Seminario de Sistemas Dinámicos (formato antiguo)

Seminario de Sistemas Dinámicos (formato antiguo)
Exponente crítico para subgrupos de SL(d,R).

Continuaremos hablando de exponentes críticos de subgrupos de isometrías de espacios de curvatura no positiva. Nos concentraremos en el caso de SL(d,R) y la charla será independiente de la anterior.

Valores propios y entropía de una representación de Hitchin

La componente de Hitchin es una componente conexa preferida del espacio de representaciones del grupo fundamental de una superficie cerrada (género mayor o igual a 2) en el grupo SL(d,R). Esta componente conexa es una análogo, en rango superior, del espacio de Teichmüller de la superficie. Junto con Rafael Potrie consideramos la acción de una representación de Hitchin en el espacio simétrico X_d de SL(d,R) y probamos un resultado de rigidez para el exponente crítico h=\lim_{ \to\infty}(1/t) log\#\{g\in\pi_1 S: d_X(o,\rho(g) o)<t\}.

Avances en la conjetura de Franks-Misiurewicz

En el toro T2 los conjuntos de rotación para mapas homotópicos a la identidad, son convexos compactos del plano, según establecieron Misiurewicz y Ziemmian en 1989 [1]. A partir de esto, se ha desarrollado la teoría de rotación en T2, donde preguntas fundamentales siguen abiertas. Un problema central es la conjetura de Franks-Misiurewicz (1990) [2], para la cuál se han alcanzado recientemente avances significativos, según el artículo [3]. Este trabajo además de finalizar el estudio de la conjetura para el caso minimal, deja planteado un camino a recorrer para el caso general. En esta charla se introducirá el contexto señalado, y se presentará un resultado reciente de los mismos autores de [3] que da cuenta de otro avance significativo para la respuesta general a la conjetura. [1] Rotation sets for maps of tori. M. Misiurewicz, K. Ziemian. J.L.M.S. [2] Rotation sets of toral flows. J. Franks, M. Misiurewicz. P.A.M.S. [3] The Franks-Misiurewicz conjecture for extensions of irrational rotations. A Koropecki, A. Passeggi, M. Sambarino. arxiv.

Anosov topológicos en el plano

En la ultima charla probé que un Anosov topológico (shadowing topológico + expansividad topológica) en el plano que es el tiempo 1 de un flujo es conjugado a una homotecia. En esta charla contaré algunos resultados en la misma dirección que tenemos para homeomorfismos en general. A modo de ejemplo, un atractor expansivo en el plano no puede ser Anosov topológico. Todo esto es parte de una investigación en equipo con Gonzalo Cousillas y Jorge Groisman y que esta en pleno proceso creativo :)

Abundancia e incoherencia de parcialmente hiperbólicos en fibrados en círculos

Junto a Bonatti, Gogolev, Hammerlindl y Parwani hemos recientemente construido varios nuevos ejemplos de dinámicas parcialmente hiperbólicas en 3-variedades que presentan un nuevo desafío en la clasificación de estas. En esta charla me gustaría contar algunas propiedades que descubrimos de algunos de estos nuevos ejemplos que nos sorprendieron y nos costó aceptar que se cumplían. En particular, algunos de los ejemplos no admiten una foliación central invariante. (Ver https://arxiv.org/abs/1706.04962 .)

Observando Mapas Expansivos

Se dice que m funciones f : X --> R^m observan el sistema dinámico T : X --> X sii para cada x<>y existe n>=0 tal que f(T^n x)<>f(T^n y). Se denota con Obs(T) al mínimo m tal que existe f : X --> R^m que observa a T. Bajo ciertas condiciones generales (que involucran hipótesis sobre el conjunto de puntos periódicos) se puede probar que, para T inyectiva, una f : X --> R (m=1) genérica observa a T (Teorema de Y. Gutman), y en consecuencia Obs(T)=1. En particular se obtiene que para un homeomorfismo expansivo T, se tiene Obs(T)=1. En un trabajo de 2016 en colaboración con Alfonso Artigue e Ignacio Monteverde consideramos la extensión del teorema de Gutman para el caso de dinámicas T localmente inyectivas y aplicamos el resultado para calcular Obs(T) cuando T es expansivo al futuro. Para ir pensando: Obs(z^2) = 2 en el círculo. Obs(z^2 x z^2) = ? en el toro. Finalmente mostramos que la expansividad (o expansividad al futuro) de un sistema dinámico T se puede expresar de forma equivalente mediante una noción de "observabilidad fuerte". Es en esta definición alternativa de expansividad en la que se origina este trabajo.

Velocidad positiva para caminatas al azar

Probamos una "fórmula tipo Furstenberg" con la cual obtenemos que algunas caminatas al azar tienen velocidad positiva. Los resultados generalizan el clásico teorema de Furstenberg que muestra que ciertos productos de matrices al azar tienen un exponente de Lyapunov positivo.

Elementos de distorsión en AEIT (transformaciones afines de intercambio de intervalos)

Resumen anterior: En este seminario se analizará como son los elementos de distorsión en el grupo de transformaciones afines de intercambio de intervalos. No se requiere ningún conocimiento previo ya que empezaremos con las definiciones básicas. Resumen 2da parte: Se darán las ideas importantes de la demostración del resultado principal, dejando de lado los detalles técnicos. Como la vez pasada, no se requiere ningún conocimiento previo para entender la charla.

Elementos de distorsión en AEIT

En este seminario se analizará como son los elementos de distorsión en el grupo de transformaciones afines de intercambio de intervalos. No se requiere ningún conocimiento previo ya que empezaremos con las definiciones básicas.

Parcialmente hiperbólicos con foliación central compacta.

Existen ejemplos de foliaciones por hojas compactas con volumen de hoja no uniformente acotado. Será que alguna de estas foliaciones pueda ser la foliación central de un difeomorfismo parcialmente hiperbólico? Damos una respuesta negativa a esta pregunta si el difeomorfismo es dinámicamente coherente de codimensión uno. La idea de la charla es contar un poco sobre esto. Es un trabajo en conjunto con Verónica De Martino.