Seminario de EDPs y Afines (IMERL)

A fines de los 80', motivada por la búsqueda de soluciones en compactificaciones de dimensiones más altas, surge la cuestión de la existencia de análogos periódicos a las soluciones asintóticamente planas ya conocidas en 4 dimensiones espacio-temporales. Uno de los primeros resultados fue el análogo periódico a la solución de Schwarzschild, solución estática que puede construirse analíticamente. Su cubrimiento universal corresponde a una solución con infinitos agujeros negros coaxiales y equidistantes. La pregunta natural es si existen soluciones periódicas cuando las soluciones asintóticamente planas tienen momento angular no nulo. Las ecuaciones en este caso son no-lineales y las condiciones de borde son inusuales, lo cual ha dado lugar al intento de varios métodos en los últimos años. En esta charla hablaremos de este problema, sus varios enfoques, y mostraremos un estudio numérico que realizamos junto con Martín Reiris y Omar Ortiz (FAMAF).

We propose a monotone, and consistent numerical scheme for the approximation of the Dirichlet problem for the normalized Infinity Laplacian, which could be related to the family of so–called two–scale methods. We show that this method is convergent, and prove rates of convergence. These rates depend not only on the regularity of the solution but also on whether or not the right-hand side vanishes. Some extensions to this approach, like obstacle problems and symmetric Finsler norms are also considered.

Ver adjunto.

El sistema de Smoluchowski-Poisson es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales de tipo parabólico-elíptico, y se utiliza para modelar materia autogravitante y, más generalmente, sistemas de muchas partículas que obedecen ciertas leyes de interacción.

La evolución de este sistema está sujeta a leyes termodinámicas, como conservación de masa y decrecimiento de la energía libre, y la ecuación que se obtiene al intentar caracterizar los estados estacionarios para la energía libre aparece con diferentes nombres y en diferentes contextos tales como geometría diferencial, teoría de combustion y biología matemática. 

Entender el espacio de soluciones estacionarias permite (al menos en el caso de dimensión n=2), comprender los mecanismos por los cuales surgen explosiones en tiempo finito, y es esperable también sea así en dimensiones más altas. Sin embargo, hay varias cuestiones relativas al caso estacionario en dimension mayor a dos que aún siguen abiertas, como entender el espacio de soluciones o estudiar su estabilidad.

La idea para la charla es introducir el problema de Smoluchowski-Poisson, mencionar algunas de sus propiedades básicas y luego centrarnos en el estudio de las soluciones estacionarias, prestando especial atención al caso de dimensión n=3 con simetría esférica. 

Comenzaremos charlando sobre la ecuación de Einstein y cómo luce la misma en coordenadas. Esto nos llevará a hablar sobre la formulación de la misma como un problema de valores iniciales. Luego de esto comentaré un poco qué estoy haciendo en mi tesis. Hablaremos sobre un resultado de estabilidad de cierta solución, y si nos da el tiempo cómo se llega a dichos resultados.

El Flujo de Variación Total (FVT) surge al considerar una de las estrategias más populares en el procesamiento de imágenes y corresponde a una difusión isotrópica en cada conjunto de nivel, pero sin difusión a través de diferentes conjuntos de nivel. Con el objetivo de estudiar el FVT, vamos a pasear por el escabroso mundo de los operadores elípticos no lineales degenerados. En el FVT aparece el 1-laplaciano, que es un operador (no estrictamente) convexo. Una estrategia habitual para tratar con el 1-laplaciano consiste en "convexificarlo", y puede conducir al Flujo de Curvatura Media para gráficos. Vamos a considerar el llamado problema de Plateau para gráficos mínimos y vamos a observar ciertas rigideces del mismo. Esto nos motiva a introducir una "relajación" mediante el uso de la llamada curvatura media fraccionaria. Finalmente, vamos a discutir el buen planteo del problema de Plateau fraccionario, cómo aproximar sus soluciones mediante el método de elementos finitos -lo que introduce un parámetro de aproximación- y qué se puede esperar en el límite en que los parámetros de convexificación, relajación y aproximación tienden a 0.

La charla va a tener muchos dibujos y pocas cuentas.

Ver adjunto.