Conexiones en fibrados

Programa del Seminario:
Las conexiones en fibrados surgen de manera natural en diversas áreas de matemática y física.
En el electromagnetismo, las leyes de Maxwell se reinterpretan como la curvatura de una
conexión en un fibrado trivial de fibra el grupo unitario $\sf U(1)$, sentando las bases para las
teorías gauge. Las teorías de Yang-Mills generalizan esto a grupos compactos. Por otro
lado,una conexión plana en un fibrado sobre una variedad $M$ induce una representación del
grupo fundamental de $M$ en el grupo estructural de la fibra. Los subgrupos discretos de
grupos de Lie aparecen así al estudiar la holonomía de conexiones planas. Aparecen aquí los
trabajos de Donaldson, Hitchin y Simpson (entre otros) generalizando Yang-Mills a grupos de
tipo no-compacto.

El objetivo del seminario es hacer una introducción al tema, siguiendo, en la medida de lo
posible y según los participantes, el siguiente programa:

• Electromagnetismo desde la geometría diferencial
• Fibrados vectoriales, fibrados holomorfos, fibrados principales: definiciones, ejemplos,
  construcciones (ejemplo importante: representaciones del grupo fundamental de la base)
• secciones de fibrados: definición, ejemplos, relación con cubrimientos ramificados con órdenes
  prescritos
• conexiones en fibrados: definición via derivaciones y via distribuciones, curvatura,
  integrabilidad, transporte paralelo, ejemplos via geometría Riemanniana, pseudo-Riemanniana,
  etc.
• clases características, clase de Chern
• Ecuación de Yang-Mills,
• Fibrados de Higgs, ecuación de Hitchin, representaciones de Hitchin.

Bibliografía:

• Gauge fields, knots and gravity de Baez-Muniain.
• Three dimensional Geometry and Topology de Thurston.
• Riemann surfaces de Donaldson
• Lie groups and Teichm\"uller spaces de Hitchin
• An introduction to Higgs bundles via harmonic maps de Qiongling Li