Modularidad de superficies abelianas

El programa de Langlands predice conexiones profundas entre la geometría y las formas automorfas, que se codifican a través de funciones L y representaciones de Galois asociadas. El teorema de modularidad de curvas elípticas sobre Q es un caso importante de este programa, muy conocido por completar la demostración del "último teorema de Fermat". Recientemente ha habido algunos avances en el caso de superficies abelianas sobre Q. -- En esta charla voy a comenzar explicando el significado de modularidad en términos de representaciones de Galois, en el caso de curvas elípticas y en el caso de superficies abelianas. Para terminar presentaré un trabajo reciente [1] en el que demostramos la (para)modularidad de algunas superficies abelianas, mediante un algoritmo explícito para decidir si dos representaciones de Galois son equivalentes conociendo solamente sus trazas de Frobenius para una cantidad finita de primos. [1] Brumer-Pacetti-Poor-Tornaría-Voight-Yuen, On the paramodularity of typical abelian surfaces https://arxiv.org/abs/1805.10873