Seminario de Álgebra del IMERL - Año 2021

Dia 2021-10-08 11:00:00-03:00
Hora 2021-10-08 11:00:00-03:00
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Dimensiones homológicas Gorenstein relativas

Víctor Becerril (Centro de Ciencias Matemáticas - Universidad Nacional Autónoma de México (Campus Morelia))

En los últimos años, diferentes clases de R-módulos Gorenstein han sido estudiados, como lo son: Ding proyectivos, AC-gorenstein proyectivos, (L, A)-Gorenstein relativos a un par de dualidad (L, A), Add(C)-Gorenstein con C un módulo débilmente tilting Wakamatzu, etc. Varias generalizaciones en categorías abelianas han sido propuestas alcanzando a reproducir algunos de los resultados conocidos en R-módulos.

En esta charla presentaremos la noción de par GP-admisible en una categoría abeliana A y presentamos la clase de objetos Gorenstein relativos asociados a tal par. Hacemos ver que desde tal noción obtenemos una buena generalización de las clases Gorenstein mencionadas. Veremos cómo podemos obtener pares de cotorsión relativos y pares de Frobenius desde la clase de objetos Gorenstein relativos y veremos cómo el punto de vista de los objetos Gorenstein relativos nos proporciona mayor información de las clases de R-módulos Gorenstein, en particular obtenemos una caracterización de la finitud de la dimension global Gorenstein en Mod(R).

Dia 2021-09-24 11:00:00-03:00
Hora 2021-09-24 11:00:00-03:00
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Álgebras Lat-Igusa-Todorov Triangulares

José Armando Vivero (IMERL - Universidad de la República)

En esta charla voy a trabajar con el concepto de álgebra LIT definido recientemente por D. Bravo, O. Mendoza, M. Lanzilotta y J. Vivero. El objetivo fundamental es explorar el alcance de esta definición. En particular voy a dar condiciones para que un álgebra triangular (T 0 / M U) sea de tipo LIT en términos de las álgebras T, U y del módulo M. Luego veremos ejemplos interesantes que se desprenden de ese resultado. Para finalizar voy a motivar el planteo de la siguiente interrogante: dadas dos k-álgebras LIT, ¿será que el producto tensorial es LIT? A modo de aplicación del teorema sobre álgebras triangulares, se muestra que si T es una k-álgebra LIT y kQ es un álgebra de caminos de tipo Dynkin, entonces T ⊗ kQ es de tipo LIT, dando así una respuesta parcial al problema.

Dia 2021-09-10 11:00:00-03:00
Hora 2021-09-10 11:00:00-03:00
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Controlando la dimensión global de un álgebra

Claude Cibils (Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (IMAG) - Université de Montpellier)

La dimensión global de un álgebra asociativa A sobre un cuerpo es una medida de la complejidad de sus representaciones. Para un álgebra de matrices es cero. Para álgebras de caminos de un carcaj es 1. Es infinita para el álgebra de números duales.

Veremos una breve introducción a la homología de Hochschild (1945), lo cual nos permitirá enunciar la conjetura de Han (2006): para un álgebra de dimensión finita, la homología de Hochschild debería controlar la finitud de la dimensión global.

Luego presentaré avances recientes realizados hacia mostrar la conjetura de Han, utilizando la versión relativa de la homología de Hochschild (1956) respecto a una subálgebra (poco usada hasta ahora). Disponemos hoy de una sucesión cercana a exacta de Jacobi-Zariski, que relaciona las versiones absolutas y relativas de la homología de Hochschild. La brecha para que sea exacta se puede aproximar por una sucesión espectral que tiene funtores Tor en su primera página. Esta herramienta nos permite mostrar que la clase de álgebras que verifican la conjetura de Han es cerrada para extensiones acotadas de álgebras.

Estos resultados han sido obtenidos en colaboración con Marcelo Lanzilotta, Eduardo N. Marcos y Andrea Solotar.

Dia 2021-06-18 11:00:00-03:00
Hora 2021-06-18 11:00:00-03:00
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The Braid group action on exceptional sequences for weighted projective lines

Eduardo Marcos (IME - Universidade de São Paulo)

We give a new and intrinsic proof of the transitivity of the braid group action on the set of full exceptional sequences of coherent sheaves on a weighted projective line. We do not use here the corresponding result of Crawley-Boevey for modules over hereditary algebras. As an application we prove that the strongest global dimension of the category of coherent sheaves on a weighted projective line X does not depend on the parameters of X. Finally we prove that the determinant of the matrix obtained by taking the values of n Z-linear functions defined on the Grothendieck group K0(X) ≃ Zn of the elements of a full exceptional sequence is an invariant, up to sign.

Dia 2021-06-11 11:00:00-03:00
Hora 2021-06-11 11:00:00-03:00
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Categoría Repetitiva de conglomerado de tipo D

Viviana Gubitosi (Instituto de Matemática y Estadística "Prof. Ing. Rafael Laguardia")

En esta charla les contaré cómo se construye la categoría repetitiva de conglomerado que fue definida por Zhu en el año 2011. Nosotros nos concentraremos en las de tipo Dn. Para el tipo Dn les mostraré un modelo geométrico de dicha categoría y les contaré como se relaciona la Categoría  Repetitiva de conglomerado 
con la categoría de conglomerado.

Dia 2021-06-04 11:00:00-03:00
Hora 2021-06-04 11:00:00-03:00
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Clases de torsión relativas

Luis Martínez (Universidad Nacional Autónoma de México)

Sea Λ un álgebra de Artin. Es bien conocido que las clases de torsión funcionalmente finitas se describen mediante la teoría τ-tilting. El objetivo de esta charla es introducir la noción de clase de torsión relativa, vinculada a un subfunctor F del bifuntor Ext^1_Λ y dar una caracterización de estas clases, cuando son una clase preenvolvente. Para hacer eso, presentamos las nociones de módulos F-presilting y álgebra F-admisible. Los Λ-módulos F-presilting son una generalización de los Λ-módulos τ -rígidos y F-tilting. También mostramos algunos ejemplos de resultados clásicos en pares de torsión que no se satisfacen en clases de torsión relativas.

Estos resultados forman parte de un trabajo conjunto con Octavio Mendoza.

Dia 2021-05-14 11:00:00-03:00
Hora 2021-05-14 11:00:00-03:00
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Teoría tilting relativa en categorías abelianas

Alejandro Argudín (Universidad Nacional Autónoma de México)

La teoría tilting es una herramienta del  álgebra con aplicaciones en diferentes áreas de las matemáticas, como la teoría de representaciones de álgebras, la teoría de grupos algebraicos, la geometría  algebraica  y  la  topología  algebraica.  Uno  de  sus  principales usos  es  generar aproximaciones de objetos usando ciertas clases relacionadas con el tilting en cuestión. De hecho, uno de los resultados para categorías de módulos de esta  teoría  es  la  llamada  Correspondencia  de  Auslander-Reiten,  la  cual muestra  una  biyección  entre  las  clases  de  equivalencia  de  objetos  tilting  y  las  clases  de equivalencia  de  ciertos  pares de cotorsión completos.
 
En esta charla definiremos una teoría tilting relativa para categorías abelianas. Esencialmente, esto quiere decir que recrearemos  la  teoría  tilting  estándar adentro de una subcategoría X, de tal manera que obtengamos los resultados clásicos de la teoría tilting relativizados respecto a la clase X. En particular, mostraremos una versión de la Correspondencia de Auslander-Reiten relativa a una clase X. Estos resultados forman parte de un trabajo conjunto con Octavio Mendoza. 
Dia 2021-05-07 11:00:00-03:00
Hora 2021-05-07 11:00:00-03:00
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Cohomología de Hochschild de álgebras monomiales cuadráticas

Andrea Solotar (Universidad de Buenos Aires)

Los métodos homológicos proporcionan información importante sobre la estructura de las álgebras asociativas, revelando a veces conexiones ocultas entre ellas. La homología y la cohomología de Hochschild de álgebras asociativas unitarias sobre un cuerpo, junto con su estructura de álgebra graduada y su estructura de Gerstenhaber, son invariantes preservados por equivalencias derivadas.

La familia de álgebras monomiales cuadráticas ha atraído la atención de muchos autores en los últimos tiempos, así como algunas subfamilias de las mismas como por ejemplo las álgebras suaves, que están conectadas con muchas otras áreas de la matemática.

Damos una descripción completa de la estructura de la cohomología de Hochschild de un álgebra monomial cuadrática como álgebra conmutativa graduada y como álgebra de Gerstenhaber.

Este es un trabajo conjunto con Cristian Chaparro Acosta, Sibylle Schroll y Mariano Suárez-Álvarez.

Dia 2021-04-30 11:00:00-03:00
Hora 2021-04-30 11:00:00-03:00
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Sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch equivariante

Santiago Arambillete (Facultad de Ciencias - Universidad de la República)

En este trabajo exponemos y demostramos la sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch equivariante, que es una generalización de la sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch al contexto de los G-espacios, dado un grupo G. Esta sucesión permite calcular grupos de homología para una G-teoría de homología arbitraria. Primero probamos una versión de la sucesión para C-espacios, donde C es una categoría pequeña. La versión para G-espacios se deduce de ésta tomando C = Or Gop, donde OrG es la categoría de órbitas de G. Luego mostramos un ejemplo de cálculo usando esta sucesión espectral.

Dia 2021-04-23 11:00:00-03:00
Hora 2021-04-23 11:00:00-03:00
LugarSalón de seminarios del IMERL, Facultad de Ingeniería

La obstrucción de finitud de Wall

Jazmín Finot (Instituto de Matemática y Estadística "Prof. Ing. Rafael Laguardia")

Nos preguntamos cuándo un espacio topológico finitamente dominado es homotópicamente equivalente a un CW-complejo finito.  La obstrucción de finitud de Wall de un espacio topológico X es un invariante del tipo de homotopía de X que nos permite responder a esta pregunta. Dicha obstrucción se obtiene como un elemento de K_0(ZG), siendo G el grupo fundamental de X, y su anulación es una condición necesaria y suficiente para que un espacio finitamente dominado sea equivalente a un CW-complejo finito.