Relative Lp and Orlicz cohomology and Applications to Heintze groups - Emiliano Sequeira (2020)

Este trabajo consta de dos partes. En la primera se define la cohomología \(L^p\) de ciertos espacios métricos Gromov-hiperbólicos relativa a un punto de su borde al infinito. Esto se hace en dos diferentes contextos. Primero se desarrolla una versión simplicial, definida para complejos simpliciales de geometría acotada. Se prueba aquí, al igual que como se hace en el caso clásico, que esta es invariante por cuasi-isometrías bajo cierta condición de contractibilidad. Luego se define una versión relativa de la cohomología \(L^p\) de De Rham en el caso de variedades Riemannianas. Se estudia la relación entre estas dos definiciones, lo que permite concluir que también esta segunda versión es invariante por cuasi-isometrías bajo ciertas hipótesis. Como aplicación de lo anterior se estudia la cohomología \(L^p\) relativa a un punto distinguido en el borde de los grupos de Heintze de la forma \(\mathbb{R}^{n−1} \rtimes \mathbb{R} \), donde la derivación α tiene valores propios reales positivos \(λ_1 ≤ · · · ≤ λ_{n−1}\). Como consecuencia se obtiene que los números \(\frac{λ_1}{ tr(α)},, . . . ,\frac{λ_{n−1}}{tr(α)} \) son invariantes por cuasi-isometrías. En la segunda parte se trabaja con la cohomología de Orlicz, que es una generalización de la cohomología \(L^p\). Aquí también se define una versión relativa y se adapta la prueba de la invarianza por cuasi-isometrías de la cohomología de Orlicz simplicial. Como resultado central de esta segunda parte se prueba la equivalencia entre la cohomología de Orlicz simplicial (relativa) y la cohomología de Orlicz-de Rham (relativa) para grupos de Lie. Una importante consecuencia de esto es la invarianza por cuasi-isometrías de la cohomología de Orlicz-de Rham en el caso de los grupos de Lie contractibles.