Defensa de monografía de licenciatura - Alejandro Bellati
El próximo jueves 22 de febrero a las 17:00 horas por Zoom, tendrá lugar la defensa de monografía de licenciatura de Alejandro Bellati.
Título: Encajes e inmersiones isométricas \(C^1\) - El Teorema de Nash-Kuiper
Resumen: El problema del encaje isométrico de variedades Riemannianas trata de determinar cuándo una variedad Riemanniana puede ser encajada en algún \(\mathbb{R}^{n}\) mediante un encaje de regularidad predefinida, en otras palabras, cuándo la métrica proviene del espacio euclídeo en el cual la variedad se encaja. El teorema de Cohn-Vossen (1927) prueba que toda esfera de curvatura de Gauss positiva puede ser encajada sométricamente en \(\mathbb{R}^{3}\) mediante un encaje \(C^{2}\) y que dicho encaje es único a menos de movimientos rígidos de \(\mathbb{R}^{3}\). Simples argumentos geométricos prueban que ninguna superficie de curvatura de Gauss negativa puede encajarse isométricamente en \(\mathbb{R}^{3}\) mediante un encaje \(C^{2}\). Poco se sabía sobre el problema general hasta que Nash demuestra el enunciado radical de que toda variedad Riemanniana puede ser encajada isométricamente en codimensión 2 (luego mejorado a codimensión 1 por Kuiper) por un encaje \(C^{1}\) y en 1956 demuestra que el encaje se puede elegir suave si la codimensión es grande. El resultado de 1954 es por lo menos paradójico ya que deduce, entre otras cosas, la existencia de encajes rígidos de la esfera de radio 1 en cualquier bola de radio arbitrariamente pequeño o que toda superficie compacta de curvatura negativa admite un encaje isométrico en \(\mathbb{R}^{3}\). Las ideas de la prueba son tan impactantes como el enunciado y se resumen en las nociones de integración convexa y el principio h, ambos debidos a M. Gromov. Durante la presentación contaré los enunciados de Nash y veré cómo se realiza un encaje isométrico concreto del toro plano en \(\mathbb{R}^{3}\) mediante implementación explícita de integración convexa.
Pueden solicitar el link a Martín Reires (mreires@cmat.edu.uy)