Seminario de Álgebra y temas afines - Año 2019

Si k es un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, consideramos el anillo diferencial (k[x,y],D), donde D es una k-derivación del anillo de polinomios k[x,y]. En objetivo de la charla es determinar en qué condiciones el grupo de automorfismos de un tal par, que consiste en los k-automorfismos polinomiales que conmutan con D, es un grupo algebraico. El contenido de la charla es parte de un trabajo en colaboración con Rene Baltazar, de la Universidad Federal de Río Grande .

Los grupos de cohomología (con coeficientes complejos) de toda variedad proyectiva lisa compleja admiten una estructura de Hodge pura. Si se tiene una familia lisa de variedades proyectivas (v.g. parametrizada por un abierto de la recta proyectiva), bien puede pasar que al cerrar la familia se obtengan fibras singulares. En general los grupos de cohomología asociados a estas fibras singulares ya no tienen una estructura de Hodge pura, pero es posible definir una estructura de Hodge mixta para estos grupos de cohomología y estudiar la relación de esta estructura mixta con los grupos de cohomología originales.

Si comenzamos con una familia equisingular, entonces los grupos de cohomología correspondientes ya no tienen una estructura de Hodge pura, sino mixta; ¿qué sucede con la estructura de Hodge mixta de las fibras que se obtienen al cerrar la familia?

Definiremos los conceptos de estructura de Hodge pura y mixta así como algunas de las técnicas empleadas en el estudio de estos problemas.

En los ultimos años, el lenguaje de categorías modulares ha probado ser un lenguaje natural para el estudio de interesantes problemas en fı́sica y matemáticas. Por dar algunos ejemplos podemos mencionar problemas clasificación de álgebras de Hopf, invariantes de nudos, invariantes de variedades en dimensión 3, u órdenes topológicos en fı́sica.

La importancia de describir las extensiones modulares mínimas de una categoría super-tannakiana fue manifestada por Lan, Wen , y Kong desde el punto de vista físico, para clasificación de órdenes topológicos. Lo que se busca en esta presentación en motivar la importancia de las mismas desde un punto de vista puramente matemático, mostrando la conexión de este problema con las extensiones de categorías no degeneradas y casi-degeneradas.

En la primera parte de la presentación trataremos el problema de las extensiones modulares para categorías con centro de muger tanakiano, lo cual motivará muchos de los resultados que se darán en la segunda parte. Finalmente, mostraré que las extensiones modulares mínimas de una categoría super-tannakiana pueden parametrizarse en términos cohomológicos usando ciertos funtores llamados equivariantización y de-equivariatización, así como su conexión con extensiones cruzadas y homomorfismos de 2-categorías.

The Chomsky Hierarchy classifies formal languages in four types, according to the automata which generates them. An analogous hierarchy can be built for groups by relating properties of the groups with properties on their language of the Word Problem. The first two steps of such hierarchy were built with the results from Anisimov and from Muller & Schupp, the first stating that a group is finite if and only if it is a regular group; the second stating that a group is virtually free if and only if it is context-free. The next step is currently believed to have relation with co-context-free groups.

In this talk we introduce some automata theory, defining the Chomsky Hierarchy for languages and giving the main properties of regular and context-free languages, in order to present Anisimov’s, Herbst’s and Muller & Schupp’s theorems. After that, we give some important closure properties of the co-context-free groups, as well as some examples. We finish stating the still open conjecture from Lehnhert about co-context-free groups.

En el espacio de funciones f(c,x) soluciones de la ecuación [(d/dx)² + u(x) - c] f = 0, donde c es una constante compleja y u(x) una función periódica (digamos de período 1), el operador de monodromía T: f(c,x) --> f(c,x+1) actúa linealmente. Se dice entonces que el operador de Schrödinger (d/dx)² + u(x) es finite-gap sii existe sólo un número finito de valores c tales que el operador T tiene un valor propio doble. En tal caso se puede decir que, excepto para un número finito de complejos c, tenemos dos rectas propias (del operador T). Basta esto para definir un revestimiento doble de la recta proyectiva, o dicho de otro modo, una curva hiperelíptica, ramificada en todos los valores c donde hay un único valor propio. Recíprocamente, partiendo de tal curva se puede recuperar la función f(c,x) y el "potencial" de Schrödinger u(x), ambos en términos de la función theta de la variedad jacobiana de la curva.

En caso que la función u(x) sea doblemente periódica, tal curva es un revestimiento (de grado arbitrario n) de la curva elíptica correspondiente al retículo de la recta compleja definida por el par
de períodos de u(x). Es más, estos revestimientos se obtienen como divisores de una superficie algebraica, revestimiento doble de otra que es racional. Los potenciales correspondientes son sumas de n trasladados de la función de Weierstrass. Entre estos potenciales, aquellos que son funciones pares corresponden a los medio-períodos de la jacobiana de la curva hiperelíptica. Su caracterización explícita es un problema que está aún por resolver.

Sea k un cuerpo y denotemos por $\Pn$ el espacio proyectivo de dimensión n sobre k. El conjunto $Bir(\Pn)$ de aplicaciones birracionales $f:\Pn--->\Pn$ es el llamado grupo de Cremona de dimensión n sobre k. Para una variedad algebraica A sobre k, hay una noción natural de familia de elementos de $Bir(\Pn)$ parametrizada por A. Dicha familia la anotamos $A\to Bir(\Pn)$ y estas familias dan lugar a la topología de Zariski de $Bir(\Pn)$.

En 1966, I.R. Shafarevich preguntó: ''Es posible introducir una estructura universal de grupo de dimensión infinita en el grupo de automorfismos (automorfismos birracionales) de una variedad algebraica arbitraria?''.

En esta charla se expondra un trabajo realizado por J. Blanc y J.P. Furter en 2013 donde se responde por la negativa dicha pregunta para el caso $\Pn$.

Dado un objeto geométrico X, entender sus automorfismos (los isomorfiismos de X en X) es una herramienta muy útil a la hora de entender sus propiedades geométricas. Por ejemplo, si dados dos puntos x,y de X existe un automofirmo f que lleva x en y entonces la geometría local de X es la misma en todos sus puntos. Resulta entonces interesante dotar a este conjunto de automorfismos de una estructura geométrica. Pero el conjunto de automorfismos de X es en general muy grande, y no siempre es posible dotarlo de la estructura geométrica deseada.

El objetivo de esta charla es presentar las ideas de más arriba en el contexto de la geometría algebraica: mostraremos como construir una topología en el conjunto de automorfismos de una variedad algebraica , para ver luego cómo esta idea es muy cercana a la construcción de los esquemas como functores.

En la segunda mitad de la charla daremos 3 ejemplos de uso de estas ideas: en el estudio de los monoides algebraicos, de las transformaciones birracionales de una variedad en sí misma (el grupo de Cremona) y en el estudio de los endomorfismos de una variedad algebraica. Este último tema de trabajo forma parte de un proyecto de trabajo conjunto en busca de financiación.

La charla priorizará la presentación de las ideas y no la de los resultados involucrados.

Si X es un espacio topológico, el conjunto de funciones continuas a valores reales C(X) es un anillo con unidad que refleja ciertas propiedades de X. En un trabajo conjunto con Alfonso Artigue, estudiamos como se refleja la expansividad de homeomorfismos de X en el anillo C(X), y a partir de ahí, proponemos una noción de expansividad para automorfismos de anillos conmutativos y probamos algunos resultados en este contexto, en particular una versión algebraica del conocido como Teorema de Utz.

En esta charla explicaremos la noción topológica de expansividad , algunos ejemplos y resultados, mostraremos cómo se refleja en el anillo de funciones, y presentaremos la definición que proponemos, así como ejemplos y algunos resultados obtenidos en el contexto algebraico.

The classical ping-pong lemma, first discovered by Felix Klein, is a fundamental tool in group theory to detect free subgroups in a given group. For instance, it is central in the celebrated Tits' Alternative. Generalizations to amalgamated products and HNN extensions were formulated by Fenchel and Nielsen in unpublished notes that were circulating in the 50s, and were used in later important developments of geometric and combinatorial group theory, such as Stallings's theory or Maskit combination theorems for Kleinian groups. Motivated by a long-term project which aims at a classification of group actions on the circle, we formulate a generalization of the ping-pong lemma for fundamental groups of graph of groups. Joint work with J. Alonso, S. Alvarez, D. Malicet, C. Menino.

Las derivaciones de un álgebra, divididas por las interiores, forman el primer grupo de cohomologia de Hochschild. Cuando el algebra es de dimensión finita sobre un cuerpo, la presentamos como un cociente de una álgebra de carcaj. Junto con M. Lanzilotta, E. Marcos, S. Schroll y A. Solotar, establecimos una formula que calcula la variación de la dimensión cuando se agrega una familia de flechas al carcaj. La herramienta principal es una sucesión exacta corta que hace intervenir cohomologia relativa.

Surgiendo al final de los 50 y comienzos de los 60, a partir de preguntas sobre la existencia de representaciones fieles de los grupos de Lie, el concepto de observabilidad en su desarrollo de casi sesenta años ha marchado de la mano con algunos de los temas cruciales de la teoría de invariantes (geométrica y algebraica). Aun cuando las generalizaciones y las herramientas de trabajo tienen hoy un alto grado de sofisticación, mostraremos como la mayoría de los nuevos desarrollos pueden ser vistos como una evolución natural del trabajo inicial sobre la teoría realizado en 1963. Hoy, el concepto original y sus generalizaciones, son una componente esencial en la caja de herramientas de la teoría moderna de invariantes.