Seminario de Álgebra del IMERL - Año 2021

Dia 2021-12-17 11:00:00-03:00
Hora 2021-12-17 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Cohomología de Hochschild de álgebras de Nichols y conmutatividad graduada trenzada

Javier Cóppola (IMERL - UdelaR)

Sea $(A, \varepsilon)$ un álgebra aumentada sobre un cuerpo k, esto es, una álgebra $A$ junto con un morfismo de álgebras $\varepsilon: A \to k$. En este caso, podemos considerar la cohomología de Hochschild a coeficientes triviales $H^*(A,k)$, que resulta ser un álgebra graduada con el producto cup. Es sabido que si $A$ es un álgebra de Hopf y $\varepsilon$ es su counidad, el producto cup de $H^*(A,k)$ es conmutativo graduado.
Por otra parte, en problemas de clasificación de álgebras de Hopf aparecen las llamadas álgebras de Nichols. Estas no son álgebras de Hopf en el sentido usual, pero cumplen un axioma análogo que proviene de verlas como objetos de una categoría monoidal trenzada. Esto les vale el nombre de "algebras de Hopf trenzadas".
Un álgebra de Hopf trenzada es en particular un álgebra aumentada, pero su cohomología de Hochschild a coeficientes triviales no es en general un álgebra conmutativa graduada. Cabe entonces la siguiente pregunta: ¿Podremos ver a $H^*(A,k)$ como un álgebra en una categoría monoidal trenzada, de forma que su producto cup sea "conmutativo graduado trenzado"?

En 2010, Mastnak, Pevtsova, Schauenburg y Witherspoon dan una respuesta afirmativa a esta pregunta, bajo hipótesis que incluyen el caso en el que $A$ es un álgebra de Hopf trenzada en la categoría de módulos de Yetter-Drinfeld sobre un álgebra de Hopf $H$, si $A$ o $H$ es de dimensión finita.

Luego de presentar el problema con toda la terminología necesaria, veremos un contexto que comprende álgebras de Nichols fuera de las hipótesis antes mencionadas, y en el que se puede responder (una generalización de) esta pregunta.

Este es un trabajo desarrollado con Andrea Solotar, en el marco de mi tesis de doctorado orientado por ella y por Mariana Pereira.

Dia 2021-12-10 11:00:00-03:00
Hora 2021-12-10 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Objetos m-periódicos

Mindy Huerta (IMERL - Universidad de la República)

En 1969 M. Auslander y M. Bridger dieron la noción de G-dimensión para módulos finitamente generados sobre anillos noetherianos y desde entonces se volvió interesante estudiar el comportamiento de dichos módulos de G-dimensión finita debido a que años más tarde L. Christensen, A. Franklin y H. Holm prueban que estas dimensiones coinciden cuando el módulo tiene dimensión proyectiva finita.

Años después, E. Enochs & O. M. G. Jenda definen la clase de módulos Gorenstein proyectivos como una generalización de los módulos de G-dimensión cero lo cual motivó otros conceptos que a su vez también los generalizan como: los módulos strongly Gorenstein proyectivos y los módulos n-strongly Gorenstein proyectivos (Bennis y Mahdou, 2007 & 2009).

Estas generalizaciones no se restringen a considerar módulos sobre un anillo. En 2020, V. Becerril, O. Mendoza y V. Santiago, dan otra generalización de módulos Gorenstein proyectivos definiendo los objetos Gorenstein proyectivos relativos para un par de clases de objetos en una categoría abeliana. Lo que nos llevó a la pregunta, ¿Es posible dar una versión de los módulos n-strongly Gorenstein proyectivos pero ahora para un par de clases de objetos usando las herramientas homológicas que una categoría abeliana provee?

En esta plática, proponemos una definición que responde la pregunta anterior, veremos como resultados conocidos para los módulos n-strongly Gorenstein proyectivos pueden obtenerse con esta definición y daremos algunas aplicaciones cuando el par de clases de objetos cumple ciertas relaciones de ortogonalidad, por ejemplo, para pares hereditarios y subcategorías n-cluster tilting.

Dia 2021-12-03 11:00:00-03:00
Hora 2021-12-03 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Sobre pares de cotorsión inducidos en categoría de funtores

Sinem Odabasi (Instituto de Ciencias Físicas y Matemáticas - Universidad Austral de Chile)

La pregunta de interés que motiva a nuestro trabajo es cómo asegurar que la categoría Add(A,R-Mod) de funtores aditivos tenga una estructura de modelos proyectiva/inyectiva sin poner ninguna condicion en el anillo R. Con este objetivo en mente, en esta charla hablaremos de cómo construir ‘posibles’ pares de cotorsión de Hovey en Add(A,R-Mod), y posteriormente presentaremos una caracterización explícita de sus objetos. Los resultados obtenidos sobre estos pares de cotorsión en Add(A,R-Mod) generalizan los resultados conocidos en las categorías de complejos de cadena y módulos sobre un anillo de matrices triangulares.  <br/> <br/>

Es un trabajo en curso con Sergio Estrada y Manuel Cortés Izurdiaga.

Dia 2021-11-26 11:00:00-03:00
Hora 2021-11-26 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Una caracterización de las categorías Ab4 via el Ext de Yoneda

Alejandro Argudín (IMERL - Universidad de la República)

Cuando trabajamos con categorías donde no existen suficientes proyectivos o inyectivos, necesitamos reemplazar el funtor homológico Ext por un funtor que pueda ser definido sin necesidad de recurrir a resoluciones proyectivas o co-resoluciones inyectivas. Una opción para esto es el funtor Ext de Yoneda. A saber, para cada entero positivo n, el n-ésimo funtor de Yoneda está definido como el grupo de clases de equivalencia de sucesiones exactas de longitud n entre dos objetos fijos.
Recordemos que una categoría Ab3 es una categoría abeliana donde toda familia de objetos indexada por un conjunto admite un coproducto. Una categoría Ab4 es una categoría Ab3 donde el coproducto de monomorfismos es un monomorfismo. Este tipo de categorías surge de manera natural en diferentes contextos. Por ejemplo, la categoría de grupos abelianos es una categoría Ab4, y la categoría dual a la categoría de grupos abelianos de torsión es Ab3 pero no Ab4 (y sin objetos inyectivos no nulos). 
Pues bien, cuando se trabaja con el Ext de Yoneda en categorías Ab4 donde no existen suficientes inyectivos, pueden surgir dudas sobre cómo se comporta este funtor cuando se evalúan coproductos infinitos en la primera entrada. En esta charla mostraremos explícitamente que, al igual que el Ext homológico, tendremos un isomorfismo entre: el Ext de Yoneda evaluado en la primera entrada por un coproducto, y el producto de los grupos de extensiones evaluados en cada uno de los sumandos del coproducto (i.e. Ext¹(⊕Ai,B)≅∏Ext¹(Ai,B)). Más aún, mostraremos que la categoría es Ab4 si y sólo si siempre se puede construir dicho isomorfismo. 
Dia 2021-11-19 11:00:00-03:00
Hora 2021-11-19 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Teoría de Bloques para Grupos Profinitos

Ricardo Franquiz (Universidade Federal de Minas Gerais)

La teoría de representaciones modulares de grupos finitos se encarga de entender la categoría de k[G]-módulos, donde G es un grupo finito y k es un cuerpo de característica p>0, tal que p divide al orden de G. Una  forma de afrontar este desafío consiste en descomponer k[G] como un producto directo de álgebras  indescomponibles, conocidas como bloques, y enfocarse en entender la teoría de representaciones en cada uno de estos bloques. Obsérvese que al p dividir al orden de G hace que k[G] no sea un álgebra semisimple. Consecuentemente no existe ninguna razón para suponer que sus bloques serán álgebras semisimples. A cada bloque podemos hacerle corresponder un p-subgrupo de G llamado grupo de defecto. Este subgrupo mide la dificultad que posee un bloque para ser una álgebra semisimple. Cuando el grupo de defecto asociado a un bloque es un grupo cíclico, es posible codificar la información del bloque en un grafo finito y describirlo usando la estructura de "álgebra de un árbol de Brauer ". Estas ideas fueron desarrolladas por Richard Brauer en 1930 usando el enfoque de la teoría de caracteres de grupos finitos. Posteriormente, en la década de 1960, Everett C. Dade tradujo las ideas de Brauer para el lenguaje de los módulos.

Recientemente entre los años 2010 y 2011, John MacQuarrie transfirió las ideas básicas de la teoría de representaciones modulares de grupos finitos para el contexto de los grupos profinitos. Los grupos profinitos forman una categoría cuyos objetos usualmente son grupos infinitos. El álgebra de grupo de un grupo profinito es un álgebra pseudocompacta conocida como álgebra de grupo completa. Las Álgebras pseudocompactas pueden tener dimensión infinita. Las álgebras de grupo completas poseen también una descomposición en producto directo de bloques. Usando los resultados obtenidos por MacQuarrie, guiados por la teoría de representaciones modulares de grupos finitos, mostraremos en esta charla cómo asociar un grupo de defecto a un bloque de una álgebra de grupo completa y describiremos los bloques con grupo de defecto cíclico (esto es, grupos de defecto que sean p-subgrupos cíclicos finitos o el grupo de los enteros p-ádicos Z_p) usando la estructura de álgebra de un árbol de Brauer.
Este trabajo fue realizado conjuntamente con John MacQuarrie.
Dia 2021-11-05 11:00:00-03:00
Hora 2021-11-05 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Extensiones triviales de k-álgebras de dimensión finita

Sonia Trepode (Universidad Nacional de Mar del Plata)

La extensión escindida de un anillo por un bi-módulo es una construcción clásica de la cual la extensión trivial es un caso particular. Esta construcción ha sido usada como herramienta en varios contextos. Por ejemplo Hochschild observó que una extensión trivial de un anillo R por un R-bi-módulo M corresponde a elementos cero en el segundo grupo de cohomología H^2(R, M). Recientemente las extensiones triviales juegan un rol importante en el estudio de las álgebras inclinadas de conglomerado y poseen conexiones con álgebras gentiles y especiales biseriales simétricas.

En esta charla, estudiamos extensiones triviales de k-álgebras de dimensión finita sobre un cuerpo k-algebraicamente cerrado, donde por extensión trivial de un álgebra A, entenderemos la extensión trivial de A por el cogenerador inyectivo DA, que denotaremos T(A). Las extensiones triviales de tipo finito fueron caracterizadas por Hughes-Waschbüsch en términos de extensiones triviales isomorfas. Este resultado motivó a Wakamatsu a estudiar el problema de cuándo dos extensiones triviales son isomorfas en el contexto de álgebras de Artin.

Decidir cuándo un álgebra es la extensión trivial de un álgebra no es una tarea fácil. En esta charla damos un algoritmo, en términos de carcaj con relaciones, para decidir cuándo un álgebra es una extensión trivial o no. En casos particulares, Fernández y Platzeck estudiaron extensiones triviales isomorfas en términos de carcajes con relaciones, y dieron una interpretación del teorema de Wakamatsu. En esta charla usando las técnicas introducidas por las autoras y técnicas de extensiones escindidas, extendemos el resultado de Fernández y Platzeck al contexto general. Por otra parte, obtenemos una prueba independiente del teorema de Wakamatsu.

Trabajo conjunto con Elsa Fernández, Sibylle Schroll, Hipólito Treffinger y Yadira Valdivieso.

Dia 2021-10-29 11:00:00-03:00
Hora 2021-10-29 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Teoría homológica de ideales k-idempotentes

Valente Santiago-Vargas (Universidad Nacional Autónoma de México)

En esta plática hablaremos de ideales k-idempotentes en variedades dualizantes. Veremos que varios resultados dados por M. Auslander, M. I. Platzeck, y G. Todorov en al artículo [1] se valen en el contexto de variedades dualizantes. Dado un ideal I que es la traza de un módulo proyectivo, construiremos un recollement el cual es el análogo a uno obtenido en categorías de módulos sobre álgebras de Artin. Si el tiempo lo permite veremos ciertas propiedades homológicas involucradas en tal recollement.

Trabajo conjunto con L. G. Rodríguez-Valdés y M. L. S. Sandoval-Miranda.

Referencias:

[1] M. Auslander, M. I. Platzeck, and G. Todorov. Homological theory of idempotent ideals. Transactions of the American Mathematical Society, 332(2):667?692, feb 1992.

[2] L. G. Rodríguez-Valdés, M. L. S. Sandoval-Miranda, V. Santiago-Vargas. Homological theory of k-idempotent ideals in dualizing varieties. Preprint arxiv: https://arxiv.org/pdf/2008.07158.pdf

Dia 2021-10-08 11:00:00-03:00
Hora 2021-10-08 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Dimensiones homológicas Gorenstein relativas

Víctor Becerril (Centro de Ciencias Matemáticas - Universidad Nacional Autónoma de México (Campus Morelia))

En los últimos años, diferentes clases de R-módulos Gorenstein han sido estudiados, como lo son: Ding proyectivos, AC-gorenstein proyectivos, (L, A)-Gorenstein relativos a un par de dualidad (L, A), Add(C)-Gorenstein con C un módulo débilmente tilting Wakamatzu, etc. Varias generalizaciones en categorías abelianas han sido propuestas alcanzando a reproducir algunos de los resultados conocidos en R-módulos.

En esta charla presentaremos la noción de par GP-admisible en una categoría abeliana A y presentamos la clase de objetos Gorenstein relativos asociados a tal par. Hacemos ver que desde tal noción obtenemos una buena generalización de las clases Gorenstein mencionadas. Veremos cómo podemos obtener pares de cotorsión relativos y pares de Frobenius desde la clase de objetos Gorenstein relativos y veremos cómo el punto de vista de los objetos Gorenstein relativos nos proporciona mayor información de las clases de R-módulos Gorenstein, en particular obtenemos una caracterización de la finitud de la dimension global Gorenstein en Mod(R).

Dia 2021-09-24 11:00:00-03:00
Hora 2021-09-24 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Álgebras Lat-Igusa-Todorov Triangulares

José Armando Vivero (IMERL - Universidad de la República)

En esta charla voy a trabajar con el concepto de álgebra LIT definido recientemente por D. Bravo, O. Mendoza, M. Lanzilotta y J. Vivero. El objetivo fundamental es explorar el alcance de esta definición. En particular voy a dar condiciones para que un álgebra triangular (T 0 / M U) sea de tipo LIT en términos de las álgebras T, U y del módulo M. Luego veremos ejemplos interesantes que se desprenden de ese resultado. Para finalizar voy a motivar el planteo de la siguiente interrogante: dadas dos k-álgebras LIT, ¿será que el producto tensorial es LIT? A modo de aplicación del teorema sobre álgebras triangulares, se muestra que si T es una k-álgebra LIT y kQ es un álgebra de caminos de tipo Dynkin, entonces T ⊗ kQ es de tipo LIT, dando así una respuesta parcial al problema.

Dia 2021-09-10 11:00:00-03:00
Hora 2021-09-10 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Controlando la dimensión global de un álgebra

Claude Cibils (Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (IMAG) - Université de Montpellier)

La dimensión global de un álgebra asociativa A sobre un cuerpo es una medida de la complejidad de sus representaciones. Para un álgebra de matrices es cero. Para álgebras de caminos de un carcaj es 1. Es infinita para el álgebra de números duales.

Veremos una breve introducción a la homología de Hochschild (1945), lo cual nos permitirá enunciar la conjetura de Han (2006): para un álgebra de dimensión finita, la homología de Hochschild debería controlar la finitud de la dimensión global.

Luego presentaré avances recientes realizados hacia mostrar la conjetura de Han, utilizando la versión relativa de la homología de Hochschild (1956) respecto a una subálgebra (poco usada hasta ahora). Disponemos hoy de una sucesión cercana a exacta de Jacobi-Zariski, que relaciona las versiones absolutas y relativas de la homología de Hochschild. La brecha para que sea exacta se puede aproximar por una sucesión espectral que tiene funtores Tor en su primera página. Esta herramienta nos permite mostrar que la clase de álgebras que verifican la conjetura de Han es cerrada para extensiones acotadas de álgebras.

Estos resultados han sido obtenidos en colaboración con Marcelo Lanzilotta, Eduardo N. Marcos y Andrea Solotar.

Dia 2021-06-18 11:00:00-03:00
Hora 2021-06-18 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

The Braid group action on exceptional sequences for weighted projective lines

Eduardo Marcos (IME - Universidade de São Paulo)

We give a new and intrinsic proof of the transitivity of the braid group action on the set of full exceptional sequences of coherent sheaves on a weighted projective line. We do not use here the corresponding result of Crawley-Boevey for modules over hereditary algebras. As an application we prove that the strongest global dimension of the category of coherent sheaves on a weighted projective line X does not depend on the parameters of X. Finally we prove that the determinant of the matrix obtained by taking the values of n Z-linear functions defined on the Grothendieck group K0(X) ≃ Zn of the elements of a full exceptional sequence is an invariant, up to sign.

Dia 2021-06-11 11:00:00-03:00
Hora 2021-06-11 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Categoría Repetitiva de conglomerado de tipo D

Viviana Gubitosi (Instituto de Matemática y Estadística "Prof. Ing. Rafael Laguardia")

En esta charla les contaré cómo se construye la categoría repetitiva de conglomerado que fue definida por Zhu en el año 2011. Nosotros nos concentraremos en las de tipo Dn. Para el tipo Dn les mostraré un modelo geométrico de dicha categoría y les contaré como se relaciona la Categoría  Repetitiva de conglomerado 
con la categoría de conglomerado.

Dia 2021-06-04 11:00:00-03:00
Hora 2021-06-04 11:00:00-03:00
LugarZoom

Clases de torsión relativas

Luis Martínez (Universidad Nacional Autónoma de México)

Sea Λ un álgebra de Artin. Es bien conocido que las clases de torsión funcionalmente finitas se describen mediante la teoría τ-tilting. El objetivo de esta charla es introducir la noción de clase de torsión relativa, vinculada a un subfunctor F del bifuntor Ext^1_Λ y dar una caracterización de estas clases, cuando son una clase preenvolvente. Para hacer eso, presentamos las nociones de módulos F-presilting y álgebra F-admisible. Los Λ-módulos F-presilting son una generalización de los Λ-módulos τ -rígidos y F-tilting. También mostramos algunos ejemplos de resultados clásicos en pares de torsión que no se satisfacen en clases de torsión relativas.

Estos resultados forman parte de un trabajo conjunto con Octavio Mendoza.

Dia 2021-05-14 11:00:00-03:00
Hora 2021-05-14 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Teoría tilting relativa en categorías abelianas

Alejandro Argudín (Universidad Nacional Autónoma de México)

La teoría tilting es una herramienta del  álgebra con aplicaciones en diferentes áreas de las matemáticas, como la teoría de representaciones de álgebras, la teoría de grupos algebraicos, la geometría  algebraica  y  la  topología  algebraica.  Uno  de  sus  principales usos  es  generar aproximaciones de objetos usando ciertas clases relacionadas con el tilting en cuestión. De hecho, uno de los resultados para categorías de módulos de esta  teoría  es  la  llamada  Correspondencia  de  Auslander-Reiten,  la  cual muestra  una  biyección  entre  las  clases  de  equivalencia  de  objetos  tilting  y  las  clases  de equivalencia  de  ciertos  pares de cotorsión completos.
 
En esta charla definiremos una teoría tilting relativa para categorías abelianas. Esencialmente, esto quiere decir que recrearemos  la  teoría  tilting  estándar adentro de una subcategoría X, de tal manera que obtengamos los resultados clásicos de la teoría tilting relativizados respecto a la clase X. En particular, mostraremos una versión de la Correspondencia de Auslander-Reiten relativa a una clase X. Estos resultados forman parte de un trabajo conjunto con Octavio Mendoza. 
Dia 2021-05-07 11:00:00-03:00
Hora 2021-05-07 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Cohomología de Hochschild de álgebras monomiales cuadráticas

Andrea Solotar (Universidad de Buenos Aires)

Los métodos homológicos proporcionan información importante sobre la estructura de las álgebras asociativas, revelando a veces conexiones ocultas entre ellas. La homología y la cohomología de Hochschild de álgebras asociativas unitarias sobre un cuerpo, junto con su estructura de álgebra graduada y su estructura de Gerstenhaber, son invariantes preservados por equivalencias derivadas.

La familia de álgebras monomiales cuadráticas ha atraído la atención de muchos autores en los últimos tiempos, así como algunas subfamilias de las mismas como por ejemplo las álgebras suaves, que están conectadas con muchas otras áreas de la matemática.

Damos una descripción completa de la estructura de la cohomología de Hochschild de un álgebra monomial cuadrática como álgebra conmutativa graduada y como álgebra de Gerstenhaber.

Este es un trabajo conjunto con Cristian Chaparro Acosta, Sibylle Schroll y Mariano Suárez-Álvarez.

Dia 2021-04-30 11:00:00-03:00
Hora 2021-04-30 11:00:00-03:00
LugarA través de Zoom

Sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch equivariante

Santiago Arambillete (Facultad de Ciencias - Universidad de la República)

En este trabajo exponemos y demostramos la sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch equivariante, que es una generalización de la sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch al contexto de los G-espacios, dado un grupo G. Esta sucesión permite calcular grupos de homología para una G-teoría de homología arbitraria. Primero probamos una versión de la sucesión para C-espacios, donde C es una categoría pequeña. La versión para G-espacios se deduce de ésta tomando C = Or Gop, donde OrG es la categoría de órbitas de G. Luego mostramos un ejemplo de cálculo usando esta sucesión espectral.

Dia 2021-04-23 11:00:00-03:00
Hora 2021-04-23 11:00:00-03:00
LugarSalón de seminarios del IMERL, Facultad de Ingeniería

La obstrucción de finitud de Wall

Jazmín Finot (Instituto de Matemática y Estadística "Prof. Ing. Rafael Laguardia")

Nos preguntamos cuándo un espacio topológico finitamente dominado es homotópicamente equivalente a un CW-complejo finito.  La obstrucción de finitud de Wall de un espacio topológico X es un invariante del tipo de homotopía de X que nos permite responder a esta pregunta. Dicha obstrucción se obtiene como un elemento de K_0(ZG), siendo G el grupo fundamental de X, y su anulación es una condición necesaria y suficiente para que un espacio finitamente dominado sea equivalente a un CW-complejo finito.