Grupos lineales y rango lineal: vínculos entre aritmética, geometría y dinámica - Juan Píriz (2026)

Esta tesis se enmarca en el estudio del rango lineal de un grupo, es decir, en el estudio de los posibles encajes del mismo en grupos de matrices y grupos de Lie. En particular, se analizan los posibles encajes del grupo Γ = π1(M), con M una 3-variedad hiperbólica compacta, en los grupos PSL2(R) y PSL2(R) × PSL2(R). Se prueba que toda representación inyectiva de Γ en PSL2(R) tiene imagen densa, y que en el caso de existir un encaje discreto en PSL2(R) × PSL2(R) las proyecciones en cada factor son densas, dando lugar a un subgrupo irreducible. Estos resultados se vinculan con conjeturas sobre la estructura de subgrupos discretos irreducibles en grupos semisimples, en particular, mostramos que tal encaje sería un contraejemplo a una conjetura que dice que todo subgrupo irreducible de un grupo de Lie semisimple es necesariamente un lattice. En una segunda parte, se estudia la posibilidad de construir contraejemplos a tal conjetura basándonos en las dinámicas de tipo ping-pong, mostrando que ciertos enfoques basados en aritmética y valores absolutos no-arquimedianos por un lado y representaciones de grupos de Lie reales por otro no producen nuevos ejemplos.