2017

Distance to the discriminant for real polynomials.

02/06/2017 de 11:00 a 12:00 Salón de seminarios - IMERL,
The question of the possible topologies of real algebraic hypersurfaces in the projective space of dimension n is still open (16th Hilbert's problem). For instance, the maximum number of connected components (b_0) of a surface of degree 5 is still unknown (we know that it is 23, 24 or 25). The complete classification of curves of degree 8 is also not finished. There are now very few results (none since 2001 ?) and new directions are necessary. In this talk, we adopt an Euclidian point of view using the Kostlan/Bombieri norm that we will introduce. We give a simple expression for the distance d(P,Δ) between a polynomial P and the real discriminant Δ (the set of real polynomials with a real singularity). Moreover, for hypersurfaces with a "locally extremal" topology, d(P,Δ) is equal to the least non zero critical value of |P| on the unit sphere of Rⁿ. We will define this notion of "locally extramal", but it includes hypersurfaces with maximum sum of Betti numbers for a given degree and also the empty ones. In this particular case, polynomials that maximise the distance to the discriminant, with a fixed degree and norm, can be written as sums of d-forms (i.e. L(x) = (x.u)ᵈ) where d is the degree of the polynomial. Moreover, the directions of the linear forms (the u above) are the points where the least critical value of |P| is reached. We identify exactly this special polynomials in two cases: - homogeneous polynomial in 2 variables with the maximum number of real roots. - positive polynomials in any number of variables or degree. In each cases, we get an interesting corollary... If enough time, we could discuss the number of terms in the sums of d-forms mentioned above and show some sharp lower-bounds for some curves of degree 6 (Those that interested Hilbert when he stated his 16th problem). Among the numerous open questions introduced in the work, we could hope (or dream?), to find a way to have both sharp lower and upper bounds for this number of terms and deduce that an unresolved topological type is in fact impossible because the bounds are incompatible. However, the problem of upper bounds seems very hard…

Esquemas en grupos y sus acciones.

08/06/2017 de 13:15 a 14:15 PISO 15 CMAT,
Este jueves recordaremos la definición de esquema en grupos y veremos los primeros resultados en relación a la acción de un esquema de esquema en grupos G sobre un esquema X.

El problema de Yamabe en productos.

26/06/2017 de 10:00 a 11:00 Piso 14 CMAT,
La constante de Yamabe de una clase conforme de métricas Riemannianas es el ínfimo de la funcional de Hilbert-Einstein restringida a ella. En toda clase conforme existe una métrica de curvatura escalar constante que realiza el ínfimo. Cuando la constante de Yamabe es positiva hay en general varias metricas de curvatura escalar constante en la clase conforme. El caso de productos es importante en el estudio del invariante de Yamabe (que es el supremo de las constantes, sobre la familia de clases conformes), y su comportamiento bajo cirugías. En la charla discutiremos resultados de multiplicidad en productos.

¿Qué hacen los funtores monoidales con la cohomología?

03/11/2017 de 11:15 a 12:15 salón de seminarios del IMERL,
Hay algo que tienen en común varias nociones de cohomología en distintas categorías, como la cohomología de grupos, de álgebras (Hochschild), de coálgebras (Cartier), de álgebras de Hopf, de especies comonoides, etc. Todas ellas se pueden ver como casos particulares de una definición general de cohomología de un (co)monoide en una categoría monoidal. Además, entre varias de estas categorías hay funtores que a su manera relacionan las estructuras monoidales. Surge entonces la pregunta de si estos funtores sirven para relacionar las nociones de cohomología en la categoría de salida y en la de llegada. Vamos a repasar de manera autocontenida las definiciones de categoría monoidal y funtor monoidal (co)laxo, ver en detalle algunos ejemplos sencillos y comentar brevemente el ejemplo que motivó esta pregunta: los funtores de Fock de la categoría de especies a la de espacios vectoriales graduados. El objetivo es contar un intento de empezar a responder la pregunta del título, viendo en el caso general cómo estos funtores llevan (co)monoides en (co)monoides y bi(co)módulos en bi(co)módulos, para finalmente construir un morfismo entre los correspondientes complejos (co)bar. Si da el tiempo voy a contar qué da este morfismo en el caso de uno de los funtores de Fock, por qué no me gusta lo que da en este caso, y qué posibles variantes del funtor se podrían usar para obtener algún morfismo entre complejos un poco más rico.

Estructuras de categorías de modelos y módulos Gorenstein-planos relativos.

15/09/2017 de 11:15 a 12:15 IMERL,
Resumen: El objetivo de esta charla es obtener la estructura de modelos Gorenstein-plana sobre la categoría Mod(R) de R-módulos a izquierda, donde R es un anillo GF-cerrado. Nuestra prueba no dependerá de que el anillo R sea coherente, por lo que será diferente y más general a la construcción de la misma estructura de modelos hecha por James Gillespie hace tres años. Veremos también cómo extender nuestras técnicas para obtener nuevos modelos de categorías estables a partir de módulos Gorenstein-planos relativos a otros contextos, como los llamados módulos Gorenstein AC-planos. Si el tiempo lo permite, hallaremos también estructuras de modelos asociadas a módulos y complejos de cadena Gorenstein-planos relativos, y construiremos recollements para relacionar las categorías de homotopía correspondientes. La charla tratará de ser lo más auto-contenida posible. Basta tener conocimientos básicos de teoría de módulos y complejos de cadenas sobre un anillo. Cualquier noción de categorías de modelos y teoría de homotopía será recordada cuando sea necesario. Esta charla se basa en un trabajo reciente en colaboración con Sergio Estrada (Universidad de Murcia) y Alina Iacob (Georgia Southern University).

Conmutatividad y categorías duoidales.

06/10/2017 de 11:15 a 12:15 IMERL,
En matemática existen diversas estructuras que admiten el concepto de conmutatividad. Algunas de ellas son los monoides, las teorías (lógicas) ecuacionales y las operads. En esta charla presentare las categorías duoidales (categorías con dos estructuras monoidales compatibles) como el ambiente natural donde se puede definir conmutatividad, generalizando los ejemplos mencionados. [(with Richard Garner). “Commutativity”. In: J. Pure Appl. Algebra 220.5, pp. 1707–1751. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.09.003].

DEFENSA DE MONOGRAFÍA: Especies y su conexión con Álgebras de Hopf graduadas.

10/11/2017 de 11:15 a 12:15 IMERL,
Este viernes es atípico en las actividades del seminario de álgebra, tendremos el placer de participar de la defensa de monografía de José Malanga. Titulada: Especies y su conexión con Álgebras de Hopf graduadas. Resumen: El objetivo del trabajo monográfico es mostrar como varias álgebras de Hopf (graduadas) se pueden obtener aplicando ciertos functores a monoides de Hopf en especies. En esta charla introduciremos las especies vectoriales sobre conjuntos finitos, mostrando algunas propiedades básicas de estos conceptos. Daremos una introducción sobre functores monoidales bilaxos y sus propiedades básicas. Por último definiremos functores monoidales bilaxos (functores de Fock), de la categoría Sp en gVect y los aplicamos a distintos ejemplos de especies, para obtener así varios de los ejemplos de biálgebras graduadas. Finalmente, presentaremos algunas propiedades de estos functores, en lo que respecta a su comportamiento con la dualización y preservación de propiedades como conmutatividad y coconmutatividad.

Módulos p-periódicos y dimensiones homológicas

20/10/2017 de 11:15 a 12:15 IMERL,
Consideraremos una álgebra de artin A y su categoría de A-módulos finitamente generados, mod-A. En la primer parte de nuestro trabajo estudiaremos los A-módulos X, tales que X sea sumando directo de \Omega^j(X) (o de \Omega^{-j}(X)) para algún j natural, a los cuales nombraremos módulos p-periódicos (i-periódicos). También estudiaremos aquellos módulos X tales que X sea sumando directo de \Omega^j(Y) (o de \Omega{-j}(Y)) para algún j natural, donde Y es un -módulo p-periódico (i-periódico), a los que llamaremos virtualmente p-periódicos (virtualmente i-periódicos). En la segunda parte de nuestro trabajo caracterizaremos los A-módulos p-periódicos, virtualmente p-periódicos, i-periódicos y virtualmente i-periódicos para las álgebras A= kQ/F^2 donde Q es un quiver finito y F es el ideal generado por las fechas.

Álgebras inclinadas de conglomerado casi Frobenius

27/10/2017 de 11:15 a 12:15
La idea de esta charla es continuar el camino del estudio de las estructuras de casi-Frobenius para las álgebras de caminos que comenzaron A. González, D. Artenstein y M. Lanzilotta . En este caso lo que vamos a ver es como bajo ciertas condiciones las álgebras inclinadas de conglomerado de tipo finito admiten un coproducto ( o varios ) que le dan a dichas álgebras estructura de casi-Frobenius.

Álgebras de Hopf semisimples

01/09/2017 de 11:15 a 12:15 IMERL,
Un álgebra de Hopf semisimple es un álgebra de Hopf que es semisimple como álgebra (o, si quieren pensarlo alrevés, un álgebra semisimple que admite un coproducto que le da estructura de álgebra de Hopf). Un ejemplo típico es el álgebra de grupo de un grupo finito (en característica cero). El tema de la clasificación de las álgebras de Hopf semisimples es muy vasto y ha sido muy trabajado, pero aun queda mucho por hacer (que yo sepa, todavía no se han clasificado todas las de dimensión menor que 100). La idea de esta charla es dar una introducción al tema, contando algunas propiedades y particularidades de estas álgebras e introduciendo las técnicas que se usan para su clasificación. Eso nos lleva a ver el "teorema de Lagrange" en Hopf, las extensiones de álgebras de Hopf, las álgebras de Frobenius, el anillo de Grothendieck asociado, etc. Trataré de mostrar cómo aparece todo lo anterior, pero sin profundizar mucho en nada. Como prerrequisito, diría que con saber la definición de álgebra de Hopf y tener en mente algún ejemplo ya alcanza.

Bases Amenables

08/09/2017 de 11:15 a 12:15 IMERL,
Sea A una k-álgebra de dimensión infinita, donde k es un cuerpo y B una base de A. En general no es posible definir en el producto directo indizado por B una estructura de A-módulo compatible con la de A como módulo sobre sí misma. Es conocido del artículo Modules over infinite-dimensional algebras (L. M. Al-Essa, S. R. López-Permouth, N. M. Muthana) que si la base B es amenable, entonces dicha estructura queda bien definida. También se sabe que, dada una k-álgebra de dimensión infinita con una base numerable, es posible construir una nueva base que sea amenable. El objetivo de la charla está relacionado precisamente con la existencia de este tipo de bases en un álgebra cualquiera, dando respuesta a la interrogante planteada en el artículo sobre la posibilidad de encontrar una k-álgebra tal que todas sus bases sean amenables.

Quantum invariants of 3-manifolds and TQFTs I : construction

22/09/2017 de 11:15 a 12:15 IMERL,
I will explain how certain types of categories give rise to invariants of 3-manifolds, both closed (scalar invariants) and with boundaries (TQFTs). More precisely, spherical categories give rise to the Turaev-Viro invariants, which are achiral, and modular categories, to the Reshetikhin-Turaev invariants, which are chiral. I will also explain how the modularity condition can be relaxed, based on Mickael Lallouche's thesis.

Quantum invariants of 3-manifolds and TQFTs II : Comparison of TQFTs

29/09/2017 de 11:15 a 12:15 IMERL,
I will state Turaev's conjecture, which compares the Reshetihin-Turaev and the Turaev-Viro invariants via the Joyal-Street center construction, and explain how this conjecture was proved by Turaev and Virelizier using in particular the notion of Hopf monads which provides an algebraic description of the center construction.

Álgebras Igusa-Todorov y Diagramas Pullback

13/10/2017 de 11:15 a 12:15 IMERL,
Daremos la definición y algunas propiedades de las álgebras Igusa-Todorov. Veremos un ejemplo de un álgebra de artin que no es Igusa-Todorov. Para una categoría abeliana A, definimos la categoría PEx(A) de diagramas pullback de sucesiones exactas cortas en A, como una subcategoría de la categoría de funtores Fun(\Delta, A) para una categoría de diagramas fija \Delta. Para un objeto M en PEx(A), demostramos la existencia de una sucesión exacta corta 0 {\to} K {\to} P {\to} M {\to} 0$ de funtores, donde los objetos están en PEx(A) y P(i) está en Proj(A) para todo i en \Delta. Demostramos que PEx(A) es cerrada por sumas y sumandos directos y exhibimos la forma de los objetos proyectivos en PEx(A). Veremos un ejemplo que muestra que PEx(A) no es una categoría exacta. Como aplicación, en el contexto de álgebras de Artin, demostramos que si (C, D, E) es una tripleta de clases de objetos sizigia finita en mod(\Lambda) que satisfacen condiciones especiales, entonces \Lambda es un álgebra Igusa-Todorov. Veremos un par de ejemplos de aplicación de este teorema.

Biwreaths: un sistema autocontenido del que resultan varias construcciones algebraicas conocidas

09/06/2017 de 11:15 a 12:15 IMERL,
Los wreaths fueron introducidos por Lack y Street en [LS]. En [BC] se demostró que muchas más estructuras conocidas en álgebra son ejemplos de los wreaths, entre ellos el producto cruzado de Sweedler, versión de este para coquasi-biálgebras y el wreath mixto para quasi-biálgebras. Wreath se define como mónada en la 2-categoría EM(K) que es la completación libre bajo los objetos de Eilenberg-Moore para mónadas en una 2-categoría K. Dicho menos preciso pero más corto: un wreath es una mónada en la 2-categoría de mónadas. Desempacando la definición se obtiene que un wreath consiste de dos 1-celdas (endomorfismos sobre una 0-celda) y tres 2-celdas en K de modo que se cumplan 7 axiomas. En dichos ejemplos los wreaths consisten de dos objetos y tres morfismos en una categoría monoidal C, donde uno demuestra que los tres morfismos nombrados satisfacen los 7 axiomas. Mi pregunta, que motivó esta investigación, fue por un lado: cómo uno sabe que en los ejemplos estudiados precisamente esos 3 morfismos funcionarán? Será posible obtener esos morfismos como parte intrínseca de la definición de un objeto de tipo wreath? Y por el otro lado: wreaths se definen a través de mónadas en una 2-categoría K, dualmente podemos considerar los cowreaths (definidos a través de comónadas en K), entonces qué obtendríamos si definieramos "biwreaths" (a través de bimónadas en K)? En este trabajo mostramos qué es un biwreath (consiste de 2: 1-celdas, 8: 2-celdas y 43 axiomas) y como de los propios axiomas de biwreath resultan algunas expresiones para ciertas 2-celdas de aquellas 8. Mostramos que algunas construcciones algebraicas conocidas (el biproducto de Radford y las meniconadas arriba) resultan como casos particulares de nuestra definición de biwreath. De este modo obtenemos un sistema autocontenido y los ejemplos estudiados quedan clarificados a un nivel más profundo. [BC] D. Bulacu, S. Caenepeel, "Monoidal structures obtained from wreaths and cowreaths", Algebras Represent. Theory 17 (2014), 1035--1082. [LS] S. Lack, R. Street, "The formal theory of monads II", J. Pure Appl. Algebra 175/(1-3) (2002), 243-–265.

Productos de representaciones del grupo simétrico​ y sus versiones no conmutativas​

21/08/2017 de 13:30 a 14:30 PIso 14 CMAT,
Diversos productos y coproductos (e.g. Hadamard, Cauchy, Kronecker, inducción, interno, externo, de Solomon, de Malvenuto--Reutenauer, convolución, etc.) se han definido en los siguiente objetos: especies, repesentaciones del grupo simétrico, funciones simétricas, endomorfismos de álgebras de Hopf, ​permutaciones, etc. La introducción del producto de Heisenberg por los autores permite unificar y simplificar todos esos productos. Este producto a ser no graduado, permite una mayor flexibilidad y en sus partes homogéneas contiene los productos especiales mencionados. Trataremos de poner énfasis en algunos aspectos combinatorios divertidos que aparecen ligados a la generalización de los productos mencionados.​

Problemas abiertos en teoría de números 2 (La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer)

05/06/2017 de 13:30 a 14:30 Piso 14 CMAT,
La idea de esta serie de charlas es hablar cada semana sobre un problema fundamental en Teoría de Números. Las charlas serán más o menos independientes y completamente autocontenidas, aunque intentaré que la secuencia en su conjunto tenga una narrativa en común. La segunda charla es sobre la Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, que es uno de los 7 problemas del milenio del Instituto Clay, también conocidos como "problemas del millón (de dólares)". Siendo uno de los problemas más importantes de la geometría aritmética, es una fórmula exacta que relaciona los invariantes geométricos, aritméticos, y analíticos de una curva elíptica sobre un cuerpo global. Explicaré los invariantes que aparecen en la fórmula, y daré algunos ejemplos. Esta conjetura es una de las que ha sido verificada numéricamente en mayor escala, de hecho su formulación inicial fue producto de cálculos realizados al comienzo de los años 60 en la computadora EDSAC-2 de la Universidad de Cambridge. https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture NOTA: esta charla es completamente independiente de la primera.

Una introducción a las conjeturas de Weil ​- Problemas abiertos en teoría de números ​4​

26/06/2017 de 13:30 a 14:30 Piso 14 CMAT,
Dado un sistema de ecuaciones polinomiales sobre un cuerpo finito k, nos interesa estimar cuántas soluciones tiene con coordenadas en k, o más generalmente en todas las extensiones finitas de k. Estas cantidades aritméticas se combinan en una función generatriz análoga a la función zeta de Riemann. En línea con lo expuesto en las charlas de Gonzalo Tornaría sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, se espera que ciertas propiedades analíticas de esta función reflejen información aritmética sobre el sistema de ecuaciones. Esta función zeta fue introducida, para curvas, por E. Artin en su tesis (1921), donde conjeturó algunas propiedades que debería tener; entre ellas una suerte de "hipótesis de Riemann" sobre la ubicación de sus ceros. Estas conjeturas fueron probadas por A. Weil (1949), quien las extiende a variedades de dimensión mayor. Fueron motor del desarrollo de la cohomología etale de Grothendieck (1960's), que permitió probar parte de las conjeturas. Finalmente la hipótesis de Riemann fue demostrada por Deligne (1974), lo que le valió la medalla Fields. En esta charla introduciremos la función zeta, la calcularemos en algunos ejemplos, enuncia remos las conjeturas de Weil y algunas de sus consecuencias, y explicaremos qué motivó a Weil a creer en ellas.

Sobre la estimación de la interpolación “en ley” de un proceso ARMA estacionario

24/11/2017 de 10:30 a 11:00 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
Cuando se programó la sesión de la fecha se pensó en incorporar problemas abiertos. Desde entonces, mi intención ha sido describir problemas que no sé resolver vinculados a la estimación de los parámetros de la interpolación “en ley” de un proceso ARMA estacionario causal. En primer lugar describiremos el proceso de inmersión de un ARMA con parámetro en Z en un proceso estacionario de parámetro continuo cuyos valores en Z coinciden en ley con los del ARMA, e identificaremos los parámetros a ser estimados. Dado que es razonable utilizar la función característica empírica de las observaciones, describiremos un procedimiento sencillo basado en la transformada rápida de Fourier para pasar de la función característica a la densidad y viceversa. Finalmente analizaremos un ejemplo de estimación para el que las dificultades superan ampliamente a los logros.

Test Adaptativos Informatizados.

03/11/2017 de 10:30 a 11:30 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
En muchas situaciones en educación y psicología es necesario estimar un rasgo latente de un sujeto lo cual en general suele realizarse mediante test fijos. Una alternativa a estos son los test adaptativos informatizados (TAI). Un test adaptativo es una prueba donde los ítems se responden en una computadora y la característica principal es que la prueba se adapta el nivel de rasgo que va obteniendo el sujeto en cada respuesta. Partiendo de un banco de ítems calibrado según un modelo de rasgo latente paramétrico o no paramétrico se presentarán los algoritmos necesarios para desarrollar un TAI. Especificamente; presentaremos los procedimientos de arranque, procedimientos para la estimación de la habilidad en cada etapa (máxima verosimilitud y bayesianos), los procedimientos para la selección de ítems (máxima información y basados en otras medidas) y métodos para el control de restricciones.

Imperfectly enforced emissions standards, under-reporting and general deterrence: empirical evidence.

18/08/2017 de 09:00 a 10:00 PIso 14 CMAT,
This provides empirical estimates of the effect that enforcement actions by municipal and national authorities have on the level of both reported and actual emissions of industrial plants. In a regulatory framework where non-complying is ubiquitous and most violations aren´t followed by a sanction, we provide evidence consistent with under-reporting and general deterrence of BOD discharges by industrial plants. Previous empirical analyses in environmental enforcement, mostly in developed countries and without information on both reported and actual levels of emissions, either did not deal with the issue of under-reporting or were not able to find such evidence.

Mínimo largo de descripción (MDL): una herramienta para la selección y comparación de modelos.

08/09/2017 de 10:30 a 11:30 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
Se quiere construir un modelo paramétrico que explique cierto conjunto de datos. Un problema a considerar es determinar la cantidad de parámetros a utilizar de modo de obtener un ajuste adecuado. Para ello consideraremos que el mejor ajuste se logra con la elección de parámetros que permita la mayor compresión del conjunto de datos (incluyendo el costo de almacenar también los parámetros del propio modelo). Se presentará MDL como una herramienta para lograr dicho objetivo, comentaremos cómo se realizan los cálculos correspondientes y si el tiempo lo permite veremos una aplicación.

Parada óptima de difusiones multidimensionales

29/09/2017 de 10:30 a 11:30 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
En esta charla hablaremos del problema de parada óptima de procesos multidimensionales. Luego de una breve introducción sobre el problema de parada óptima en general, nos enfocamos en el caso en que el proceso subyacente es un movimiento Browniano multidimensional, y la función de pago es cuadrática. Cuando la función de pago es simétrica, obtenemos la parada óptima de un proceso de Bessel, que es una situación conocida. En el caso general, desarrollamos la representación de la solución (que es una función excesiva) mediante una integral del núcleo de Green del proceso. De esta forma, la incógnita del problema que es la región óptima para para el proceso (que es una circunferencia en el caso simétrico) verifica una sistema de ecuaciones integrales. Este sistema se transforma tomando límite adecuadamente en otro en el que aparecen las funciones armónicas del proceso, que son de mas sencillo tratamiento que el núcleo de Green. Estas últimas ecuaciones admiten un tratamiento numérico, que resolvemos en dimensiones dos y tres. Se trata de un trabajo conjunto con Sören Christensen, Fabián Crocce y Paavo Salminen.

Profundidad estadística en variedades.

10/11/2017 de 10:30 a 11:30 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
El concepto de profundidad es una significativa herramienta en la estadística moderna con diversas aplicaciones en diferentes contextos, por ejemplo en métodos de clasificación, pruebas de hipótesis y detección de outliers. Esta noción estadística permite ordenar un conjunto de datos multivariados respecto a un centro lo que proporciona una idea de mediana en un contexto multivariado. Tukey en 1975 introduce una primera noción de profundidad para datos bivariados. En trabajos posteriores se definen otras medidas de profundidad en R^d y en espacios vectoriales de dimensión infinita (datos funcionales). La idea de la presentación es enunciar algunas ideas de profundidad en el contexto multivariado y dar una posible extensión cuando los datos se encuentran sobre un variedad Riemanniana, por tanto no tenemos estructura de espacio vectorial. Probaremos la convergencia del estimador propuesto y su distribución asintótica.

Procesos de Ornstein--Uhlenbeck fraccionarios iterados.

17/11/2017 de 10:30 a 11:30 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
En esta charla, mostraremos que componiendo operadores del tipo Ornstein Uhlenbeck (definidos en un trabajo recientemente publicado por Arratia, Cabaña y Cabaña) aplicados a un movimiento browniano fraccional, queda una combinación lineal de procesos de Ornstein--Uhlenbeck fraccionarios. Le llamaremos a estos procesos FOU(p) (FOU de orden p, siendo p el número de iteraciones realizadas). A través de la obtención de una fórmula para la densidad espectral de un FOU(p), mostraremos que siendo cada sumando un proceso de memoria larga, la combinación lineal termina siendo un proceso de memoria corta. También se verá que el exponente de Hurst del browniano fraccional, termina siendo el exponente Hölder de las trayectorias del proceso FOU(p), y por lo tanto puede ser interpretado como un parámetro que mide en algún sentido la regularidad de las trayectorias. Se mostrará que los procesos FOU(p) pueden ser utilizados para modelar tanto procesos de memoria corta como de memoria larga. Se aplicarán estos modelos a tres series de datos reales, a las cuales se les ajustarán modelos FOU(p) para distintos valores de p, y se comparará su performance a nivel predictivo con respecto a los modelos ARMA(p,q), mediante el cálculo de diversas medidas de calidad de predicciones como el índice de Willmott. Finalmente, se planteará también un procedimiento para estimar sus parámetros, que resulta ser consistente y convenientemente normalizado tiene una distribución límite gaussiana, cuya aplicación práctica aún no está estudiada.

Estimación por máxima verosimilitud aproximada en un modelo de oscilador armónico no lineal perturbado con un ruido blanco.

20/10/2017 de 10:30 a 11:30 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
La ecuación diferencial de segundo orden asociada a un oscilador armónico, sujeto a roce y a la acción de un potencial polinomial, que se perturba por un ruido blanco gaussiano da origen a un proceso de Markov en el espacio de fases (posición y velocidad). Estos modelos son conocidos como difusiones hipoelípticas: el ruido sólo actúa sobre la velocidad. Bajo ciertas condiciones, sobre la función de roce y el potencial, el proceso posee una medida invariante y es $\beta$-mixing, con coeficiente de mixing exponencial. Si tanto la función de roce como el potencial dependen cada una de un parámetro, aproximamos el sistema en una grilla finita de tamaño $h$ por un sistema a tiempo discreto que posee ruido en ambas componentes (este procedimiento fue diseñado por Ozaki). Esta técnica nos lleva a construir una verosimilitud aproximada. Si estimamos los parámetros, que coinciden en ambos modelos, maximizándo esta función obtenemos ciertos estimadores. Luego se demuestra la consistencia de los estimadores cuando $nh_n$ tiende a infinito. Las hipótesis bajo las cuales se da esta consistencia, aunque restrictivas, son satisfechas por modelos muy usados en la práctica.

Infiriendo sobre migraciones y ancestrías a través de largos de haplotipos.

01/09/2017 de 10:30 a 11:30 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
Al final sí voy a hablar de cosas sobre las que estoy trabajando, pero va a ser algo nuevo. Supongamos que consideramos ciertas poblaciones (por ejemplo charrúas, africanos y europeos), y que podemos saber qué parte del cromosoma corresponde a qué población (asumiendo que esas poblaciones coexistieron y se cruzaron, generando descendencia mestiza). Eso nos puede llevar a preguntas acerca de las migraciones que se dieron en las últimas generaciones que generaron la coexistencia (tasas de migración, o cambios en la misma), como a preguntas acerca de ancestría (pudo una persona dada haber tenido un ancestro charrúa "puro"?). Veremos algunos modelos que son la base del trabajo de este proyecto.

Aprendizaje semi-supervisado

15/09/2017 de 10:30 a 11:30 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
El problema clásico de clasificación tiene como objetivo asignar una etiqueta a un nuevo dato a partir de una muestra D_n de entrenamiento. Típicamente se asume D_n iid, y se prueban resultados de consistencia cuando n → ∞. En el contexto de aprendizaje semi-supervisado, la muestra de entrenamiento es pequeña, y se tiene una enorme cantidad, l>>n, de datos para clasificar, X_1 , . . . , X_l . El objetivo es usar (si es posible) la enorme cantidad de datos no clasificados, para construir un clasificador que sea mejor (se equivoque menos) que el que se puede construir con la muestra inicial D_n ya etiquetada. Intuitivamente, esto será posible si conocer la distribución de las X aporta información a la clasificación. En la charla propondremos un algoritmo que permite clasificar secuencialmente la muestra X_1,...X_l , y que asintoticamente (cuando l → ∞ y n es fijo), se comporta como la mejor regla (teórica) posible. Si bien esto requiere imponer hipotesis fuertes sobre la distribución de las X, veremos que las mismas son necesarias, por la dificultad intrínseca del problema.

Modelación estocástica en tasas de interés: Parte II

22/09/2017 de 10:30 a 11:30 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
La idea de la charla es continuar la realizada en el primer semestre donde cuento algunos de los resultados obtenidos en el desarrollo de mi doctorado. En esta charla haremos un repaso del problema e introduciremos la modelación central que se utilizó. Contaré el método de estimación utilizado y los resultados obtenidos.

Cluster Locator, una herramienta en línea para el análisis y la visualización del agrupamiento de genes en cinco organismos modelo.

06/10/2017 de 10:30 a 11:30 Salón de Seminarios. Centro de Matemática,
En organismos eucariotas, los grupos de genes que comparten función no están distribuidos de manera aleatoria en el genoma. En nuestro laboratorio investigamos la posibilidad de entrenar algoritmos de aprendizaje automático para predecir nuevas funciones de genes a partir de sus ubicaciones relativas en el genoma. En esa línea, hemos comenzado a desarrollar herramientas de análisis que permitan estudiar sistemáticamente los patrones de distribución de listas de genes. Hemos implementado “Cluster Locator”, una herramienta en línea (disponible en http://clusterlocator.bnd.edu.uy/) que permite caracterizar la manera en que los genes de una lista proporcionada por el usuario están distribuidos a lo largo del genoma al que pertenecen, calculando además la significancia estadística de esa distribución. Con esa herramienta ya hemos caracterizado la distribución de cientos de grupos funcionales en cinco organismos modelo; Homo sapiens, Mus musculus, Drosophila melanogaster, Caenorhabditis elegans y Saccharomyces cerevisiae. __________________ Flavio Pazos Obregón*1,2, Pablo Soto1, José Luis Lavín3, Ana Rosa Cortázar3, Rosa Barrio4, Ana María Aransay3,5, Rafael Cantera1,6 1: Departamento de Biología del Neurodesarrollo, IIBCE, Motevideo, Uruguay. 2: Instituto de Matemática y Estadística “Rafael Laguarda”, Facultad de Ingeniería, UDELAR, Uruguay. 3: Plataforma de Análisis del Genoma, CIC bioGUNE, Derio, España. 4: Unidad de Genómica Funcional, CIC bioGUNE, Derio, España. 5: CIBERehd, ISCIII, Madrid, España. 6: Departamento de Zoología, Universidad de Estocolmo, Suecia. * fpazos@iibce.edu.uy