Sobre la cantidad de soluciones a ecuaciones sobre cuerpos finitos

En esta charla, vamos a comenzar recordando las propiedades básicas de la función zeta de Riemann y de la función zeta de Dedekind asociada a un cuerpo de números.

Viendo el desarrollo de esta teoría de funciones zeta, se puede ver que la construcción de la función zeta de Dedekind depende solamente de dos propiedades puramente algebraicas de los anillos de enteros de cuerpos de números. Con esto, Emil Artin se da cuenta de que los anillos de funciones regulares de ciertas curvas sobre cuerpos finitos también cumplen estas propiedades; más adelante se probaría que, para cualquier curva suave y proyectiva sobre un cuerpo finito, su anillo de funciones regulares satisface estas condiciones. Con esto, podemos definir la función zeta de Hasse--Weil, que se generaliza para variedades suaves y proyectivas sobre cuerpos finitos, y veremos que codifica la cantidad de soluciones de las ecuaciones que dan la variedad.