Seminario de Sistemas Dinámicos (formato antiguo)

Tratermos de decir algunas cosas intersantes sobre foliaciones singulares, especialmente por superficies en variedades de dimensión 3 en donde se admiten algunas hojas singulares de dimensión 1 que son transversalmente "tipo centro". Posiblemente mencionemos también algún resultado del trabajo en curso en colaboración con Matilde Martinez.

Se dice que un homeo es Anosov Topológico si es expansivo topológico y satisface la propiedad del sombreado topológico. El objetivo de la charla es la prueba del siguiente teorema: Teorema: Todo homeomorfismo de Anosov topológico en el plano es conjugado a una homotecia o a una homotecia reversa. Para ello estudiaremos la topología de las piezas básicas dadas por la descomposición espectral para Anosov Topológicos probado en el artículo "Spectral decomposition for topologically Anosov homeomorphisms on non-compact and non-metrizable spaces." T. Das, K. Lee, D. Richeson, J. Wiseman. Esa charla se basa en un trabajo conjunto con Juliana Xavier y Jorge Groisman.

Sea X un espacio métrico propio y \Gamma un subgrupo discreto de isometrías de X. El problema de conteo orbital es el siguiente: dado un punto o de X, estudiar el comportamiento asintótico de la función que cuenta, para cada t>0, la cantidad de elementos de \Gamma que desplazan o menos que t. Este problema ha sido largamente estudiado en diferentes contextos por autores entre los que se encuentran Margulis, Roblin, Eskin & McMullen, Quint y A. Sambarino. Para mi tesis de doctorado me propongo estudiar el problema de conteo orbital cuando X=G/H con G un grupo de Lie y H un subgrupo no compacto. En este caso, X no admite una métrica G-invariante y debe encontrarse una nueva definición del problema. En esta charla intentaremos dar una motivación para el estudio de este tipo de problemas así como de establecer las dificultades que impone el estudio del caso X=G/H con H no compacto. Discutiremos posibles definiciones del problema en un caso particular: el espacio hiperbólico de signatura (p,q) y comentaremos cómo obtener un conteo orbital cuando \Gamma es un grupo de Anosov (en el sentido de Labourie).

Discutiremos a noção de hiperbolicidade topológica e os principais resultados da dinâmica de tais sistemas. Consideramos também generalizações dessa noção a partir de generalizações de expansividade consideradas recentemente na literatura. Mostraremos as semelhanças e diferenças de sua dinâmica em comparação com a dinâmica topologicamente hiperbólica.

Los juegos infintios han servido como herramienta en varias aplicaciones en lógica, combinatoria, y otras areas. Lo que los hace interesantes en la teoría de la computabilidad es la alta complejidad que pueden llegar a tener las estrategias para juegos relativamente simples. En esta charla, describiremos estos juegos, tal vez jugemos un poco, y explicaremos los conocimientos básicos necesarios para entender la respuesta---dada por el autor y Richard Shore---a la siguiente pregunta: ¿Cuánta determinación de juegos puede demostrarse sin usar objetos no numerables?

En el intento de intentar describir aquellos subgrupos discretos de grupos de matrices (o de Lie) que al ser deformados continúan siendo discretos, recientemente Labourie introdujo la noción de representación de Anosov que permite describir una clase grande de tales subgrupos (que en el caso de grupos Gromov hiperbólicos contiene a todos los ejemplos conocidos de este fenómeno). En un trabajo en curso junto a F. Kassel proponemos una caracterización de dichos grupos que optimiza un resultado previo de ella junto a Gueritaud, Guichard y Wienhard removiendo una hipótesis innecesaria. Esta caracterización a través de valores propios responde a una pregunta que nos había quedado pendiente en un trabajo anterior junto a Bochi y Sambarino donde consideramos caracterizaciones basadas en valores singulares. Intentaré motivar la pregunta desde su vínculo con la dinámica diferenciable y explicar cuales son las diferencias producto de trabajar con solamente finitas matrices.

Estudiamos mapas continuos en una variedad topológica compacta de dimensión finita, con o sin borde. Probamos que genéricamente dichos mapas tienen medidas ergódicas con entropía métrica infinita. Más aún, probamos que existen sucesiones de medidas ergódicas con entropía infinita que convergen en la topología débil-estrella a medidas ergódicas con entropía nula. Como consecuencia la función entropía es fuertemente no semi-continua superiormente. Este es un trabajo conjunto con Serge Troubetzkoy.

F.Loray conjeturo que un gérmen de holonomía entre dos transversales algebraicas de una foliación algebraica del plano proyectivo complejo siempre puede ser continuado analíticamente a lo largo de cada camino que evita numerables puntos, las singularidades. G.Calsamiglia, B.Deroin, S.Frankel y A.Guillot probaron que ciertas foliaciones de Riccati son contraejemplos, y que tambien la conjetura es falsa para foliaciones algebraicas genéricas del plano proyectivo complejo. En esta charla explicaré como se puede usar herramientas de teoria ergódica para dar otra respuesta negativa a esta conjetura. Usando la teoria ergódica del flujo geodésico foliado probaremos que para foliaciones de Riccati, "caminos genéricos" llevan todo germen de holonomia a una singularidad. Es un trabajo en comun con N. Hussenot.

Para difeomorfismos, sabemos que un difeo estrella es uniformemente hiperbólico y por lo tanto sus clases de recurrencia son aisladas transitivas y finitas. Esto es una consecuencia del Teorema de estabilidad del Teorema espectral. Esto nos da una muy buena comprensión del comportamiento de las órbitas de estos sistemas. Para flujos estrellas, la existencia de singularidades hace que estemos lejos de obtener una comprensión tan completa. En particular no sabemos si las clases de recurrencia son aisladas (que no sean acumuladas por otras clases). El objetivo de esta charla es contar un trabajo en proceso con Jin Hua Zang y Javier Correa en el que mostramos ciertas condiciones para asegurar que una clase de recurrencia de un flujo estrella sea aislada. En particular estas técnicas permiten encontrar nuevos ejemplos en el caso de flujos de conjuntos robustamente transitivos por cadenas que no son robustamente transitivos. Hasta ahora el único ejemplo conocido es para difeos parcialmente hiperbólicos.

Abstract: These diffeomorphisms exhibit weaker forms of hyperbolicity and are extremely common. We study these in dimension 3 and prove some rigidity or classification results. We assume that the diffeomorphism is homotopic to the identity, and show that certain invariant foliations associated with the diffeomorphism have a structure that is well determined. This has some important consequences when the manifold is either hyperbolic or Seifert: under certain conditions we prove the diffeomorphism is the time one map of a topological Anosov flow.

A classical result of (uniformly) hyperbolic theory, due to Sigmund, asserts that the Dirac measures along periodic orbits are dense in the space of invariant measures and one can obtain, as consequence, that for topologically mixing basic pieces, the Bernoulli measures are also dense, showing the richness of this space. Latter developments showed that some "local" source of hyperbolicity suffices to these approximation results, like for C1 generic diffeomorphisms and non-uniformly hyperbolic diffeomorphisms. Therefore, the question we address is the following: can we reproduce these ergodic approximations in the partially hyperbolic context? In this talk we will discuss how to use Blenders and minimality of both strong foliations to approach ergodic measures by uniformly hyperbolic horseshoes whose entropy and Lyapunov exponent resembles those of the given measure. This is a joint work with Lorenzo Diaz and Katrin Gelfert.

La monografía es sobre teoría de rotación del toro, la columna vertebral es el artículo de J.Kwapisz : "Every convex polygon with rational vertices is a rotation set" y "rotation sets for maps of tori" de Misiurewicz-Ziemian . Para el viernes pienso hacer una muy breve introducción con lo básico de teoría de rotación, ver el resultado de M-Z sobre la convexidad del conjunto de rotación y ver las construcciones de Kwapisz de homeos cuyo conjunto de rotación es un polígono racional.

Un difeomorfismo $f:M \to M$ es parcialmente hiperb\'olico si existe una descomposici\'on del fibradotangente en tres subfibrados $Df$-invariantes: $TM=E^{s}\oplus E^{c}\oplus E^{u}$ tal que los vectores en$E^{s}$ y $E^{u}$ contraen vectores uniformemente a futuro y a pasado respectivamente y elcomportamiento de los vectores en el fibrado central es intermedio. El cl\'asico teorema de la variedad estable nos dice que en cada punto de la variedad $M$ existenfoliaciones $\mathcal{W}^{s}$ y $\mathcal{W}^{u}$ invariantes por $f$ y tangentes a los fibrados $E^{s}$ y $E^{u}$ respectivamente. Cuando tambi\'en existen estas foliaciones para los fibrados centro-estables ycentro-inestables decimos que el difeomorfismo $f$ es \textit{din\'amicamente coherente}. El objetivo de esta tesis es probar la coherencia din\'amica de difeomorfismos parcialmente hiperb\'olicosen ciertas clases de isotop\'ias de difeomorfismos de Anosov lineales extendiendo un resultado de T. Fisher, R. Potrie y M. Sambarino al caso de nilvariedades. (ESTA CHARLA SERÁ TAMBIÉN LA DEFENSA DE LA TESIS DE MAESTRÍA)

En esta charla hablaremos de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos con foliación central compacta, y de cuándo dicha foliación tiene volumen acotado. Voy a contar un resultado de A. Gogolev para cuando la foliación central es una foliación por círculos y f es de codimensión hasta cuatro.

En un trabajo en curso con T. Bartheleme, S. Fenley y S. Frankel estudiamos difeomorfismos parcialmente hiperbólicos isotópicos a la identidad en 3-variedades. En particular, esto cubre todos los difeomorfismos de 3-variedades hiperbólicas a menos de tomar un iterado finito gracias al teorema de rigidez de Mostow. Obtenemos una dicotomía bastante precisa de los comportamientos posibles y utilizando algunas propiedades específicas de las 3-variedades hiperbólicas (como la existencia de flujos pseudo-Anosov transversos a ciertas foliaciones) conseguimos mostrar que si el difeomorfismo admite una foliación central invariante entonces es conjugado por hojas a un flujo de Anosov topológico dando una respuesta afirmativa a una conjetura de Hertz-Hertz-Ures en esta clase de variedades. Intentaré contar algo sobre este trabajo, particularmente los argumentos que mezclan la geometría de las 3-variedades hiperbólicas con las dinámicas parcialmente hiperbólicas.

Un conocido resultado de Brouwer afirma que todo homeomorfismo del plano del plano que preserva orientación y tiene un punto periódico, tiene también un punto fijo. La idea de esta charla es comentar un resultado de P. Le Calvez, un poco más preciso: todo punto periódico induce la existencia de un punto fijo, alrededor del cual está girando.

Un teorema famoso de E.LIMA dice que para toda acción C^1 de R^k en una superficie cuya característica de Euler no es nula, existe un punto fijo global. Equivelntemente, k campos de vectores que conmutan en una superficie tienen un cero en común. En esta charla contaré una estrategia global que elaboramos junto con C.Bonatti (UB, Dijon) y B.Santiago (UFF, Niteroi) para resolver el caso de 2 campos de vectores de clase C^3 que conmutan en una variedad de dimensión 3, y enunciaré nuestros recientes avances.

Dado un homeomorfismo sin puntos periódicos del $2$-toro, nos interesa determinar condiciones necesarias y suficientes que nos permitan garantizar que dicho homeomorfismo es una extensión topológica de una rotaciones irracional del círculo. Es bien sabido que la acotación uniforme de los desvíos rotacionales (con respecto a una dirección racional) es una condición necesaria, que sin embargo no es suficiente ya que la propiedad de ''anularidad´´ y la existencia de puntos errantes pueden representar una obstrucciones para ello. En esta charla presentaremos un resultado reciente en el que se dan condiciones topológicas/geométricas ''sharp´´ acerca del conjunto de puntos errantes bajo las cuales podemos garantizar la existencia de dichos factores.

Consideramos representaciones desde un grupo de superficie cerrada a Homeo^+(S^1). Kathryn Mann ha probado que las representaciones geométricas (ie, que levantan una representación fiel y discreta en PSL(2,R)) son rígidas (ie, todas sus deformaciones son semi-conjugadas). Junto con ella, probamos la recíproca: todas las representaciones rígidas son geométricas.