Seminario de Álgebra del IMERL

Es sabido que no es posible poner una estructura de esquema "canónica" en el conjunto Aut(k^n) de los automorfismos del espacio afín (k es un cuerpo que suponemos perfecto), pero podemos dotarlo de una estructura de ind-variedad -- es decir, podemos construir una topología en Aut(k^n) de modo que queda filtrado por variedades algebraicas). Un problema sumamente interesante es el encontrar los subgrupos algebraicos de Aut(k^n), y una manera de hacerlo es calculando estabilizadores de conjuntos cerrados.

Black y Stampfli abordaron en 2015 el caso del plano, describiendo los estabilizadores de las curvas del plano: para las curvas obtenidas aplicando un automorfismo a un conjunto finito rectas paralelas resulta no algebraico, y en el resto de los casos es algebraico.  En el caso de las curvas irreducibles módulo la aplicación de un automorfismo, el estabilizador es algebraico de dimensión 1 para 6 familias, el estabilizador de la recta  no es algebraico y para el resto de las curvas es finito.

En dicho trabajo quedó sin respuesta la descripción de los estabilizadores de conjuntos arbitrarios cuya adherencia es una curva, problema que abordamos con Iván Pan en un trabajo reciente. En concreto, nos interesamos en el cálculo de los estabilizadores de  dos tipos de órbitas de subgrupos de Aut(k^2)  (i) órbitas de subgrupos de Aut(k^2) con adherencia una curva irreducible y (ii) órbitas de automorfismos dados (es decir del grupo cíclico generado por el automorfismo) cuya adherencia es una curva. Contrariamente a lo sugerido en el artículo de Blanc y Stampli mencionado, en muchos casos aparecen subgrupos que no son algebraicos.

En esta charla, guiado por el objetivo final de presentar los resultados obtenidos en colaboración con Iván, presentaré una necesariamente breve introducción al functor de automorfismos del plano, que espero sea accesible con conocimientos mínimos de geometría algebraica.

En la década de 1960 y buscando  generalizar algunos conceptos básicos de la teoría de representaciones de los grupos finitos a grupos con estructura adicional (Grupos de Lie, Grupos algebraicos, Grupos analíticos), Bialinciki Birula, G. Hochschild y D. Mostow definieron el concepto de subgrupo observable de un grupo algebraico afín. Se dieron desde entonces hasta hoy, diversas generalizaciones de dicho concepto, que mostró su utilidad en diferentes partes de la teoría. En 1970 aparece el concepto de observabilidad fuerte (E. Cline,B. Parshall y L.Scott) que se liga con el concepto de semi simplicidad y la teoría de invariantes. Más tarde --y a partir de una nueva caracterización (2010) de la observabilidad clásica (A.Rittatore, WF)-- el concepto de subgrupo observable fue generalizado al de acción observable de un grupo en una variedad afín (L. Rennes,  A. Rittatore). Varios trabajos posteriores del primer autor, ilustran la importancia de dicha generalización. En otra línea aparece el concepto de Adjunción observable en 2006 (N. Andruskiewitsch, WF) y las ideas de esta teoría se aplican  a las categorías módulo de una categoría monoidal.

Recorremos en nuestra charla, el camino descrito arriba en forma sucinta y  damos --cuando posible-- algunos puntos de las demostraciones.

Recent results related Hochschild's relative homological theory with the Finitistic Dimension Conjecture, a central conjecture for finite dimensional algebras. In this talk we will use these results as a guide to present some classical homological ways to measure complexity of algebras, discussing their positive and negative aspects. Then we will understand how Hochschild's relative homological theory intends to measure the complexity of an extension of algebras and how his theory is related to the Finitistic Dimension Conjecture. Finally, we will present some ongoing results that aim to compute relative homological dimensions and provide some examples. This talk will be an exposition and most of the definitions will be presented and/or discussed.


This is an ongoing work with Prof. Iusenko and the talk will be in english.

Una de las generalizaciones más potentes y claras de las álgebras de Hopf son las mónadas de Hopf (Bruguieres-Lack-Virelizier). Sin embargo, existen aspectos de la teoría de grupos cuánticos que se escapan de este marco, como ser las álgebras quasi-Hopf de Drinfeld'd. En esta charla explicaré este fenómeno e introduciré una noción de ser "Hopf" más relajada que la usual y que abarca a las mónadas de Hopf y las álgebras quasi-Hopf. (Trabajo conjunto con A. Bruguieres y M. Haim, https://arxiv.org/abs/2303.09670).

En esta charla veremos el problema de cuando la Phi dimensión de un álgebra coincide con la de su álgebra opuesta.

Esta pregunta se ha estudiado para otras dimensiones homológicas, por  ejemplo, la dimensión global en anillos noetherianos para un álgebra y  su opuesta coinciden, mientras que la dimensión finitista no.

Mostraremos familias donde la Phi dimensión de un álgebra es igual a la de su opuesta. Luego veremos algunos cálculos explícitos de sizigias para construir un ejemplo donde la Phi dimensión de un álgebra y su opuesta no coinciden. Esto último es parte de un trabajo junto con Gustavo Mata.

En esta charla estudiaremos aspectos homológicos y homotópicos de los módulos Gorenstein planos relativos a un par de dualidad (L,A). Estos módulos se definen como ciclos de complejos exactos con componentes en L, que a su vez permanecen exactos cuando tensorizamos por módulos ``auto-ortogonales'' en A. Para el caso en el cual (L,A) es cerrado por productos y bicompleto, probaremos que estos módulos Gorenstein planos relativos son cerrados por extensiones. Esto será consecuencia de una relación de dualidad tipo Pontryagin entre los módulos Gorenstein planos relativos a (L,A) y ciertos módulos Gorenstein inyectivos relativos a A. Todo lo anterior dará pie a la construcción de una estructura de modelos sobre las categorías de módulos. Veremos que la categoría de homotopía de esta estructura representa cierta generalización de la categoría estable plana de módulos.

Esto es un trabajo conjunto con Víctor Becerril (Centro de Ciencias Matemáticas - UNAM Morelia). 

We discuss constructions based on finite fields of three types of combinatorial arrays: orthogonal, covering and ordered orthogonal arrays. In this talk, for each of these arrays, we briefly explain constructions based on finite fields, and main applications. Other combinatorial arrays have been similarly considered in the literature, including permutation arrays, frequency permutation arrays, hypercubes and Costas arrays, but we do not cover here.

An Orthogonal Array (OA) of strength $t$ on $v$ symbols is an array with the property that, for every $t$-combination of column vectors, every one of the possible $v^t$ $t$-tuples of symbols appears as a row ``exactly'' once in the subarray defined by these column vectors. OAs have been applied in coding theory and in cryptography. They are equivalent to MDS (maximum distance separable) codes where the strength of the OA is closely related to the minimum distance of the code. OAs are also closely related to secret sharing in cryptography. An Ordered Orthogonal Arrays (OOA) is a generalization of OAs where the coverage property applies to some selected columns of the array. Similarly, a Covering Array of strength $t$ on $v$ symbols is an array with the property that, for every $t$-combination of column vectors, every one of the possible $v^t$ $t$-tuples of symbols appears as a row ``at least'' once in the subarray defined by these column vectors. Covering arrays are used to reduce the number of tests in application areas such as software testing and group testing.

A common theme on several recent constructions of these arrays is the use of linear feedback shift register (LFSR) sequences and finite fields. Arrays whose rows are cyclic shifts of a sequence over a finite field possess many combinatorial properties. They have been used to build arrays attaining a high number of $t$-subsets of columns with the desired ``coverage property''. We provide examples of applications of these combinatorial arrays.

Ver archivo .pdf adjunto.

En la teoría de álgebras de conglomerado el establecer fórmulas explícitas para variables de conglomerado es un problema que ha ocupado varios artículos y lineas de investigación. En el caso de algebras provenientes de superficies hay formulas combinatorias, algunas de ellas recurren a ciertos grafos denominados grafos de serpiente. Además en este caso las variables de conglomerado se relacionan con longitudes lambda en teoría Teichmuller. Hay también fórmulas generales relacionadas a la teoría de representaciones dadas por la llamada aplicación de Caldero-Chapoton. 

Recientemente (2019) Penner-Zeitlin extendieron la teoría Teichmuller abarcando "super" longitudes lambda. Desde el punto de vista combinatorio, Musiker, Ovenhouse y Zhang lograron fórmulas para las super longitudes lambda utilizando grafos de serpiente. Motivadas por estos avances, proponemos una fórmula que utiliza teoría de representaciones, análoga a la aplicación de Caldero-Chapoton, para obtener la expansión de super longitudes lambda. 

Este trabajo es un proyecto desarrollado a partir de la convocatoria WinART3 (Women in Algebra and Represetnation theory), junto con K. Serhiyenko, I. Canakci y F. Fedele.

In many tensor triangulated categories the thick subcategories of the compact objects and the localizing subcategories of the whole category are classified by topological spaces with the same underlying set. Examples include the derived category of a commutative noetherian ring and the stable module category of a finite group. A well-generated triangulated category is generated by a set of $\alpha$-compact objects for some regular cardinal $\alpha$. Under some mild conditions the $\alpha$-localizing subcategories of $\alpha$-compact objects are also classified by a topological space.

In my talk I explain the connection between the topological spaces classifying the thick subcategories of the compact objects, the $\alpha$-localizing subcategories of the $\alpha$-compact objects, and the localizing
subcategories.

This is joint work with Henning Krause.

La charla presentará las nociones de monoide, comonoide, bimonoide, mónada, categoría monoidal, categoría duoidal, cómo se ligan y por qué son naturales/interesantes. Con la noción de monoide (conjunto con un producto asociativo y un neutro) como base, estudiaremos monoides en general y  pasaremos a comonoides y a bimonoides (conocidos en particular por su vínculo con las álgebras de Hopf). Veremos cómo se liga la noción de bimonoide con la de monoide doble y la de categoría duoidal. Mostraremos el argumento de Eckmann-Hilton que prueba que los monoides dobles en Set son en algún sentido triviales y lo llevaremos al contexto de categorías duoidales. 

Las álgebras de Igusa-Todorov fueron definidas por Wei, en [W], con la idea de probar la conjetura finitista mediante el uso de las funciones de Igusa-Todorov (ver [IT]). En esta charla veremos que, bajo ciertas condiciones, las álgebras asociadas a los contextos de Morita preservan la propiedad de ser Igusa-Todorov así como de otros conceptos relacionados. También veremos una nueva caracterización de las álgebras autoinyectivas mediante las funciones de Igusa-Todorov.

[IT] K. Igusa, G. Todorov, On finitistic global dimension conjecture for artin algebras, Representations of algebras and related topics, Fields Inst. Commun., 45, American Mathematical Society, pp. 201-204 (2005).

[W] J. Wei, Finitistic dimension and Igusa-Todorov algebras, Adv. Math. 222 (6), pp. 2215-2226 (2009).

La teoría de Auslander-Reiten fue introducida, en los años 70 del siglo pasado, por Maurice Auslander e Idun Reiten, y se basa en una serie de técnicas que usan métodos homológicos, categóricos y diagramáticos. Dichos métodos revolucionaron a la teoría de representaciones de álgebras, la cual se encontraba muy estancada y se consideraba una área ya finalizada de la matemática. En esta charla, daré un pequeño pantallazo sobre la teoría de Auslander-Reiten, mostrando algunos de los aspectos mas básicos de dicha teoría.

La teoría de Auslander-Reiten fue introducida, en los años 70 del siglo pasado, por Maurice Auslander e Idun Reiten, y se basa en una serie de técnicas que usan métodos homológicos, categóricos y diagramáticos. Dichos métodos revolucionaron a la teoría de representaciones de álgebras, la cual se encontraba muy estancada y se consideraba una área ya finalizada de la matemática. En esta charla, daré un pequeño pantallazo sobre la teoría de Auslander-Reiten, mostrando algunos de los aspectos mas básicos de dicha teoría.

Esta charla será una continuación de las dos charlas recientes de Claude Cibils en el Seminario del IMERL y estará basada en el trabajo " Strongly stratifying ideals, Morita contexts and Hochschild homology " en colaboración con Claude Cibils, Marcelo Lanzilotta y Eduardo Marcos que puede encontrarse en: arXiv:2303.17369.

En esta charla les contaré sobre un trabajo en conjunto con Rafael Parra y Claudio Qureshi. Consideramos la mutación coloreada de carcajes coloreados definida por Hugh Thomas en 2007 y caracterizamos la clase de mutación coloreada de los carcajes de tipo An. 

La teoría espectral de digrafos asocia a cada digrafo D una familia de matrices y estudia un invariante en particular: su espectro. Si bien este objeto algebraico describe muchas de las propiedades estructurales de un digrafo, es sabido que existen digrafos coespectrales no isomorfos; incluso restringiéndonos a los digrafos simétricos (grafos), conexos y regulares.

El concepto de valor propio complementario de una matriz real cuadrada A es introducido por Seeger en 1999 y tiene múltiples aplicaciones en distintas áreas del conocimiento. El conjunto de valores propios complementarios de una matriz, que será denotado Π(A), además de ser invariante en la familia de matrices de adyacencia de un grafo, reúne valiosa información espectral de G y de todos sus subgrafos inducidos conexos. Con estos antecedentes, Fernandes et al. en 2017 proponen representar los grafos mediante su espectro complementario y hasta el día de hoy, no se conocen ejemplos de grafos no isomorfos del mismo
orden complementariamente coespectrales; más aún, se sabe que ciertos grafos quedan caracterizados a partir de este conjunto.

En mi trabajo de doctorado abordamos el anterior problema para digrafos. En primer lugar introdujimos el concepto de valor propio complementario de un digrafo y generalizamos a digrafos aquellos resultados que nos brindaran información estructural del mismo. Esta generalización nos permitió identificar los digrafos fuertemente conexos con uno, dos y tres valores propios complementarios, denotados SCD1, SCD2 y SCD3 respectivamente. Luego, pudimos establecer que tanto los digrafos en SCD1 como en SCD2 quedan caracterizados por su espectro complementario, así como exhibir pares de digrafos no isomorfos
del mismo orden, complementariamente coespectrales en SCD3.

Consideramos ideales estratificantes de álgebras de dimensión finita en relación con los contextos de Morita. Un contexto de Morita (segun H. Bass) es un álgebra construida a partir de dos álgebras, dos bimódulos y dos morfismos.  Para un contexto de Morita estratificante fuerte -o equivalentemente para un ideal estratificante fuerte- demostramos que la conjetura de Han se cumple si y sólo si se cumple para la subálgebra diagonal. La herramienta principal es la secuencia exacta larga de Jacobi-Zariski. Este es un trabajo en colaboración con Marcelo Lanzilotta, Eduardo N. Marcos y Andrea Solotar.

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We consider stratifying ideals of finite dimensional algebras in relation with Morita contexts. A Morita context (after H. Bass) is an algebra built on a data of two algebras, two bimodules and two morphisms.  For a strong stratifying Morita context - or equivalently for a strong stratifying ideal - we show  that Han's conjecture holds if and only if it holds for the diagonal subalgebra. The main tool is the Jacobi-Zariski long exact sequence. This is a work in collaboration with Marcelo Lanzilotta, Eduardo N. Marcos and Andrea Solotar.

Consideramos ideales estratificantes de álgebras de dimensión finita en relación con los contextos de Morita. Un contexto de Morita (segun H. Bass) es un álgebra construida a partir de dos álgebras, dos bimódulos y dos morfismos.  Para un contexto de Morita estratificante fuerte -o equivalentemente para un ideal estratificante fuerte- demostramos que la conjetura de Han se cumple si y sólo si se cumple para la subálgebra diagonal. La herramienta principal es la secuencia exacta larga de Jacobi-Zariski. Este es un trabajo en colaboración con Marcelo Lanzilotta, Eduardo N. Marcos y Andrea Solotar.

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We consider stratifying ideals of finite dimensional algebras in relation with Morita contexts. A Morita context (after H. Bass) is an algebra built on a data of two algebras, two bimodules and two morphisms.  For a strong stratifying Morita context - or equivalently for a strong stratifying ideal - we show  that Han's conjecture holds if and only if it holds for the diagonal subalgebra. The main tool is the Jacobi-Zariski long exact sequence. This is a work in collaboration with Marcelo Lanzilotta, Eduardo N. Marcos and Andrea Solotar.