Grupos afines sobre una variedad abeliana y haces de Hopf

Título ampliado: Grupos afines sobre un cuerpo k coiguales a k-álgebras de Hopf;
grupos afines sobre una variedad abeliana A coiguales a haces de Hopf sobre O_A.

Es bien sabido que para variedades afines, es lo mismo dar el objeto geométrico X o su álgebra de polinomios k[X] que es un objeto algebraico. La correspondencia inversa asocia al álgebra B el objeto geométrico Spec B.

Si el objeto geométrico es además un grupo G el objeto algebraico k[G] es un álgebra de Hopf y si H es un algebra de Hopf, Spec H es un grupo algebraco afín.

Esto vale para el tipo de objetos geométricos locales típicos de la geometría algebraica, las variedades afines.

Trabajando con familias más amplias de variedades, la situación es más compleja pero algunas de las herramientas básicas se pueden definir.
Trabajaremos en el contexto de ternas q : G --->A donde G es un esquema de grupos, A es una variedad abeliana y q es un morfismo afín de esquemas.
En la situación en que A conste solo de un punto estaremos en el caso anterior.

Adaptando una construcción de Grothendieck a este contexto, podemos reconstruir la correspondencia mencionada anteriormente entre grupos algebraicos afines y álgebras de Hopf.

A la terna (q,G,A) que se abrevia como G se le asocia P(G) que juega el papel que anteriormente jugaba k[G] y que es un haz casi coherente de O_A algebras, donde O_A es el haz estructural de A.
Recíprocamente a un haz casi coherente F de O_A algebras se le asocia una terna (q,Spec(F),A) que juega el papel del grupo G en el caso anterior.

El haz asociado a la terna (q,G,A) se llama un haz de Hopf.

Esta exposición es parte de un trabajo conjunto con Rittatore y del Angel, que apunta a desarrollar una teoría de representaciones de una terna (q,G,A) como la descripta arriba que generaliza la teoría de representaciones de los grupos algebraicos afines desarrollada y en gran parte culminada entre 1950-1980.