Defensa de tesis de doctorado — Marcos Barrios

"Estudio de la estructura de grupo de IET y algunas extensiones"

Esta tesis se centra en el estudio del grupo de transformaciones de intercambio de intervalos (IET) y otros grupos definidos a trozos.
En una primera parte, estudiamos IET como grupo topológico a partir de varias distancias. Se muestra la relación entre dichas distancias con la longitud de los intervalos de continuidad. Se prueba que IET no es un grupo polaco (no existe una distancia que haga a IET un grupo topológico, separable y completo). Además se construye, para una distancia concreta, una completación en otro grupo polaco.
En una segunda parte, abordamos la pregunta de Katok, que plantea si IET admite un subgrupo isomorfo a F_2. Se generalizan algunos resultados previos, mostrando que, si dos transformaciones f, g de IET satisfacen una relación no trivial, entonces puede construirse otra relación estable bajo perturbaciones de las longitudes de los intervalos de continuidad de alguno de estos mapas. Además, determinamos un cota uniforme N(n) tal que, para cualquier f en IET con n discontinuidades y cualquier rotación g, las transformaciones f y g satisfacen una relación no trivial de largo menor o igual que N(n).
Finalmente, estudiamos el grupo generado por los intercambios de intervalos del círculo y los difeomorfismos que preservan orientación (PC^{+}_{1}(S^1)). Probamos que la extensión natural de la distancia introducida en la primera parte otorga a PC^{+}_{1}(S^1) estructura de grupo topológico. Finalmente, caracterizamos todos los morfismos continuos de R a PC^{+}_{1}(S^1).