Funciones de Igusa-Todorov - Gustavo Mata (2015)

En este trabajo desarrollamos nuevas herramientas del Algebra Homológica, las llamadas funciones de Igusa-Todorov (que notaremos \(\phi \), \(\psi \)), y estudiamos la \( \phi \)-dimensión y la \( \psi \)-dimensión de estructuras algebraicas en diversos contextos (álgebras de Artin, co-álgebras semiperfectas, etc). Después de un primer capítulo con los preliminares necesarios para la comprensión del resto de la tesis, nos dedicamos en el segundo capítulo a desarrollar resultados generales de las funciones de Igusa-Todorov, los cuales son el soporte de resultados en contextos particulares que aparecerán en los capítulos siguientes. En el capítulo 3 introducimos el concepto de eslabón, que aparece lateralmente en algunos trabajos del área pero sin ser considerado como objeto central de estudio. Utilizando la caracterización para la función \( \phi \) y otras herramientas veremos en este capítulo condiciones para que la dimensión finitista sea finita y sea estrictamente menor que la \( \phi \)-dimensión dependiendo que los eslabones no sean todos simples. En el capítulo 4 trabajamos con las funciones de Igusa-Todorov para las álgebras de radical cuadrado nulo. Si \(A\) es un álgebra de radical cuadrado nulo, probamos que \(\phi dim(A) ≤ n \) y \( \psi dim(A) ≤ 2n − 3\), siendo \(n = |K_0 (A)|\). Además describimos completamente el carcaj de las álgebrascon una cantidad fija de vértices cuando \( \psi dim(A) = 2n − 3\) y también brindamos condiciones necesarias sobre el carcaj para que \( \phi dim(A) = n\). Vemos como aplicación de los resultados obtenidos que φ dim(A) = φ dim(A op ), para este tipo de álgebras. Para una álgebra \(n\)-Gorenstein \(A\), se prueba en el capítulo 5, \( \phi dim(A) = \psi dim(A) = n \). Como consecuencia del resultado anterior tenemos las siguientes igualdades: \( \phi dim(A) = \phi dim(A^{op} )\), \( \psi dim(A) = \psi dim(A^{op} )\) y obtenemos aplicaciones interesantes de estos resultados a la familia de álgebras inclinadas de conglomerado y a la familiaa de álgebras gentiles. De manera similar a la forma que lo hacemos para las álgebras de Artin, en el capítulo 6 introducimos la función de Igusa-Todorov (que notaremos \( \phi \)) y la noción de \( \phi \)-dimensión para las co-álgebras semiperfectas. Para una co-álgebra semiperfecta \(C\) probamos que la \( \phi \)-dimensión caracteriza a las co-álgebras quasi-co-Frobenius, esto es, \(C\) es qcF si y solamente si \(\phi dim(C) = 0\) Finalmente en el capítulo 7 trabajamos con la función φ en álgebras que son extensiones por escalares por un álgebra de caminos. Se verá, entre otras cosas, que la \( \phi \)-dimensión aumenta al menos por 1 cuando realizamos la extensión.