Reconocer grupos actuando

En esta charla nos interesa la siguiente pregunta. Conociendo la acción de un grupo, que se puede deducir de su estructura algebraica y geométrica? Y recíprocamente, cuales son las restricciones que imponen la estructuras algebraica y geométrica de un grupo sobre sus posibles acciones en un espacio dado? Me interesará particularmente el caso de grupos actuando analiticamente en el círculo. Un ejemplo típico de resultado en esta dirección es un teorema de Ghys-Duminy: un grupo finitamente generado actua analiticamente en el círculo con un Cantor invariante es virtualmente libre.