Qué son los invariantes de la acción de un grupo

En esta charla informal hablaremos sobre qué son los invariantes de una acción de un grupo,

Una herramienta muy útil a la hora de clasificar objetos matemáticos es asociarles "invariantes" que nos den información sobre los objetos. Por ejemplo, sabemos que una curva y una superficie no son difeomorfas porque tienen diferente dimensión: la dimensión de una variedad diferenciable es un invariante que nos permite distinguir algunas variedades (pero no todas).  Otro ejemplo lo podemos tomar de los cursos de álgebra lineal: sabemos que dos matrices conjugadas tienen el mismo determinante pero que dos matrices tener el mismo determinante sin ser conjugadas.

Para entender cómo los grupos y sus acciones pueden aparecer, primero notemos que "invariante" es que no varía, por lo que tiene que haber algo que esté variando. En el caso de las matrices mencionado, si "movemos" a las matrices conjugándolas con diferentes matrices invertibles, tenemos que el determinante no varía:  logramos hacer entrar en juego un grupo y una acción --- el grupo es el de las matrices invertibles  GLn  ty su acción es la conjugación.

La idea es concentrarse en los invariantes que ya conocemos de los cursos de álgebra lineal (polinomio característico, polinomio minimal entre otros),  viéndolos bajo esta óptica, y usar este ejemplo para ver las definiciones básicas. Veremos además qué rol juegan las formas canónicas en toda esta historia. 

Si me da el tiempo, conversaremos  un poco del otro ejemplo, que está en la base de un desarrollo muy interesante.