Quantitative aspects of Anosov subgroups - León Carvajales (2020)

El objeto de esta tesis es el estudio del problema de conteo orbital para pares simétricos pseudo-Riemannianos bajo la acción de subgrupos del tipo Anosov del grupo de Lie subyacente. En la primera parte estudiamos este problema para el par simétrico \((PSO_{(p, q)},PSO_{(p, q − 1)})\) y un subgrupo de \(PSO_{(p, q)}\) de tipo proyectivamente Anosov. Miramos la órbita de una copia geodésica del espacio simétrico Riemanniano de \(PSO_{(p, q−1)}\) dentro del espacio simétrico Riemanniano de \(PSO_{(p, q)} \). Demostramos un comportamiento asintótico puramente exponencial, cuando \(t\) tiende a infinito, para el número de elementos en esta órbita que se encuentran a distancia menor que \(t\) de la copia geodésica original. Interpretamos este resultado como el comportamiento asintótico del número de segmentos geodésicos de tipo espacio (en el espacio hiperbólico pseudo-Riemanniano) de longitud máxima \(t\) en la órbita de un punto base. Probamos resultados análogos para otras funciones de conteo. A continuación miramos el par \((PSL_d(\mathbb{R}),PSO_{(p, d − p)})\) y un subgrupo Borel-Anosov de \(PSL_d(\mathbb{R})\). Presentamos contribuciones hacia la comprensión del comportamiento asintótico de la función de conteo asociada a una copia geodésica del espacio simétrico Riemanniano de \(PSO_{(p, d − p)}\) en el espacio simétrico Riemanniano de \(PSL_d(\mathbb{R})\).