Optimal Stopping for Strong Markov - Fabián Crocce (2013)

Consideramos el problema de parada óptima que consiste en, dados un proceso de Markov fuerte \(X = \{X_t\} \) a valores en \( \mathcal{E} \), y una función de pago \(g : \mathcal{E} → \mathbb{R} \), encontrar el tiempo de parada óptima \( \tau^* \) y la función de valor \(V_{\alpha} \) que verifican: \( \begin{equation}{V_{\alpha}(x) = \mathbb{E}_x \left( e^{- \alpha \tau^*} g(X_{\tau^ ∗}) \right) = sup_{\tau} \mathbb{E}_x \left( e^{- \alpha \tau} g(X_{\tau} )\right)} \end{equation} \) , donde el supremo es tomado sobre la clase de todos los tiempos de parada, \( \alpha \) es una tasa de descuento positiva, y \(x\) es el estado del que parte el proceso. El enfoque que seguimos se basa en dos componentes: la caracterización de Dynkin de la función de valor como la mínima función \( \alpha \)-excesiva que domina \(g\); y la representación de Riesz de las funciones \( \alpha \)-excesivas en términos del núcleo de Green. La principal referencia para este enfoque es Salminen. En el contexto de las difusiones unidimensionales damos una caracterización completa de la solución, asumiendo algunas condiciones sobre \(g\). Si el problema de parada óptima es tal que la región de parada es de la forma \([x^∗,∞)\) o de la forma \((−∞, x^∗]\), damos una ecuación sencilla para encontrar el valor crítico \(x^∗\) y discutimos la validez del principio de pegado suave. También incluimos algunos ejemplos nuevos como ser la parada óptima del movimiento browniano asimétrico (skew) y del movimiento browniano pegajoso (sticky); en particular damos ejemplos en que no vale el principio de pegado suave. En el caso general, proponemos un algoritmo que encuentra la región de parada óptima cuando ésta es una unión disjunta de intervalos, dando también una fórmula sencilla para la función de valor.