the richness of this space. Latter developments showed that some "local" source of hyperbolicity suffices to these approximation results, like for C1 generic diffeomorphisms and non-uniformly hyperbolic diffeomorphisms. Therefore, the question we address is the following: can we reproduce these ergodic approximations in the partially hyperbolic context? In this talk we will discuss how to use Blenders and minimality of both strong foliations to approach ergodic measures by uniformly hyperbolic horseshoes whose entropy and Lyapunov exponent resembles those of the given measure. This is a joint work with Lorenzo Diaz and Katrin Gelfert.

Elementos de distorsión en AEIT (transformaciones afines de intercambio de intervalos)

Resumen anterior: En este seminario se analizará como son los elementos de distorsión en el grupo de transformaciones afines de intercambio de intervalos. No se requiere ningún conocimiento previo ya que empezaremos con las definiciones básicas. Resumen 2da parte: Se darán las ideas importantes de la demostración del resultado principal, dejando de lado los detalles técnicos. Como la vez pasada, no se requiere ningún conocimiento previo para entender la charla.

El rango de la curvatura escalar en variedades.

Siguiendo el artículo de Kazdan y Warner [1], se discutirán condiciones necesarias y suficientes para que una función dada sea la curvatura escalar de alguna métrica Riemanniana. [1] Kazdan, Warner; AnnMath; 1975 - Existence of conformal deformation of metrics with prescribed Gaussian and scalar curvatures.pdf

Avances en la conjetura de Franks-Misiurewicz

En el toro T2 los conjuntos de rotación para mapas homotópicos a la identidad, son convexos compactos del plano, según establecieron Misiurewicz y Ziemmian en 1989 [1]. A partir de esto, se ha desarrollado la teoría de rotación en T2, donde preguntas fundamentales siguen abiertas. Un problema central es la conjetura de Franks-Misiurewicz (1990) [2], para la cuál se han alcanzado recientemente avances significativos, según el artículo [3]. Este trabajo además de finalizar el estudio de la conjetura para el caso minimal, deja planteado un camino a recorrer para el caso general. En esta charla se introducirá el contexto señalado, y se presentará un resultado reciente de los mismos autores de [3] que da cuenta de otro avance significativo para la respuesta general a la conjetura. [1] Rotation sets for maps of tori. M. Misiurewicz, K. Ziemian. J.L.M.S. [2] Rotation sets of toral flows. J. Franks, M. Misiurewicz. P.A.M.S. [3] The Franks-Misiurewicz conjecture for extensions of irrational rotations. A Koropecki, A. Passeggi, M. Sambarino. arxiv.

Rigidez y geometricidad de acciones de grupos de superficies sobre el círculo.

Consideramos representaciones desde un grupo de superficie cerrada a Homeo^+(S^1). Kathryn Mann ha probado que las representaciones geométricas (ie, que levantan una representación fiel y discreta en PSL(2,R)) son rígidas (ie, todas sus deformaciones son semi-conjugadas). Junto con ella, probamos la recíproca: todas las representaciones rígidas son geométricas.

Una introducción a las conjeturas de Weil ​- Problemas abiertos en teoría de números ​4​

Dado un sistema de ecuaciones polinomiales sobre un cuerpo finito k, nos interesa estimar cuántas soluciones tiene con coordenadas en k, o más generalmente en todas las extensiones finitas de k. Estas cantidades aritméticas se combinan en una función generatriz análoga a la función zeta de Riemann. En línea con lo expuesto en las charlas de Gonzalo Tornaría sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, se espera que ciertas propiedades analíticas de esta función reflejen información aritmética sobre el sistema de ecuaciones. Esta función zeta fue introducida, para curvas, por E. Artin en su tesis (1921), donde conjeturó algunas propiedades que debería tener; entre ellas una suerte de "hipótesis de Riemann" sobre la ubicación de sus ceros. Estas conjeturas fueron probadas por A. Weil (1949), quien las extiende a variedades de dimensión mayor. Fueron motor del desarrollo de la cohomología etale de Grothendieck (1960's), que permitió probar parte de las conjeturas. Finalmente la hipótesis de Riemann fue demostrada por Deligne (1974), lo que le valió la medalla Fields. En esta charla introduciremos la función zeta, la calcularemos en algunos ejemplos, enuncia remos las conjeturas de Weil y algunas de sus consecuencias, y explicaremos qué motivó a Weil a creer en ellas.

Flujos que conmutan en dimensión 3

Un teorema famoso de E.LIMA dice que para toda acción C^1 de R^k en una superficie cuya característica de Euler no es nula, existe un punto fijo global. Equivelntemente, k campos de vectores que conmutan en una superficie tienen un cero en común. En esta charla contaré una estrategia global que elaboramos junto con C.Bonatti (UB, Dijon) y B.Santiago (UFF, Niteroi) para resolver el caso de 2 campos de vectores de clase C^3 que conmutan en una variedad de dimensión 3, y enunciaré nuestros recientes avances.

Problemas abiertos en teoría de números 2 (La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer)

La idea de esta serie de charlas es hablar cada semana sobre un problema fundamental en Teoría de Números. Las charlas serán más o menos independientes y completamente autocontenidas, aunque intentaré que la secuencia en su conjunto tenga una narrativa en común. La segunda charla es sobre la Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, que es uno de los 7 problemas del milenio del Instituto Clay, también conocidos como "problemas del millón (de dólares)". Siendo uno de los problemas más importantes de la geometría aritmética, es una fórmula exacta que relaciona los invariantes geométricos, aritméticos, y analíticos de una curva elíptica sobre un cuerpo global. Explicaré los invariantes que aparecen en la fórmula, y daré algunos ejemplos. Esta conjetura es una de las que ha sido verificada numéricamente en mayor escala, de hecho su formulación inicial fue producto de cálculos realizados al comienzo de los años 60 en la computadora EDSAC-2 de la Universidad de Cambridge. https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture NOTA: esta charla es completamente independiente de la primera.

Homeomorfismos del plano: toda órbita periódica enlaza un punto fijo.

Un conocido resultado de Brouwer afirma que todo homeomorfismo del plano del plano que preserva orientación y tiene un punto periódico, tiene también un punto fijo. La idea de esta charla es comentar un resultado de P. Le Calvez, un poco más preciso: todo punto periódico induce la existencia de un punto fijo, alrededor del cual está girando.

Teoría de rotación del toro y el anillo

La monografía es sobre teoría de rotación del toro, la columna vertebral es el artículo de J.Kwapisz : "Every convex polygon with rational vertices is a rotation set" y "rotation sets for maps of tori" de Misiurewicz-Ziemian . Para el viernes pienso hacer una muy breve introducción con lo básico de teoría de rotación, ver el resultado de M-Z sobre la convexidad del conjunto de rotación y ver las construcciones de Kwapisz de homeos cuyo conjunto de rotación es un polígono racional.

Anosov topológicos en el plano

En la ultima charla probé que un Anosov topológico (shadowing topológico + expansividad topológica) en el plano que es el tiempo 1 de un flujo es conjugado a una homotecia. En esta charla contaré algunos resultados en la misma dirección que tenemos para homeomorfismos en general. A modo de ejemplo, un atractor expansivo en el plano no puede ser Anosov topológico. Todo esto es parte de una investigación en equipo con Gonzalo Cousillas y Jorge Groisman y que esta en pleno proceso creativo :)

Coherencia dinámica de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos isotópicos a Anosov en nilvariedades.

Un difeomorfismo $f:M \to M$ es parcialmente hiperb\'olico si existe una descomposici\'on del fibradotangente en tres subfibrados $Df$-invariantes: $TM=E^{s}\oplus E^{c}\oplus E^{u}$ tal que los vectores en$E^{s}$ y $E^{u}$ contraen vectores uniformemente a futuro y a pasado respectivamente y elcomportamiento de los vectores en el fibrado central es intermedio. El cl\'asico teorema de la variedad estable nos dice que en cada punto de la variedad $M$ existenfoliaciones $\mathcal{W}^{s}$ y $\mathcal{W}^{u}$ invariantes por $f$ y tangentes a los fibrados $E^{s}$ y $E^{u}$ respectivamente. Cuando tambi\'en existen estas foliaciones para los fibrados centro-estables ycentro-inestables decimos que el difeomorfismo $f$ es \textit{din\'amicamente coherente}. El objetivo de esta tesis es probar la coherencia din\'amica de difeomorfismos parcialmente hiperb\'olicosen ciertas clases de isotop\'ias de difeomorfismos de Anosov lineales extendiendo un resultado de T. Fisher, R. Potrie y M. Sambarino al caso de nilvariedades. (ESTA CHARLA SERÁ TAMBIÉN LA DEFENSA DE LA TESIS DE MAESTRÍA)