Topologías del Grupo de Cremona - Federico Carrasco (2019)

Sea k un cuerpo y denotemos por \( \mathbb{P}^n \) el espacio proyectivo de dimensión \( n \) sobre \( k \). El conjunto Bir\( (\mathbb{P}^n) \) de aplicaciones birracionales \( f : \mathbb{P}^n \dashrightarrow \mathbb{P}^n \) es el llamado grupo de Cremona de dimensión \( n\) sobre \( k \). \( \\ \\ \\ \) Dado \(f \in \) Bir \((\mathbb{P}^n) \), existen polinomios homogeneos del mismo grado \( f_0,\cdots, f_n \in \) k \([x_0, \cdots , x_n]\), sin factores en común, tales que si \( x = (x_0 : \cdots : x_n) \) no es un cero común de los \(f_i^s\) entonces \(f(x) = (f_0(x) : \cdots : f_n(x)) \) . \( \\ \\ \\ \) El grado de \(f\) es el grado de cualquier \(f_i\) y se denota \(deg(f)\). Para una variedad algebraica \(A\) sobre k, hay una noción natural de familia de elementos de Bir(\( \mathbb{P}^n)\) parametrizada por \( A \). Dicha familia la anotamos \( A \rightarrow \)Bir\((\mathbb{P}^n)\) y estas familias dan lugar a la topología de Zariski de Bir\((\mathbb{P}^n) \). \( \\ \\ \\ \) En 1966 en, I.R. Shafarevich preguntó: “¿Es posible introducir una estructura universal de grupo de dimensión infinita en el grupo de automorfismos (automorfismos birracionales) de una variedad algebraica arbitraria?”. Años más tarde, en el 2008 J.P. Serre preguntó: “¿Es posible introducir una topología en Bir\( (\mathbb{P}^2 _{\mathbb{C}}) \) que sea compatible con PGL(\(3,\mathbb{C} \)) y PGL\((2,\mathbb{C}) \times \) PGL\((2,\mathbb{C}) \)?”. \( \\ \\ \\ \) Estas preguntas fueron respondidas por J. Blanc y J.P. Furter en. Más detalladamente, la primera fue respondida negativamente, ya que probaron que si \( n \geq 2 \)no hay una estructura de variedad algebraica de dimensión infinita en Bir( \( \mathbb{P}^n \)), de modo que las familias \( A \rightarrow\) Bir\( (\mathbb{P}^n) \) correspondan a morfismos de variedades algebraicas. En cuanto a la segunda, tiene respuesta afirmativa, ya que introdujeron una topología, denominada euclídea, tal que Bir(\( \mathbb{P}^n) \) dotado de ella es un grupo topológico Hausdorff que es compatible con los subgrupos. El objetivo de este trabajo monografico es comprender el trabajo de J. Blanc y J.P. Furter así como tambien presentarlo en un lenguaje más accesible. \( \\ \\ \\ \) Más detalladamente, el capítulo 1 está reservado para los prerrequisitos, ya sean las nociones básicas de geometría algebraica, así como también contenidos más específicos que se escapan de cursos iniciales. Ademas, se presentará la noción de cuerpo local y algunas propiedades de los mismos. La última sección del capítulo está dedicada para nociones topologicas. En el capítulo 2, se introducirá la topología Zariski de Bir\((X)\), siguiendo, y daremos una descripción explícita para el caso \(X = \mathbb{P}^n \). Teniendo dicha descripción, se responderá negativamente la primer pregunta planteada. En el capítulo 3, introduciremos la topología euclídea en Bir(\( \mathbb{P}^n \)) para k un cuerpo local no arquimedeano, y probaremos que es un grupo topologico Hausdorff respondiendo así la segunda pregunta planteada de manera afirmativa.