La fórmula de Gross sobre alturas y valores especiales de L-series - Maria S. Villar (2012)

La correspondencia de Eichler relaciona en forma no canónica el espacio, intuitivamente analítico, de las formas modulares de peso 2 para \( \Gamma_0 ( N ) \), con un espacio intuitivamente algebraico construido a partir la aritmética de órdenes maximales de un álgebra de cuaterniones ramificada en \(N \) e infinito, para \( N \) primo. \( \\ \\ \\ \) Se define la \(L\)-serie \(L_{\mathcal(A)} ( f , s) \) para \(f\) una forma cuspidal de peso 2 para \(Γ_0 ( N ) \) vector propio para los operadores de Hecke; y \(\mathcal{A} \) una clase de ideales en el anillo de enteros \( \mathcal{O}_K \) del cuerpo cuadrático imaginario \(K\) de discriminante \(− D\), con \(D\) primo distinto de \(N\). \( \\ \\ \\ \) La fórmula de Gross expresa el valor central \(L_{\mathcal{A}} ( f , 1) \) en función del producto interno de \( f \) con cierta forma modular \(G_{\mathcal{A}} \) construida a partir de inmersiones del cuerpo cuadrático de discriminante \(− D \) en el álgebra de cuaterniones ramificada en \(N\) e infinito, y la correspondencia de Eichler. \( \\ \\ \\ \) En estas páginas se presenta una formulación del resultado de Gross; la demostración, que consiste en una manipulación esencialmente analítica del lado de la \(L\)-serie, y una manipulación algebraica del lado de las álgebras de cuaterniones que conducen al mismo resultado; y algunos corolarios relacionados con formas modulares de peso medio entero y la correspondencia de Shimura.