Dada una variedad M ¿qué tipo de geometrías puede soportar? Recíprocamente si M soporta cierta geometría ¿qué podemos decir de su topología? En esta charla introduciremos el concepto de (G,X)-estructura que permite formalizar este tipo de preguntas. Mostraremos que tales estructuras tienen canónicamente asociada una representación, la holonomía, que contiene información tanto de la topología como de la geometría de la variedad. Luego nos concentraremos en el caso tridimensional, introduciendo las 8 geometrías de Thurston y discutiendo ejemplos de variedades compactas modeladas en ellas.
Seminario de Estudiantes
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Un teorema que a primera vista suena bastante obvio es el siguiente: un mapa entre Rn y Rm es un isomorfismo (diferenciable, topológico) sí y solamente sí n=m. Esta pregunta surge muy naturalmente por ejemplo cuando queremos ver que la dimensión de una variedad esta bien definida. El caso diferenciable es bien sabido que es sencillo pero el caso topológico es mucho más difícil (de hecho estuvieron años para hacer una prueba rigurosa, si no me equivoco la primera fue de Brouwer), la prueba moderna estándar equivale a armar maquinaria de topología algebraica. La idea de la charla es presentar las razones por la cuales no es obvio en el caso continuo, ver una prueba elemental (basada en un blog de Tao) que nos va a dar algo más fuerte y si da el tiempo y el 1 de Mayo resulta productivo para el expositor comentar las pruebas originales.
Sea T: N -> N tal que T(n) = 3n+1 si n es impar y T(n) = n/2 si n es par. La conjetura de Collatz se pregunta si para todo n natural, la órbita de n pasa en algún momento por 1. Este problema, tan simple de formular, fue considerada por Paul Erdos "un problema para el cual la matemática aún no está preparada". El objetivo de esta charla es ver algunas equivalencias desde el lado analítico y otros comentarios que han hecho distintos matemáticos. La charla estará basada principalmente en el artículo “Functional equations connected with the collatz problem” de Berg y Meinardus. La charla va a ser autocontenida y se explicará todo lo que se use.
Dada una variedad M ¿qué tipo de geometrías puede soportar? Recíprocamente si M soporta cierta geometría ¿qué podemos decir de su topología? En esta charla introduciremos el concepto de (G,X)-estructura que permite formalizar este tipo de preguntas. Mostraremos que tales estructuras tienen canónicamente asociada una representación, la holonomía, que contiene información tanto de la topología como de la geometría de la variedad. Luego nos concentraremos en el caso tridimensional, introduciendo las 8 geometrías de Thurston y discutiendo ejemplos de variedades compactas modeladas en ellas.
En esta charla se presentará el ejemplo del atractor Smale-Williams, un espacio topológico bastante loco adentro del toro sólido. Veremos algunas propiedades dinámicas del atractor y se usará como camino para exponer sobre la estabilidad estructural de difeomorfismos en variedades diferenciables, donde informalmente veremos algunos teoremas y conjeturas que siguen abiertas: i) Conjetura de estabilidad Ω de Smale y ii) Conjetura Palis-Smale. La charla será autocontenida.
Un nudo (dócil) es un encaje (suave) de S^1 en R^3, aunque lo que más nos interesa es la imagen de dicha función. La gran pregunta de la teoría de nudos es, dados dos nudos K y K', saber si existe un difeomorfismo de R^3 en R^3, isotópico a la identidad, tal que la imagen de K sea K' (o sea, saber si K y K' son el mismo nudo). Como dicha pregunta suele ser complicada, lo que se hace es construir invariantes, o sea, funciones cuyo dominio sea el espacio de todos los nudos, tal que la imagen de dos nudos iguales sea la misma. Presentaré las definiciones básicas, y algunos ejemplos para generar un poco de intuición. Luego veremos algunos ejemplos de invariantes, y algunas interacciones entre geometría y nudos.