Coloquio informal de estudiantes

Lunes 15:00hs - Salon de seminarios piso 14, CMAT.

Contacto: Alejandro Bellati (abellati@cmat.edu.uy)

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Dia 2022-09-19 15:00:00-03:00
Hora 2022-09-19 15:00:00-03:00
LugarSalon de seminarios piso 14, CMAT.

Percolación y transición de fase

Nicolás Frevenza (IESTA)

En un grafo infinito $G = (V,E)$ se realiza el siguiente procedimiento: para cada arista se sortea su permanencia en el grafo; con probabilidad $p$ se la mantiene y se la borra con probabilidad $1-p$. El resultado es un grafo aleatorio que se denomina proceso de percolación de parámetro $p$. En esta charla estudiaremos algunas características de este grafo aleatorio que presentan una transición de fase: ante cambios infinitesimales en el valor de $p$, el cambio cualitativo y cuantitativo en el grafo es muy grande. La percolación es un modelo muy sencillo para estudiar las transiciones de fase pero al mismo tiempo es un área de investigación muy actual, donde los problemas principales y las conjeturas son fáciles de enunciar.

Dia 2022-09-12 15:00:00-03:00
Hora 2022-09-12 15:00:00-03:00
LugarSalon de seminarios piso 14, CMAT.

Introduciendo el programa de Zimmer

Joaquín Lejtreger (Cmat)

Dada una variedad de dimensión M, el grupo de difeomorfismos Diff(M) es en general enorme y difícil de estudiar. Para dar un ejemplo, si dim(M) > 2, entonces Diff(M) actúa transitivo en las k-tuplas de puntos para todo k > 0.

En esta charla exploratoria vamos a explorar resultados del tipo: "¿Qué restricciones puede haber para que cierto grupo Gamma actúe de manera "interesante" en una variedad M?"

Inspirados en el teorema de super rigidez de Margulis, en los últimos años se han demostrado ciertos resultados enmarcados en una conjetura general llamada "Programa de Zimmer".

Para poder empezar a dar una respuesta, va a ser necesario dar una breve introducción a la teoría de subgrupos discretos de grupos de Lie.

Dia 2022-08-22 15:00:00-03:00
Hora 2022-08-22 15:00:00-03:00
LugarSalon de seminarios piso 14, CMAT.

Instantones de Yang-Mills

Richard Muñiz (Cmat)

La Teoría de Yang-Mills fue introducida en los 50's para modelar las interacciones fuertes en un lenguaje en el que puede describirse también la Teoría Electromagnética de Maxwell. Sorprendentemente, esta misma teoría resultó clave en el estudio de la clasificación de las variedades diferenciables de dimensión 4. En particular, permitió probar la escalofriante afirmación de que R^4 tiene más de una estructura diferenciable. Además de ser un ejemplo paradigmático de la interrelación entre Física y Matemática, es un tema que conjuga varias ramas de la Matemática.

En esta charlar les hablaré sobre qué son los instantones (matemáticamente) e intentaré hacer una somera, y llena de huecos, descripción de lo que acabo de decir, y posiblemente mencionar mi relación con ellos.

Dia 2022-08-15 15:00:00-03:00
Hora 2022-08-15 15:00:00-03:00
LugarSalon de seminarios piso 14, CMAT.

Contando Geodésicas cerradas simples en superficies

Joaquín Lema (Cmat)

Como seguro habrán escuchado en algún pasillo, el flujo geodésico en superficies hiperbólicas es Anosov. En particular, podemos esperar abundantes geodésicas cerradas. Una forma de cuantificar esto es ver como crecen las geodésicas cerradas de longitud < L. En esta dirección, Hubbard y Selberg prueban que esta cantidad es asintótica a e^L/2L.
En esta charla no hablaremos de eso, sino de una pregunta hermana. ¿Qué pasa si remplazamos geodésicas cerradas por geodésicas cerradas simples? (es decir, que no se autocortan). Esta pregunta resulta ser mucho más sutil, y fue una de las contribuciones de Mirzakhani en su tesis de doctorado. Incluso responder esta pregunta en el toro es interesante, ya que nos dice como crece (asintóticamente) la cantidad de (n,m) coprimos en Z^2 dentro de una bola B(0,L) en R^2. En orden creciente de ambición, el plan sería:

  1. Contarles el resultado asintótico en el caso del toro (~L^2) .

  2. Bosquejar como podemos arreglar la prueba para superficies hiperbólicas (~ L^{6g-6}) .

  3. Contar las contribuciones de Mizakhani.

Aprovecho para hacerle propaganda al survey “Counting problems from the viewpoint of Ergodic Theory” de Francisco Arana-Herrera. Me voy a basar fuertemente en esas notas.