Seminario de Probabilidad y Estadística

 We study the assignment of indivisible goods to individuals when monetary transfers are not allowed. Previous literature has mainly focused on efficiency (from both ex-ante and ex-post perspectives) and individually fair assignments. As a result, egalitarian concerns have been overlooked. We draw inspiration from the assignment of apartments in housing cooperatives, where families consider egalitarianism of assignments as a first-order requirement. Specifically, they aim to avoid situations where some families receive their most preferred apartments while others are assigned options ranked very low in their preferences. Building on Rawls' concept of fairness, we introduce the notion of Rawlsian assignment. We prove that a unique Rawlsian assignment always exists. Furthermore, the Rawlsian rule is efficient and anonymous. To illustrate our analysis, we use preference data from housing cooperatives. We show that the Rawlsian rule substantially improves, from an egalitarian perspective, both the probabilistic serial rule, and the rule currently used to assign apartments in the housing cooperatives.

en coautoría con Tom Demeulemeester.

 En esta charla veremos cómo el tipo de contrato opción americana deriva en un problema del obstáculo. Presentaremos diversos resultados de regularidad relacionado con el mencionado problema.

Aplicando la técnica del Mínimo Largo de Descripción (MDL), procuramos comparar distintos modelos matemáticos para el ritmo musical. Tomamos como punto de partida los modelos propuestos por David Temperley, los cuales formulamos matemáticamente y sobre los cuales proponemos una variante adicional.
Implementamos dichos modelos sobre distintas bases de datos (simbólicas, no audio) de melodías populares: algunas comunmente usuales en el área, y una recientemente publicada de melodías de tangos cantados.
En esta charla se procurará dar un panorama de la técnica empleada para ello, así como de los resultados obtenidos en la comparación de modelos. Estos ilustran la utilidad del MDL para gestionar el equilibrio entre la complejidad de los modelos y el buen ajuste de éstos a los datos.

Esta presentación es una síntesis del trabajo recientemente publicado en conjunto con Ernesto Mordecki y Martín Rocamora

El propósito principal de esta charla es exponer los fundamentos teóricos y los detalles de la implementación del modelo de redes neuronales profunda presentado en el artículo  “Deep Optimal Stopping” by Becker et al, Journal of Machine Learning Research, 2019. Este modelo de aprendizaje profundo está diseñado específicamente para abordar problemas de parada óptima aprendiendo la regla de parada óptima a partir de muestras de Monte Carlo. En consecuencia, la versatilidad de este modelo se extiende a varios escenarios donde la aleatoriedad subyacente se puede simular de manera efectiva. Se presentarán interesantes aplicaciones relativas a la valoración de derivados financieros, como las opciones  Bermudan call, donde la parada óptima juega un papel crucial en el proceso de valoración..

Abstract: In this talk we consider network topology identification subject to a signal smoothness prior on the nodal observations. A fast dual-based proximal gradient algorithm is developed to efficiently tackle a strongly convex, smoothness-regularized network inverse problem known to yield high-quality graph solutions. Unlike existing solvers, the novel iterations come with global convergence rate guarantees and do not require additional step-size tuning. Reproducible simulated tests demonstrate the effectiveness of the proposed method in accurately recovering random and real-world graphs, markedly faster than state-of-the-art alternatives and without incurring an extra computational burden. 

Bio: Gonzalo Mateos earned the B.Sc. degree from Universidad de la Republica, Uruguay, in 2005, and the M.Sc. and Ph.D. degrees from the University of Minnesota, Twin Cities, in 2009 and 2011, all in electrical engineering. He joined the University of Rochester (UofR), Rochester, NY, in 2014, where he is currently an Associate Professor with the Dept. of Electrical and Computer Engineering, as well as an Asaro Biggar Family Fellow in Data Science. He is also the Associate Director for Research at the UofR’s Goergen Institute for Data Science.  During the 2013 academic year, he was a visiting scholar with the Computer Science Dept. at Carnegie Mellon University. From 2004 to 2006, he worked as a Systems Engineer at Asea Brown Boveri (ABB), Uruguay. His research interests lie in the areas of statistical learning from complex data, network science, decentralized optimization, and graph signal processing, with applications in brain connectivity, dynamic network health monitoring, social, power grid, and Big Data analytics.

 La evaluación de la incertidumbre asociada al error de pronóstico en la generación de potencia eléctrica a partir de fuentes renovables es un insumo relevante para la planificación y gestión del sistema eléctrico nacional. En esta charla, presentaremos una metodología para modelar los errores de pronóstico a corto plazo en la generación de energía solar fotovoltaica. Para ello, emplearemos una nueva clase de ecuaciones diferenciales estocásticas, paramétricas, no lineales y no homogéneas en el tiempo, orientadas por datos de
pronósticos y estimaciones de potencia máxima. Demostraremos el uso de técnicas computacionales de inferencia estadística, en el enfoque basado en la verosimilitud, a través del análisis del conjunto de datos
correspondiente a la producción y pronósticos de energía solar fotovoltaica en Uruguay durante el año 2019. La metodología propuesta permite caracterizar la incertidumbre del error de pronóstico de manera
independiente a la tecnología de pronóstico utilizada.

Trabajo en colaboración con Khaoula Ben Chaabane, Ahmed Kebaier y Raúl
Tempone.

We obtain general weak existence and stability results for Stochastic Volterra Equations (SVEs) with jumps under mild regularity assumptions, allowing for non-Lipschitz coefficients and singular kernels. The motivation to study SVEs comes from the literature on rough volatility models. Our approach relies on weak convergence in $L^p$ spaces. The main tools are new a priori estimates on Sobolev-Slobodeckij norms of the solution, as well as a novel martingale problem that is equivalent to the original equation. This leads to generic approximation and stability theorems in the spirit of classical martingale problem theory. To illustrate the applicability of our results, we consider scaling limits of nonlinear Hawkes processes and approximations of stochastic Volterra processes by Markovian semimartingales.

El problema original de las pruebas grupales consiste en la identificación de elementos defectuosos en una colección, mediante la aplicación de pruebas sobre grupos de artículos que detectan la presencia de al menos un elemento defectuoso en el grupo. El objetivo es entonces identificar todos los elementos defectuosos de la colección con la menor cantidad de pruebas posible. Este problema es relevante en varios campos, entre los cuales se destacan la biología y la informática. En el presente artículo consideramos que las pruebas aplicadas a grupos de elementos arrojan una carga, midiendo qué tan defectuoso es el artículo más defectuoso del grupo. En este escenario, proponemos un algoritmo simple no adaptativo que permita la detección de todos los elementos defectuosos de la muestra. Este método mejora los algoritmos de prueba de grupo clásicos que usan solamente una respuesta binaria.

The Box Ball System, or BBS for short, was introduced by Takahashi and Satsuma in 1990 as a cellular automaton that exhibits solitons (travelling waves). In a recent work, Ferrari, Nguyen, Rolla and Wang propose a hierarchical decomposition of a fixed configuration of the BBS in solitons, called the slot decomposition, and Ferrari and Gabrielli identified the distribution of this decomposition for a random walk with negative drift.
In this project we extend these results to a Brownian motion with negative drift. We consider the excursions over past minima of the trajectory, and show that they can be decomposed as a superposition of solitons. These are distributed as a Poisson process in the first quadrant of the plane, with an intensity that is homogeneous in the abscissa (associated to the location of the solitons) but not in the ordinate (denoting the size of the solitons).

Ongoing work with Pablo Blanc, Pablo Ferrari and Davide Gabrielli

Estudiamos modelos estocásticos que representan el comportamiento del potencial
de acción de una red neuronal biológica excitatoria. Dichos modelos evolucionan mediante procesos de Poisson inhomogéneos que dan cuenta de la aleatoriedad intrínseca de las neuronas, y tienen interacciones de caracter
sparse: cuando una neurona dada efectúa un spike, ésta incrementa el potencial de un número
fijo de neuronas aleatoriamente elegidas.
Mostraremos que el modelo para una red neuronal finita siempre termina en la extinción de la actividad neuronal; mientras que, en el límite, la red
infinita de neuronas puede sostener la actividad indefinidamente, dependiendo de parámetros
relacionados con la intensidad y la cantidad de interacciones en cada spike. Mostraremos
entonces una transición de fase en términos de la distribución estacionaria de la red infinita,
que puede ser no-trivial. De esta manera, modelamos el fenómeno biológico de persistencia:
La red neuronal, si bien eventualmente muere, puede mostrar actividad para tiempos grandes
dependiendo de la población de la red.

Vamos a estudiar el problema de Dirichlet vinculado a un operador de tipo Laplaciano en un árbol. El operador se define mediante una fórmula de valor medio donde se le da peso $\beta$ al antecesor y $(1-\beta)/m(x)$ a sus sucesores, donde $m(x)$ es el número de descendientes del vértice x. Bajo ciertas condiciones en $\beta$ y la condición de borde, demostramos que el problema de Dirichlet tiene una solución única, y lo más importante: se tiene una fórmula explícita para la solución que, en algún sentido, se parece a una fórmula de Feymann-Kac. En una segunda parte de la charla, vamos a comparar la solución al problema de Dirichlet entre un árbol de Galton-Watson con media $m$ (entera) y la solución al mismo problema en el árbol regular con $m$ hijos.

La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) perturbadas por un ruido estocástico ha sido muy bien desarrollada en el conocido trabajo de Freidlin & Wentzell (1984) en el caso enel que el drift es una función regular. En ese caso, las medidas de probabilidad correspondientes a los procesos estocásticos que son solución de la ecuación diferencial estocástica (EDE) verifican un Principio de Grandes Desvíos. A partir de ese resultado, se puede probar que la familia de procesos converge débilmente a la única solución de la ODE.

Sin embargo, en el caso en el que el drift es solo una función continua, (i.e., en donde la ODE no tiene por qué tener una única solución), no queda claro cuál es el comportamiento de los procesos estocásticos en el límite.

En esta charla, comenzaré contando algunos resultados conocidos para un drift en particular y daré una motivación de por qué interesa el estudio de los grandes desvíos de diferentes órdenes. Luego, describiré un poco el trabajo que está en marcha, en conjunto con Rafael León y Paola Bermolen, sobre el estudio de los grandes desvíos para drifts más generales, a partir del estudio de los grandes desvíos usando la tensión exponencial. 

El alcance de un subconjunto S de R^d fue definido por Federer como la máxima distancia a la que nos podemos alejar de S, manteniendo la propiedad de tener un único punto más próximo. Es una restricción de forma ampliamente estudiada en teoría geométrica de la medida, e impuesta en estimación de conjuntos y en estadística en variedades. Federer demostró en 1956 que si S tiene alcance r>0 la medida de Lebesgue de su dilatado, B(S,t), es polinomial en t, para todo 0\leq t \leq r. Además, los coeficientes tienen información geométrica de S. Por ejemplo, el coeficiente de mayor grado de este polinomio es la característica de Euler-Poincare del conjunto, multiplicado por la la medida de la bola de radio 1. El término independiente es la medida de S, y el de primer grado es la medida (d-1)-dimensional de su borde, o su perímetro si estamos en dimensión 2. En la primera parte de la charla veremos un estimador consistente del alcance a partir de una muestra de puntos dentro del conjunto. En la segunda estudiaremos los conjuntos cuya función de volumen (es decir, la función que manda t a \mu_d(B(S,t)), siendo \mu_d la medida de Lebesgue d-dimensional) es polinomial hasta un cierto valor (esto incluye, por lo antes mencionado, los conjuntos con alcance r, entre otros muchos), y veremos que este valor se puede estimar. De esta estimación  se puede obtener el estimador mas general hasta el momento, del perímetro de S, basado en una muestra de puntos interiores.

En esta charla presentaremos resultados recientes sobre la versión Bayesiana del problema de inferencia de matrices de rango-1. En él, la tarea consiste en recuperar una matriz de rango-1 a la cual se le ha sumado una segunda matriz desconocida de rango completo, a la que llamaremos ruido. Mientras que en la versión clásica del modelo el ruido viene dado por una matriz de Wigner con entradas independientes, aquí estudiamos un escenario más realista en donde el ruido es una matriz aleatoria que proviene de una familia de ensambles más genérica y con correlaciones entre sus entradas. El trabajo que discutiremos proporciona la primera caracterización de los límites de reconstrucción de este modelo con ruido estructurado. También mostramos que un algoritmo de paso de mensajes aproximado (AMP) existente, que anteriormente se creía óptimo, no alcanza estos límites teóricos. Finalmente, generalizando la teoría de las ecuaciones de Thouless-Anderson-Palmer, logramos construir un nuevo algoritmo AMP cuyo desempeño sí coincide con los límites teóricos encontrados. Ilustraremos todos estos resultados con simulaciones numéricas.

According to a well-known theorem of Cramér and Wold,
if P and Q are two Borel probability measures on R^d whose projections P_L,Q_L onto each line L in R^d satisfy P_L=Q_L, then P=Q.
Our main result is that, if P and Q are both elliptical distributions,
then, to show that P=Q, it suffices merely to check that P_L=Q_L for a certain set of (d^2+d)/2 lines L.
Moreover (d^2+d)/2 is optimal. The class of elliptical distributions contains the Gaussian
distributions as well as many other multivariate distributions of interest.
Our theorem contrasts with  other variants of the Cram\'er--Wold theorem,
in that no assumption is made about the finiteness of moments of P and Q.
We use our results to derive a statistical test for equality of elliptical distributions,
and carry out a small simulation study of the test, comparing it
with other tests from the literature. We also give an
application to learning (binary classification), again illustrated with a small simulation.

Un matching en un grafo es un conjunto de aristas que no comparten extremos. Desarrollar algoritmos que encuentren matchings grandes es un problema importante. Un algoritmo se dice online si tiene que construir el matching paso a paso a medida que el grafo se va "descubriendo". Los algoritmos online han recibido gran atención en los últimos años debido a su extensa aplicabilidad (mercados de trabajo, anuncios en internet, etc.). Nosotros estudiamos algoritmos online en el Stochastic Block Model (SBM), un modelo clásico de grafo aleatorio en el que los vértices tienen clases, y dos vértices son adyacentes o no de acuerdo a una probabilidad que depende de las clases involucradas. Estudiamos el caso denso, es decir, en el que las probabilidades de adyacencia no escalan con el tamaño del grafo. En este contexto, demostramos que existe una transición de fase en la performance de los algoritmos online regida por una condición, llamada NCOND en la literatura, que depende de las probabilidades de adyacencia del SBM.

Se adjunta archivo con abstract

El próximo viernes 3 de marzo tendremos una sesión extraordinaria del Seminario de Probabilidad y Estadística donde recibiremos al Jean-Stéphane Dhersin que brindará una charla sobre «Spatial evolution of an epidemic and social events».